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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
2020 年河南省新乡市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一-
项是符合题目要求的.
1. 已知复数 2
3
z
i
,则复数 z 的共轭复数 z ( )
A. 3 1
2 2 i B. 1 3
2 2 i C. 3 1
2 2 i D.
1 3
2 2 i
【答案】A
【解析】
【分析】
复数 z 实数化,即可求解.
【详解】因为 2 2( 3 ) 3
23 ( 3 )( 3 )
i iz
i i i
,所以 3 1
2 2z i .
故选:A
【点睛】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数定义,属于基础题.
2. 设集合 2 1A x x ∣ , 0B x x e ∣ ,则 A∩B=( )
A. { | }1x x e ﹣ B. { | 0 1}x x C. { | }2x x e ﹣ D.
{ | 0 1}x x
【答案】D
【解析】
【分析】
利用交集概念及运算求出结果.
【详解】∵ { | 2 1}A x x , { | 0 }B x x e < ,
∴ { | 0 1}A B x x ≤
故选:D.
【点睛】本题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键,属于基础题.
- 2 -
3. 函数
2 3 4
ln
x xy x
的定义域是( )
A. (0,1)∪(1,4] B. (0,4]
C. (0,1) D. (0,1)∪[4,+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列式求解,即得结果.
【详解】
22 3 4 03 4
ln ln 0, 0
x xx xy x x x
1 4 (0,1) (1,4]0, 1
x xx x
故选:A
【点睛】本题考查函数定义域,考查基本分析求解能力,属基础题.
4. 若抛物线 x2=ay 的准线与抛物线 y=﹣x2﹣2x+1 相切,则 a=( )
A. 8 B. ﹣8 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
求 出 抛 物 线 x2 = ay 的 准 线 为
4
ay , 根 据 抛 物 线 x2 = ay 的 准 线 与 抛 物 线
22 2 1 1 2y x x x 相切可得 24
ay ,得出答案.
【详解】抛物线 22 2 1 1 2y x x x
抛物线 x2=ay 的准线为
4
ay
则
4
ay 与抛物线 y=﹣x2﹣2x+1 相切,
所以 24
ay ,所以 8a
故选:B
【点睛】本题考查抛物线的准线方程,考查抛物线的切线,属于基础题.
- 3 -
5. 函数 cosxf x e x 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性,结合函数的特值可得结果.
【详解】由 cosxf x e x ,则 sinxf x e x
当 0x 时, e 1x ,则 sin 0xf x e x ,
所以函数 f x 在 0, 上单调递增,排除选项 A,C
又 2 2cos 02 2f e e
,排除除选项 B
故选: D
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,结合函数单调性以及特值是解决本题的关键.
比较基础.
6. 已知 a=log3b,b=0.3c,则“a>0”是“c>0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
- 4 -
【分析】
根据指数函数与对数函数性质说明充分性与必要性都不成立.
【详解】若 0a ,则 0
3 3log 0 log 1 1 0.3 1 0.3 0cb b c ,即充分性不成立;
若 0c ,则 0
3 30.3 0.3 1 log log 1 0cb a b ,即必要性不成立;
故选:D
【点睛】本题考查充要关系判断、指数函数与对数函数单调性应用,考查基本分析判断能力,
属基础题.
7. 执行如图所示的程序框图,则输出的 k ( )
A. 5 B. 3 C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
执行程序框图,依此写出每次循环时的 ,k S 的值并判断,直到当 0S 时,退出循环,输出 k
的值.
【详解】第一次循环: 6 1 5S , 1 1 2k , 0S ,不满足 0S 执行循环;
第二次循环: 5 2 3S , 2 1 3k , 0S ,不满足 0S 执行循环;
第三次循环: 3 3 0S , 3 1 4k , 0S ,不满足 0S 执行循环;
第四次循环: 0 4 4S , 4 1 5k , 0S ,退出循环,此时输出 5k .
- 5 -
故选: A
【点睛】本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出,对于这类问题,通常是利用程序
框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可,属于基础题.
8. 定义在 R 上的函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ,对任意的实数 x ,都有 ( ) 1 0f x ,且
(1) 1f ,则( )
A. (0) 0f B. ( )f e e
C. ( ) (0)f e f D. (2) (1)f f
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数 ( ) ( )g x f x x ,求导后可判断 ( )g x 的单调性,然后利用函数 ( )g x 的单调性求解
即可.
【详解】构造 ( ) ( )g x f x x ,则 ( ) ( ) 1g x f x ,又 ( ) 1 0f x ,所以 ( ) 0g x ,
所以函数 ( )g x 在 R 上单调递减,又 (1) (1) 1 1 1 0g f ,
所以 ( ) (1)g e g ,即 ( ) 0f e e ,
所以 ( )f e e .
故选:B
【点睛】本题主要考查导数中函数构造问题,根据 ( ) 1f x 构造函数 ( ) ( )g x f x x 是解题
的关键,属于中档题.
9. 中医药,是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,反映了中华民族对生
命、健康和疾病的认识,具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.是中华民
族的瑰宝.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含最 x(单位:克)与药物功
效 y(单位:药物单位)之间满足 y=15x﹣2x2.检测这种药品一个批次的 6 个样本,得到成
分甲的含量的平均值为5克.标准差为 5 克.则估计这批中医药的药物功效的平均值为( )
A. 14 药物单位 B. 15.5 药物单位
C. 15 药物单位 D. 16 药物单位
- 6 -
【答案】C
【解析】
【分析】
设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x ,根据平均值和标准差列出方程,
再代入平均数的计算公式,即可求解.
【详解】设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x ,
因为成分甲的含量的平均值为 5 克,所以 1 2 3 4 5 6 30x x x x x x ,
标准差为 5 克,所以
6
2
1
1 ( 5) 56 i
i
x
,可得
6
2
1
180i
i
x
,
又由 215 2y x x ,所以
6 6 6
2
1 1 1
15 2 90i i i
i i i
y x x
,
所以这批中医药的药物功效的平均值为
6
1
1 156 i
i
y
.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了统计知识的应用,其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公
式,准确计算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
10. 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,﹣2,an,6Sn 成等差数列,若 t=a1a2+a2a3+…+anan+1,则( )
A. 1 1
8 24t B. 1 1
8 12t
C. 1 1
6 8t D. 1 1
6 12t
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差中项,可得 na , nS 的关系,化简可得等比数列的通项,利用 1n na a 仍为等比数列,即
可求出t 的值.
【详解】因为 2 ,an,6Sn 成等差数列,
所以 2 6S 2n na ①
当 1n 时, 1 12 6 2a S ,解得 1
1
2a ,
- 7 -
当 2n 时, 1 12 6 2n na S ②
由① ②得 12 2 6n n na a a ,
可得 1
1
2n na a ,
所以数列{an}是以 1
2
为首项, 1
2
为公比的等比数列,
故
11 1 1
2 2 2
n
na
,
所以 1{ }n na a 是首项为 1
8
,公比为 1
4
的等比数列,
所以
2 21 3 1
1 118 4 1 111 6 41 4
n
n
n
nt a a a a a a
L ,
因为 n N ,
所以 1 1 1 11 ,6 4 6 8
n
,
所以 1 1
6 8t
故选:C
【点睛】本题主要考查了等差中项,等比数列的定义,通项公式,等比数列的求和公式,属
于中档题.
11. 三棱锥 S﹣ABC 的各顶点均在球 O 的球面上,SC 为该球的直径,AC=BC=2,∠ACB=120°,
且三棱锥 S﹣ABC 的体积为 2,则球 O 的半径为( )
A. 7 B. 5 C. 5
2
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
作出示意图,求得 ABC 的面积,并计算出三棱锥 S ABC 的高 SD ,利用正弦定理计算圆
E 的直径CD ,然后利用勾股定理求出 SC ,即可求解球的直径,得到答案.
【详解】如图所示, 因为 2, 120AC BC ACB ,
- 8 -
可得 ABC 的面积为 1 1 3sin 2 2 32 2 4ABCS AC BC ACB ,
设 ABC 的外接圆为圆 E ,连接OE ,则OE 平面 ABC ,
作圆 E 的直径CD ,连接 SD ,
因为 ,O E 分别为 ,SC CD 的中点,则 / /SD OE ,所以 SD 平面 ABC ,
所以三棱锥 S ABC 的体积为 1 3 23S ABCV SD ,解得 2 3SD ,
由正弦定理,可得 4sin sin30
AC ACCD ABC
, 2 2 2 7SC CD SD ,
设球的半径为 R ,则 2 2 7R SC ,解得 7R .
故选:A.
【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用,其中解答中作出示意图,根据组合体
的结构特征,找出线面垂直关系,求得三棱锥的高是解答的关键,着重考查推理与运算能力,
属于中档试题.
12. 设 A 为双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的一条渐近线上一点,且 A 在第四象限,O 为
坐标原点,若向量 m =(1,1), 10,OA
且 2OA m ,则该双曲线的离心率为( )
A. 10 B. 5 C. 10
3
或 10 D. 5
2
或
5
- 9 -
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可设 , bA t ta
,其中 0t ,由 10,OA
且 2OA m ,可得
2
2
2
10at c
,
2at b a
,建立关于 ,a b 的方程,解之,再由双曲线离心率的公式可得选项.
【详解】由已知可得 A 为直线 by xa
上一点,且 A 在第四象限,故可设 , bA t ta
,其中
0t ,
2
2 2
2 10b cOA t t ta a
,其中 2 2c a b ,
2
2
2
10at c
,
2,bOA m t ta
2at b a
0, 0t b a ,
22
2
2
10 2a at c b a
,
2 2
2 2 2 2
10 4
2
a a
a b b ab a
,
2 23 10 3 0a ab b ,即 ( 3 )(3 ) 0a b a b ,
0b a ,
3b a .
所以该双曲线的离心率为
2 2 2 2
2 2 21 10c c a b b
a a a a
,
故选:A.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率的问题,关键在于由已知条件得出关于 , ,a b c 的方程,属
于中档题.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上
- 10 -
13. 已知向量 a (3, ),b (6,8)
m 若 a 与 b 平行,则 m=_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示直接列式求解.
【详解】由题意可知若 a 和 b 平行,
则3 8 6m ,解得: 4m
故答案为:4
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,属于基础题型.
14. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
2
),其图象的一条对称轴是直线 x=
3
,且与之相邻的一个对称中心是( 7
12
,0),则 f(x)=_____.
【答案】 2sin 2 6x
【解析】
【分析】
借助于正弦函数相邻的对称轴和对称中心的距离为四分之一个周期,求出 的值,再由五点作
图法的对称轴处取得最大值或者最小值,代入横坐标求出 值,可得 f x .
【详解】函数 f x 图象的一条对称轴是直线
3x ,且与之相邻的一个对称中心是( 7
12
,0),
所以 7
12 3 4 4
T ,又 0 ,则 2T ,解得 2 , 2sin 2f x x ,
又 2 3 2 k k Z ,解得 6k k Z ,
,2 6
,即 2sin 2 6f x x
,
故答案为: 2sin 2 6x
.
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质,利用五点作图法来解题是关键,考查学生的运算能
力和转化能力,属于基础题.
- 11 -
15. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 12
4
S
S =9,则 3
1
a
a
_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据等差数列的求和公式化简可得 12d a ,代入 3
1
a
a 即可求出答案.
【详解】等差数列{an}中, 12 1 4 112 66 , 4 6S a d S a d ,
所以 12 1
4 1
6 33 92 3
S a d
S a d
,
即 12d a ,
所以 3 1 1
1 1 1
2 5 5a a d a
a a a
,
故答案为:5
【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,通项公式,考查了运算能力,属于中档题.
16. 在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,侧棱长为 6,底面是边长为 8 的菱形,且 120ABC ,
点 E 在边 BC 上,且满足 3BE EC ,动点 M 在该四棱柱的表面上运动,并且总保持
1ME BD ,则动点 M 的轨迹围成的图形的面积为______;当 MC 与平面 ABCD 所成角最
大时,异面直线 1MC 与 AC 所成角的余弦值为_______.
【答案】 (1). 15 3 (2). 2 51
17
【解析】
【分析】
首先可证 1BD AC ,在 AB 上取 F ,使得 3BF FA ,连接 EF ,则 //EF AC ,可得
1 BD EF .记 AC 与 BD 的交点为O ,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
O xyz ,在 1BB 上取一点G ,由 1 0BD EG ,求出G 点的位置,从而得到动点 M 轨迹,
即可求出动点 M 的轨迹围成的图形的面积,显然当 M 与G 重合时,MC 与平面 ABCD 所成
- 12 -
角最大,利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值;
【详解】解:如图,在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,因为底面是菱形,侧棱垂直底面,
所以 AC 平面 1 1BDD B ,所以 1BD AC .
在 AB 上取 F ,使得 3BF FA ,连接 EF ,则 //EF AC ,所以 1 BD EF .
记 AC 与 BD 的交点为 O ,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ,
则 4,0,0B , 1 4,0,6D , 1,3 3,0E .
在 1BB 上取一点G ,记为 4,0,G t ,于是 1 8,0,6BD , 3, 3 3,EG t .
由 1 24 6 0BD EG t ,得 4t ,即 12BG GB ,
所以 EFG 的边为点 M 的运动轨迹.
由题意得 2 2 2 13FG BF BG , 3 3 8 3 6 34 4EF AC ,
动点 M 的轨迹围成的图形的面积为 2 21 6 3 2 13 3 3 15 32
.
显然当 M 与G 重合时, MC 与平面 ABCD 所成角最大.
因为 4,0,4M , 1 0,4 3,6C ,所以 1 4,4 3,2MC
,
22 2
1 4 4 3 2 2 17MC ,
因为直线 AC 的一个方向向量为 0,1,0n ,所以
1
1
1
4 3 2 51cos , 172 17
MC nMC n
MC n
,
即异面直线 1MC 与 AC 所成角的余弦值为 2 51
17
.
故答案为:15 3 ; 2 51
17
.
- 13 -
【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系,利用空间向量法解决立体几何问题,考查
直观想象与数学运算的核心素养,属于难题.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或清算步重.17-21
题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题:共 60 分
17. 在 ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,已知 sin (2 3 cos )b A a B .
(1)求 B ;
(2)若 2 3a , 7b ,求 ABC 的面积.
【答案】(1)
6B ;(2) 3
2
或 5 3
2
.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理可将已知等式化为 1 3sin cos 12 2B B ,再利用两角和的正弦公式可得
sin( ) 13B ,再确定 B 的范围即可得出结果;
(2)利用余弦定理可得 2 2 2 2 cosb a c ac B ,由此求出 c ,然后利用面积算公式
1 sin2S ac B 即可求出结果.
【详解】(1)因为 sin (2 3 cos )b A a B ,所以sin sin sin (2 3 cos )B A A B ,
因为 A 是 ABC 的内角,所以 (0, )A ,所以sin 0A ,
- 14 -
所以sin 2 3 cosB B ,所以 1 3sin cos 12 2B B ,即sin( ) 13B ,
因为 (0, )3B ,所以 4( , )3 3 3
π π πB ,所以
3 2B ,所以
6B .
(2)在 ABC 中,由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ,
即 2 2 2( 7) (2 3) 2 2 3 cos 6
πc c ,
所以 2 6 5 0c c ,解得 1c 或 5c ,
当 1c 时, ABC 的面积 1 1 1 3sin 2 3 12 2 2 2S ac B ;
当 5c 时, ABC 的面积 1 1 1 5 3sin 2 3 52 2 2 2S ac B ,
所以, ABC 的面积为 3
2
或 5 3
2
.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式,同时考查两角和的正弦
公式的逆用,属于基础题.
18. 如图,四边形 ABCD 为矩形,△BCF 为等腰三角形,且∠BAE=∠DAE=90°,EA//FC.
(1)证明:BF//平面 ADE.
(2)设 BC
AB
,问是否存在正实数 ,使得三棱锥 A﹣BDF 的高恰好等于 6
6
BC?若存在,
求出 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在正实数 2 .
【解析】
【分析】
- 15 -
(1)通过证明平面 //ADE 平面 BCF 来证明 BF//平面 ADE;
(2)设 AB a= ,BC b ,则 b a ,利用等体积法,则 A BDF F ADBV V ,可得关于 的方
程,求解可得.
【详解】(1)因为 //AD BC , AD 平面 ADE , BC 平面 ADE ,所以 //BC 平面 ADE ,
因为 //EA FC , AE 平面 ADE , FC 平面 ADE ,所以 //FC 平面 ADE ,
又 BC FC C ,所以平面 //ADE 平面 BCF
故 //BF 平面 ADE ;
(2) 90 ,BAE AE AB ,又 // , //EA FC CD AB CF CD , ,
, ,BC CF BC CD C CF 平面 ABCD ,
设 AB a= , BC b ,则 b a ,
在矩形 ABCD 和 BCF△ 中,有 2 2 21BD DF a b a , 2BF b ,
所以在 BDF 中, BF 边上的高
2
2 2 2 2 21 1 112 2 2h DF BF a b b a
,
又 21 1
2 2ABDS ab a △ ,
所以,由等体积法得 2 2 2 21 1 1 1 1 6 1 1 3 12 1 13 2 3 2 2 6 3 2 3 2a b b a b ab ,
即 211 32
,∴ 2 ,
所以存在正实数 2 ,使得三棱锥 A BDF 的高恰好等于 6
6 BC .
【点睛】本题主要考查了直线与平面的平行,棱锥体积的计算,采用了等体积法求解参数,
- 16 -
考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.
19. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政
策,不超过 9 站的地铁票价如表:
乘坐站数 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9
票价(元) 2 3 4
现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过 9 站,且
他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
(1)若小华、小李两人共付费 5 元,则小华、小李下地铁的方案共有多少种?
(2)若小华、小李两人共付费 6 元,求小华比小李先下地铁的概率.
【答案】(1)18,(2) 4
9
【解析】
【分析】
(1)先根据共付费 5 元得一人付费 2 元一人付费 3 元,再确定人与乘坐站数,即可得结果;
(2)先根据共付费 6 元得一人付费 2 元一人付费 4 元或两人都付费 3 元,再分别求出小华、
小李下地铁的方案数以及小华比小李先下地铁的方案数,最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】(1)小华、小李两人共付费 5 元,所以小华、小李一人付费 2 元一人付费 3 元,付
费 2 元的乘坐站数有 1,2,3 三种选择,付费 3 元的乘坐站数有 4,5,6 三种选择,所以小
华、小李下地铁的方案共有 2 3 3 18 种;
(2)小华、小李两人共付费 6 元,所以小华、小李一人付费 2 元一人付费 4 元或两人都付费
3 元,付费 4 元的乘坐站数也有 7,8,9 三种选择,因此小华、小李下地铁的方案共有
2 3 3 3 3 27 种;其中小华比小李先下地铁的方案共有 3 3 3 12 种;因此小华比
小李先下地铁的概率为 12 4
27 9
【点睛】本题考查实际问题中计数问题、古典概型概率,考查基本分析求解能力,属中档题.
20. 已知 1 2( 3,0), ( 3,0)F F 分别是椭圆
2 2
2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
的左、右焦点,P 是
椭圆 C 上的一点,当 PF1⊥F1F2 时,|PF2|=2|PF1|.
(1)求椭圆 C 的标准方程:
- 17 -
(2)过点 Q(﹣4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 M 关于 x 轴的对称点为点 M′,
证明:直线 NM′过定点.
【答案】(1)
2 2
19 6
x y ;(2)直线 NM 过定点 9 ,04
.
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义和已知条件得 1 1 1
22 2 , 3PF PF a PF a ,又由 1 1 2PF F F 可得出点
P 的坐标,代入椭圆的标准方程中可解出 ,a b ,从而得出椭圆的标准方程;
(2)设出直线 l 的方程,点 M、N 的坐标,直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得点 M、N 的坐
标的关系,再表示出直线 NM 的方程,将点 M、N 的坐标的关系代入可得直线 NM′所过的定
点.
【详解】(1)由 1 2( 3,0), ( 3,0)F F 得 3c , 2 2 2 2( 3) 3a b b ,
由椭圆的定义得 1 2 2PF PF a , 2 12PF PF , 1 1 1
22 2 , 3PF PF a PF a ,
1 1 2PF F F ,所以点 P 的坐标为 23, 3 a
,
将点 P 的坐标代入椭圆的方程中有
2
2
2 2
2
( 3) 3 1
a
a b
,
又 2 2 2 23, 3a b b a ,
2
2
2 2
2
( 3) 3 13
a
a a
,
解得 2 9a 或 2 9
5a ,
当 2 9
5a , 2 2 63 05b a ,故舍去;
当 2 9a , 2 2 3 9 3 6b a ,
所以椭圆的标准方程为:
2 2
19 6
x y .
(2)由题意可知,直线 l 的斜率必然存在,故设直线 l 的方程为 ( 4)y k x ,设
- 18 -
1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 1 1,M x y ,
联立方程组
2 2
19 6
( 4)
x y
y k x
,得 2 2 2 23 2 24 48 18 0k x k x k ,
22 2 2 224 4 3 2 48 18 168 144 0k k k k ,
解得 2 6
7k ,
2
1 2 2
24
3 2
kx x k
,
2
1 2 2
48 18
3 2
kx x k
,
又 2 2,N x y , 1 1,M x y ,设直线 NM 的方程为
2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1
y y y yy y x x x xx x x x
,
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
y y y y y y y x y x y x y xy x x y xx x x x x x x x x x
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
y y y x y xxx x x x
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
4 4 4 4k x k x k x x k x xxx x x x
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
8 2 4k x x k kx x k x xxx x x x
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1
24 48 18 248 2 43 2 3 2 3 2
k k kk k k kk k kxx x x x
2 2
2 1 2 1
16 36
3 2 3 2
k kx
x x k x x k
2
2 1
16 9
43 2
k x
x x k
,
当 9
4x 时, 0y ,所以直线 NM 过定点 9 ,04
.
【点睛】本题考查椭圆的定义和简单的几何性质,求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位
置关系中直线过定点的问题,关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去,属
- 19 -
于较难题.
21. 已知函数 ( ) ln 3f x x x xa 的最小值为 2.
(1)求 a 的值以及 f(x)的单调区间;
(2)设 2 1ln (1 )na n
,n∈N*,证明: 1 2 2 4n
na a a n
L .
【答案】(1) 1a ,单调增区间为 (1, ) ,单调减区间为 (0,1) ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先求导数,再求导函数零点,确定函数单调性,根据单调性确定最小值取法,根据最小
值为 2 求出 a 的值,并可确定单调区间;
(2)先根据(1)得 1 1ln(1 ) 1n n
,再放缩得 1 1
1 2na n n
,最后根据裂项相消法证
得不等式.
【详解】(1) 1( ) ln 3 ( ) ln 1 0 af x x x xa f x x a x e Q ,
当 1ax e 时, ( ) 0, ( )f x f x 单调递增;当 10 ax e 时, ( ) 0, ( )f x f x 单调递减;
因此当 1ax e 时, ( )f x 取最小值,即
1 1 1 1( ) 2 ( 1) 3 2 1, 1a a a af e e a ae e a ;
因此 ( )f x 单调增区间为 (1, ) ,单调减区间为 (0,1) ;
(2)由(1)得 1 1 1ln 3 2 ln ,ln(1 ) 1
xx x x x x n n
2
2
1 1 1 1 1ln (1 ) ( 1) ( 1)( 2) 1 2n na an n n n n n
Q
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 4 1 2 2 2 2 4n
na a a n n n n
L L
【点睛】本题考查利用导数求函数最值、单调区间以及证不等式、裂项相消法求和,放缩法
证不等式,考查综合分析论证与求解能力,属难题.
(二)选考题:共 10 分.请考生从第 2.2 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个
题目计分.
选修 4-4:坐标系与参数方程
- 20 -
22. 在直角坐标系 xOy 中,P(0,1),曲线 C1 的参数方程为
31 2
3
2
x t
y t
(t 为参数).以坐
标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 4cos .
(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
(2)曲线 C1 与 C2 交于 M,N 两点,求||PM|﹣|PN||.
【答案】(1) 1 0x y , 2 2 4 0x y x ,(2) 14
【解析】
【分析】
(1)把曲线 C1 的参数方程消去参数 t 可得普通方程,曲线 C2 的极坐标方程为 4cos 两边
同乘以 ,把互化公式代入可得直角坐标方程;
(2)把曲线 C 化成标准参数方程,代入曲线 C2 的直角坐标方程,得到关于 t 的二次方程,然
后利用 t 的几何意义求解||PM|﹣|PN||
【详解】解:(1)曲线 C1 的参数方程为
31 2
3
2
x t
y t
(t 为参数),
消去参数 t 得普通方程为 1 0x y ,
曲线 C2 的极坐标方程为 4cos ,两边同乘以 ,
得 2 4 cos ,所以其直角坐标方程为 2 2 4 0x y x
(2)曲线 C1 过点 P(0,1),则其参数方程为
2
2
21 2
x t
y t
,
将其代入方程 2 2 4 0x y x 得,
2 22 2 2( ) (1 ) 4 ( ) 02 2 2t t t ,
化简得 22 3 2 1 0 3 2 4 14 0t t , ,
- 21 -
设上式方程的根为 1 2,t t ,所以 1 2 1 23 2, 1t t t t ,
所以 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 ( 3 2) 4 1 14PM PN t t t t t t
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,参数的几何意
义,考查了计算能力,属于中档题.
选修 4-5:不等式选讲
23. 已知 a>0,b>0,a+b=3.
(1)求 1 1+2a b
的最小值;
(2)证明: 9
2
a b
b a ab
【答案】(1) 4
5
;(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由所给等式得 2 15
a b ,再利用基本不等式即可求得最小值;(2)利用
2
2 2
2
a ba b
即可逐步证明.
【详解】(1) 3a b , 2 15
a b ,且 2 0 0a b , ,
1 1 1 1 1 1 2+ + 2 22 5 2 5 2
b aa ba b a b a b
1 2 42 25 2 5
b a
a b
,当且仅当 2=2
b a
a b
即 1 5
2 2a b , 时等号成立,
1 1+2a b
的最小值为 4
5
.
(2)因为 a>0,b>0,所以要证 9
2
a b
b a ab
,需证 2 2 9
2a b ,
因为 2 2
2 2 3 9
2 2 2
a ba b
,
所以 9
2
a b
b a ab
,当且仅当 3
2a b 时等号成立.
【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用,属于中档题.
- 22 -
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