黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 23页

- 1 - 哈尔滨市第六中学校 2020 届第一次模拟考试试题 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合 {1 2 3 4 5}A  ，，，， ， {0 2 4 6}B  ，，， ，则集合 A B 的子集共有（ ） A. 2 个 B. 4 个 C. 6个 D. 8 个 【答案】B 【解析】 【分析】 计算  2,4A B  ，再计算子集个数得到答案. 【详解】 {1 2 3 4 5}A  ，，，， ， {0 2 4 6}B  ，，， ，则集合  2,4A B  ， 故 A B 的子集共有 22 4 个. 故选： B . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，子集个数，属于简单题. 2. 已知复数 z 满足  1 3 3z i i i    ，则 z  （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据复数的四则运算将复数 z 表示成 a bi 的形式，结合复数的模的计算公式，即可得解. 【详解】   1 3 3z i i i    ，        2 2 3 3 13 3 3 3 3 3 6 31 1 1 1 2 i ii i i i iz i ii i i i              ，  3 2z i i i   ，  22 2z   . 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，考查考生的运算求解能力，熟记复数模 的计算公式是本题的解题关键，属于基础题. - 2 - 3. 设函数 2 2 ,( 0)( ) ( 3),( 0) xx xf x f x x       ，则 (5)f 的值为( ) A. -7 B. -1 C. 0 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用分段函数的性质即可得出． 【详解】∵函数       2 2 , 0 3 ,( 0) xx xf x f x x       ， ∴            2 1 15 5 3 2 2 3 1 1 2 2f f f f f            故选 D 【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 4. 双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的 一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. 1 sin50 D. 1 cos50 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线渐近线定义可得 tan130 , tan50b b a a       ，再利用 2 1c be a a        求双曲 线的离心率． 【详解】由已知可得 tan130 , tan50b b a a      ， 2 2 2 2 2 2 2 sin 50 sin 50 cos 50 11 1 tan 50 1 cos 50 cos 50 cos50 c be a a                     ，故 选 D． - 3 - 【点睛】对于双曲线：   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b     ，有 2 1c be a a        ；对于椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，有 2 1c be a a       ，防止记混． 5. 已知平面向量 a ,b 的夹角为 3  ，且| | 2a  ，| | 1b  ，则 2a b  ( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 1 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】由题意，可得 2 2 2| 2 | | | 4 | | 4 4 4 4 | | | | cos 43a b a b a b a b           r r r r r r r r ， 所以| 2 | 2a b   ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量 积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于 基础题. 6. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添 一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表 达如图所示，即最终输出的 0x  ，则一开始输入的 x 的值为（ ） - 4 - A. 3 4 B. 7 8 C. 15 16 D. 31 32 【答案】C 【解析】 【分析】 设输入的 x 值为 a ，将循环列举出来，可得出输出的 x 关于 a 的表达式，由输出的 x 值为零， 可求得 a 的值，即可得解. 【详解】设出入的 x 值为 a ，第一次循环， 1i  ， 2 1x a  ， 1 1 2i    ， 2 4i   不成 立； 第二次循环，  2 2 1 1 4 3x a a     ， 2 1 3i    ， 3 4i   不成立； 第三次循环，  2 4 3 1 8 7x a a     ， 3 1 4i    ， 4 4i   不成立； 第四次循环，  2 8 7 1 16 15x a a     ， 4 1 5i    ， 5 4i   成立，跳出循环体. 输出的 16 15 0x a   ，解得 15 16a  . 故选：C. - 5 - 【点睛】本题考查利用程序框图计算输入结果，一般要求将程序的每一步列举出来，考查计 算能力，属于基础题. 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 2 1 2 15 2– lg Em m E  ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天 狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10.110 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得到关于 1 2,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足 1 2 1 2 5 lg2 Em m E   ,令 2 11.45, 26.7m m    ,   10.11 1 2 1 2 2 2 2lg ( 1.45 26.7) 10.1, 105 5 E Em mE E         . 故选 A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以 及指数对数运算. 8. 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生 一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子 对数依次为：1，1， 2 ，3 ，5 ，8 ，13，21，34 ，55 ，89 ，144 ……，这就是著名的斐 波那契数列，它的递推公式是 1 2 ( 3, Ν )n n na a a n n       ，其中 1 1a  ， 2 1a  .若从该数 列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A. 1 3 B. 33 100 C. 1 2 D. 67 100 【答案】B 【解析】 【分析】 计算共有 33个偶数，计算概率得到答案. - 6 - 【详解】数列第 1 个，第 2 个为奇数，故第 3 个为偶数，第 4 个，第 5 个为奇数，第 6 个为 偶数. 根据规律：共有偶数 100 333      个，故 33 100p  . 故选： B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 9. 已知函数 π( ) sin( ) ( 0)3f x A x b A    的最大值、最小值分别为 3 和 1 ，关于函数 ( )f x 有 如下四个结论： ① 2A  ， 1b  ； ②函数 ( )f x 的图象C 关于直线 5π 6x   对称； ③函数 ( )f x 的图象C 关于点 2π( ,0)3 对称； ④函数 ( )f x 在区间 π 5π( , )6 6 内是减函数． 其中，正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到 π( ) 2sin( ) 13f x x   ，再根据函数的对称性和单调性判断每个选项得到答案. 【 详 解 】 π( ) sin( ) ( 0)3f x A x b A    的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 为 3 和 1 ， 故 3, 1A b A b      ， 解得 2, 1A b  ，故 π( ) 2sin( ) 13f x x   ，①正确； 当 5π 6x   时， 3 2x     ，故②正确； 函数 ( )f x 的图象C 的中心对称点纵坐标为1，故③错误； 当 π 5π( , )6 6x 时， 7,3 2 6x        ，故④正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，对称性和单调性，意在考查学生的综合应用能力. - 7 - 10. 设 A B C D， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积 为9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A. 12 3 B. 18 3 C. 24 3 D. 54 3 【答案】B 【解析】 【详解】分析：作图，D 为 MO 与球的交点，点 M 为三角形 ABC 的中心，判断出当 DM  平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示， 点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点， 当 DM  平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 体积最大 此时， OD OB R 4   23 9 34ABCS AB  AB 6  , 点 M 为三角形 ABC 的中心 2BM 2 33 BE   Rt OMB  中，有 2 2OM 2OB BM   DM OD OM 4 2 6       max 1 9 3 6 18 33D ABCV      故选 B. 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积 - 8 - 公式，判断出当 DM  平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 体积最大很关键，由 M 为三角形 ABC 的重心，计算得到 2BM 2 33 BE  ，再由勾股定理得到 OM，进而得到结果，属于较难题 型． 11. 已知 F 为抛物线 2 4y x 的焦点，过 F 的直线 l 交抛物线于 ,A B 两点（点 A 在第四象限）， 若 2BF FA  ，则 AB 的值为（ ） A. 5 2 B. 9 2 C. 81 4 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】 求出焦点坐标，设出直线 AB 的方程、 A 点坐标和 B 点坐标，联立直线方程与抛物线方程， 利用根与系数的关系及 2BF FA  ，可求出 m 的值，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】抛物线方程为 2 4y x ，焦点  1,0F ， 设直线 AB 的方程为 1x my  ， 2BF FA  ， 0m  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立 2 1 4 x my y x     ， 消去 x 得 2 4 4 0y my   ， 所以， 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y   ，  2 21 ,BF x y   ，  1 11,FA x y  ，  2BF FA  ，    2 2 1 11 , 2 1,x y x y    ， 2 12y y  ， - 9 - 1 2 2 1 4 2 y y m y y      ，解得 1 4y m  ， 2 8y m ，  1 2 4y y   ， 4 8 4m m    ，  0m  ， 2 4m  ，  1 2 2y y  ，    2 2 1 2 1 2A yB x x y      2 2 1 2 1 21 1my my y y       22 1 21 m y y      2 2 1 2 1 2 21 44 y y y y          3 2 2 164    9 2  所以， AB 的值为 9 2 . 故选：B. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交所得弦的弦长问题，其中涉及到抛物线的性质、向量相 等的坐标表示及两点间的距离公式，属于中档题.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一 般要用到根与系数的关系. 12. 已知定义在 (0, ) 上的函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ， ( ) 0f x  且 ( ) 1f e  ，若对任意 (0, )x  ， ( )ln ( ) 0xf x x f x   恒成立，则不等式 1 ln( ) xf x  的解集为（ ） A.  0 1x x  B.  1x x  C.  x x e D.  0x x e  【答案】C 【解析】 - 10 - 【分析】 依据题意，构造函数   ( )ln 1 F x f x x ，然后计算 ( )F x ，可知函数  F x 的单调性，简 单判断可得结果. 【详解】由题可知： (0, )x  ， ( ) 0f x  ， 所以 1 ln( ) xf x  ，即 ( )ln 1 0 f x x 令   ( )ln 1 F x f x x ，则 ( )ln ( )( )    xf x x f xF x x 又对任意 (0, )x  ， ( )ln ( ) 0xf x x f x   恒成立 所以 ( ) 0F x  ，可知函数  F x 在 (0, ) 单调递增 又 ( ) 1f e  ，所以   ( )ln 1 0  F e f e e 所以 ( )ln 1 0 f x x 即    F x eF 的解集为 x x e 即不等式 1 ln( ) xf x  的解集为 x x e 故选：C 【点睛】本题考查通过构造函数利用导数求解不等式，针对这种题型，重在构造函数，如本 题关键在于构造函数   ( )ln 1 F x f x x ，审清题意，仔细观察，属中档题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 曲线 2lny x 在点  1,0 处的切线方程为__________． 【答案】 2 2y x  【解析】 【分析】 求导 2( )f x x   ，可得斜率 (1) 2k f   ，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】由 ( ) 2lny f x x  ，得 2( )f x x   ， 则曲线 2lny x 在点 (1,0) 处的切线的斜率为 (1) 2k f   ， 则所求切线方程为 0 2( 1)y x   ，即 2 2y x  . - 11 - 【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率； ②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 14. 已知实数 ,x y 满足约束条件 1 1 0 4 0 y x y x y          ，则 2z x y  取最大值时的最优解是 _________． 【答案】 (3,1) 【解析】 【分析】 画出图像，找到可行域，画出目标函数的等值线 2 0x y  ，并在可行域中进行平移，可得目 标函数取最值的最优解. 【详解】如图 令 0z  ，可得 2 0x y  ，平移该直线，根据图形可知 当经过点C 时， z 有最大， 4 0 3 1 1 x y x y y         ，则  3,1C 故可知 2z x y  取最大值时的最优解为 3,1 故答案为： 3,1 【点睛】本题考查线性规划的问题，解决线性的目标函数最值问题的一般步骤为：（1）作图， - 12 - （2）作出目标函数的一条等值线，（3）理解 z 的含义，在可行域中平移等值线，属基础题. 15. 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2 2AB BC  ，直线 1DC 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，则异面直线 1AD 与 1DC 所成角的余弦值为______. 【答案】 10 5 【解析】 【分析】 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出异面直线 1AD 与 1DC 所成角的余弦值. 【详解】解：以 D 为原点， AD 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2 2AB BC  . 直线 1DC 与平面 ABCD 所成的角为 45 ， ∴ 1 45C DC   ，∴ 1 2DC CC  ， ∴  1,0,0A ，  1 0,0,2D ，  0,0,0D ，  1 0,2,2C ，  1 1,0,2AD   ，  1 0,2,2DC  ， 设异面直线 1AD 与 1DC 所成角为 ，则 1 1 1 1 1 1 4 10cos cos , 55 8 AD DC AD DC AD DC              . ∴异面直线 1AD 与 1DC 所成角的余弦值为 10 5 . 故答案为： 10 5 - 13 - 【点睛】本题考查异面直线所成角，用向量法或用定义法结合余弦定理在解三角形中的应用， 是中档题． 16. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2， c 2 ，则 C＝______. 【答案】 6  【解析】 【分析】 根据和差角公式化简可得 3 4A  ,再根据正弦定理求解C 即可. 【详解】sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC, ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0, ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0, ∴cosAsinC+sinAsinC＝0, ∵sinC≠0, ∴cosA＝﹣sinA, ∴tanA＝﹣1, ∵0＜A＜π, ∴A 3 4  , ∵a＝2,c 2 , - 14 - ∴由正弦定理可得 c a sinC sinA  ,可得：sinC 22 12 2 2 c sinA a    , ∵a＞c, ∴C 6  . 故答案为： 6  【点睛】本题主要考查了和差角公式以及解三角形进行边角互化求角度等方法,属于中档题. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17—21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17. 已知数列 na 是递增的等差数列， 2 3a  ， 1a ， 3 1a a ， 8 1a a 成等比数列． （I）求数列 na 的通项公式； （II）若 1 3 n n n b a a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 【答案】（I） 2 1na n  ；（II） 3 2 1n nS n   . 【解析】 【分析】 （I）设 na 的公差为 d ，由条件列出方程组，求得 1,a d 的值，即可得到数列的通项公式； （II）由（I）可得 1 3 3 1 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n        ，利用裂项法，即可求解数列的前 n 项 和. 【详解】（I）设 na 的公差为 ( 0)d d  ，由条件得     1 2 1 1 3 2 7 2 0 a d a a d d d        ， ∴ 1 1 2 a d    ， ∴  1 2 1 2 1na n n     ． （II）由（I）可得   1 3 3 3 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n           ， - 15 - ∴ 3 1 1 1 1 1 312 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nS n n n             ． 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和“裂项法”求数列的前 n 项和，其中解答中根 据题意，列出方程组求得 1,a d 的值，求得数列的通项公式，以及合理利用“裂项法”求和是 解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 2PA PD  ， 6PB PC  . （1）证明：平面 PAD  平面 ABCD ； （2）若点 E 为线段 PA 的中点，求 E 到平面 PBC 的距离. 【答案】（1）见解析（2） 5 5 【解析】 【分析】 (1）取 AD 中点 F ，连结 ,PF CF ，推导出 PF CF ，PF AD ，从而 PF  平面 ABCD ， 由此能证明平面 PAD  平面 ABCD ． （2）推导出 AB AD ， 2AB  ， AB PA ，从而 1 1 22 13 3 3P ABC ABCV S PF       , 记 点 A 到平面 PBC 的距离为 d ，由 1 2 3 3P ABC PBCV S d     ,得 2 5 5d  ，由此能求出点 E 到 平面 PBC 的距离. 【详解】证明：（1）取 AD 中点 F ，连结 ,PF CF ， ∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，∴ 1DF  ， 5CF  ， ∵ 6PC  ，∴ 2 2 2PF CF PC  ，∴ PF CF ， - 16 - ∵ 2PA PD  ，∴ PF AD ， ∵ AD CF F ，∴ PF  平面 ABCD ， ∵ PF  平面 PAD ，∴平面 PAD  平面 ABCD . 解：（2）∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，∴ AB AD ， 2AB  ， ∵ 2PA  ， 6PB  ，∴ 2 2 2PA AB PB  ，∴ AB PA ， 又 2APCS  ，∴ 1 1 22 13 3 3P ABC ABCV S PF       ， 在 PBC 中， 2BC  ， 6PB PC  ， ∴ 5PBCS  ， 记点 A 到平面 PBC 的距离为 d ， ∴ 1 2 3 3P ABC PBCV S d     ，解得 2 5 5d  ， ∵点 E 为线段 PA 的中点，∴点 E 到平面 PBC 的距离为 5 5 . 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19. 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y （单位：万件）与月 销售单价 x （单位：元/件）之间的关系，对近 6个月的月销售量 iy 和月销售单价 ix ( 1,2,3, ,6)i   数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价 x （元/ 件） 4 5 6 7 8 9 月销售量 y （万件） 89 83 82 79 74 67 - 17 - （1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线 方程分别为： ˆ 4 105y x   ， ˆ 4 53y x  和 1ˆ 3 04y x   ，其中有且仅有一位实习员工的 计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并 说明理由； （2）若用 2y ax bx c   模型拟合 y 与 x 之间的关系，可得回归方程为 20.375 0.875 90.25ˆy x x    ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 2R 分别为 0.9702 和 0.9524 ，请用 2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好； （3）已知该商品的月销售额为 z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单 价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 0.01） 参考数据： 6547 80.91 . 【答案】（1）甲；（2） 20.375 0.875 90.25ˆy x x    ；（3）9.77 【解析】 【分析】 （1）根据数据知 ,x y 负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案. （2） 2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好， 0 0.9524.9702  ，得到答案. （3） 3 2ˆ 0.375 0.875 90.25z xy x x x     ，求导得到单调区间，得到答案. 【详解】（1）根据数据知 ,x y 负相关，排除乙. 4 5 6 7 8 9 6.56x       ， 89 83 82 79 74 67 796y       . 代入验证知，丙不满足，故甲计算正确. （2） 2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好， 0 0.9524.9702  ， 故选用 20.375 0.875 90.25ˆy x x    更好. （3）根据题意： 3 2ˆ 0.375 0.875 90.25z xy x x x     ，故 29 7 361 8 4 4z x x     . 令 ' 0z  ，则 6547 7 9x   （舍去）或 6547 7 9x  . - 18 - 故当 6547 70, 9x      时，函数单调递增，当 6547 7 ,9x       时，函数单调递减. 故当 6547 7 9.779x   时，商品的月销售额预报值最大. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20. 已知斜率为 k 的直线l 与椭圆 2 2 14 3 x yC  ： 交于 A ， B 两点．线段 AB 的中点为 (1, )( 0)M m m  ． （1）证明： 1 2k   ； （2）设 F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且 0FP FA FB      ．证明：2 FP FA FB    ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦 达定理进行证明． （2）先求出点 P 的坐标，解出 m，得到直线 l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求 解． 详解：（1）设  1 1A x y， ，  2 2B x y， ，则 2 2 1 1 14 3 x y  ， 2 2 2 2 14 3 x y  ． 两式相减，并由 1 2 1 2 =y y kx x   得 1 2 1 2 04 3 x x y y k    ． 由题设知 1 2 12 x x  ， 1 2 2 y y m  ，于是 3 4k m   ． 由题设得 21 1, 04 3 m m    30 2m  ，故 1 2k   ． （2）由题意得 F（1，0）．设  3 3P x y， ，则        3 3 1 1 2 21 1 1 0 0x y x y x y     ， ， ， ， ． 由（1）及题设得  3 1 23 1x x x    ，  3 1 2 2 0y y y m      ． - 19 - 又点 P 在 C 上，所以 3 4m  ，从而 31 2P    ， ， 3| |= 2FP ． 于是     2 2 22 1 1 1 1 1| | 1 1 3 1 24 2 x xFA x y x               ． 同理 2| |=2 2 xFB  ． 所以  1 2 1| 4 3| | | 2FA FB x x      ． 故 2| |=| |+| |FP FA FB   ． 点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量， 第二问由已知得求出 m，得到 FP  ,再有两点间距离公式表示出 ,FA FB   ，考查了学生的计算 能力，难度较大． 21. 已知函数 21( ) ln ( )2f x x x ax a R    ， 23( ) 2g x x x  （1）当 4a   时，求函数 ( )f x 的单调区间； （2）定义：对于函数 ( )f x ，若存在 0x ，使  0 0f x x 成立，则称 0x 为函数 ( )f x 的不动点．如 果函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x  存在不动点，求实数 a 的取值范围． 【 答 案 】（ 1 ） 单 调 递 增 区 间 是 (0,2 3),(2 3, )   ， ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 是 (2 3,2 3)  ；（2） 1a  ． 【解析】 【分析】 （1）把 4a   代入 ( )f x ，计算 ( )f x ，分别令 0f x f x       求解即可. （2）令 ( )F x x ，然后采用分离变量可得   2 ln 0 x xa xx ，构造函数 2 ln( )  x xh x x ， 利用导数判断函数 ( )h x 单调性并计算 min ( )h x ，简单判断可得结果. 【详解】（1）由题可知：函数 ( )f x 定义域为 (0, ) ， 当 4a   时， 21( ) ln 42f x x x x   - 20 - 21 4 1( ) 4 x xf x xx x       ． 当 ( ) 0f x  ，即 2 4 1 0x x   时， 0 2 3x   或 2 3x   ； 当 ( ) 0f x  ，即 2 4 1 0x x   时， 2 3 2 3x    ． ( )f x 的单调递增区间是 (0,2 3),(2 3, )   ， ( )f x 的单调递减区间是 (2 3,2 3)  ． （2） 2 21 3( ) ( ) ( ) ln 2 2       F x f x g x x x ax x x 2( ) ln ( 0)    F x x x ax x x ( )F x 存在不动点，方程 ( )F x x 有实数根， 即 2 lnx xa x  在 (0, ) 上有解． 今 2 ln( ) ( 0)x xh x xx   ， 2 2 1 ln( ) x xh x x    令 2( ) 1 ln ( 0)m x x x x    ， 1( ) 2 0m x x x     所以 ( )m x 在 (0, ) 单调递增且 (1) 0m  ，即 ( ) 0m x  有唯一根 1x  所以 ( ) 0, 1h x x   x (0,1) 1 (1, ) ( )h x  0 + ( )h x 单调递 减 1 单调的增 所以 min( ) (1) 1h x h  所以 2 lnx xa x  在 (0, ) 上有解的 a 的取值范围是 1a  - 21 - 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性以及利用导数研究能成立问题，熟悉分离参数 的方法以及提升对新概念的理解，属中档题. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的 题目．如果多做，则按所作的第一题计分． 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 2cos: 2sin xC y       （ 为参数），直线 1 cos: sin x tl y t        （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相交，交点为 ,A B ，直线与 x 轴交于 Q 点，求| | | |QA QB 的取值范 围． 【答案】（1）曲线 C 的极坐标方程为 4cos  ，直线 l 的极坐标方程为 sin( ) sin     ； （2） (2 5,6]． 【解析】 【分析】 （1）先将曲线C 与直线 l 化为普通方程，然后再由 cos sin x y        ，代入即可求解. （2）将 l 的参数方程代入到 C 直角坐标普通方程，整理可得 2 6 cos 5 0t t    ，然后利用 参数t 的几何意义即可求解. 【详解】（1）曲线 2 2: ( 2) 4C x y   ，即 2 2 4x y x  ， 即 2 4 cos   ，即 0  或 4cos  ． 由于曲线 4cos  过极点， 曲线 C 的极坐标方程为 4cos  ． 直线 : ( 1)sin cosl x y   ，即 sin cos sin 0x y     ， 即 cos sin sin cos sin 0         ，即 sin( ) sin     ， 直线 l 的极坐标方程为 sin( ) sin     ． （2）由题意得 ( 1,0)Q  ，将 l 的参数方程代入到 C 直角坐标普通方程， - 22 - 可得 2 6 cos 5 0t t    ， 由   ，得 2 5cos 9   ， 6cosA Bt t   ， 5 0A Bt t   其中| | ,| |A BQA t QB t ∣ ， 所以| | | | | 6cos |A B A BQA QB t t t t       得| | | |QA QB 的取值范围为 (2 5,6]. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化、参数 的几何意义，考查了考生的计算能力，属于基础题. 23. 已知对任意实数 x ，都有| 2 | | 4 | 0x x m     恒成立. （1）求实数 m 的范围； （2）若 m 的最大值为 n ，当正数 a ，b 满足 4 1 5 3 2 6 n a b a b    时，求 4 7a b 的最小值. 【答案】(1) 6m  (2)9 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值三角不等式，代入即可求得 m 的取值范围． （2）根据柯西不等式，代入即可求得 4 7a b 的最小值． 【详解】解（1） 对任意实数 x ，都有 2 4 0x x m     恒成立， 又 2 4 2 4 6x x x x         6m  （2）由（1）知 6n  ，由柯西不等式知：  4 7 4 7a b a b   4 1 5 3 2a b a b       5 3 2a b a b    4 1 5 3 2a b a b      9 当且仅当 3 13a  ， 15 13b  时取等号， 4 7a b  的最小值为9. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用，柯西不等式的用法，属于中档题． - 23 -