山东师范大学附属中学2021届高三第一次模拟考试数学试卷 PDF版含答案 10页

数学试题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 z 满足 2(2 )iz i i−=+，则 z 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合 { }21A xy x= = − ，集合 { }2B yy x= = ，则集合 AB= A. (1,1) B. [ )0,+∞ C. { }(1,1) D. ( )0,+∞ 3. 已知 4 1, (0, ), 2 ( ) ,4 xyxy −∈ +∞ = 则 xy 的最大值为 A. 2 B. 9 8 C. 3 2 D. 9 4 4.若不等式 2 0ax bx c+ +>的解集为{ }12xx−< < ，则不等式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax+ + − +< 的解集为 A. { }21xx−<< B. { }21xx x<− >或 C. { }03xx x<>或 D. { }03xx<< 5.设 1 2 13 2 1() sin, () (),() (),, () (), ,nnfx xfxfxfxfxfxfxnN+′′ ′= = = ⋅⋅⋅ = ∈ 则 2020 ()fx= A. sin x B. sin x− C. cos x D. cos x− 6.某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到 甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的 分配方案有 A.18 种 B.24 种 C.36 种 D. 72 种 7.若幂函数 ()fx的图象过点 21( ,)22 ，则函数 ()() x fxgx e = 的递增区间为 A. (0, 2) B. ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ C. ( 2,0)− D. ( ) ( ), 2 0,−∞ − +∞ 8.设函数 2() 1f x mx mx= −−，若对于 [ ]1, 3x∈ ， () 2fx m>− + 恒成立，则实数 m 的取值 范围 A. (3, )+∞ B. 3, 7 −∞ C. ( ,3)−∞ D. 3 ,7 +∞ 1 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对得 5 分；部分选对的得 3 分；有选错的得 0 分。 9. 若复数 z＝ 2 1＋iE A，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为－1 B. |z|＝A 2E C. z2 为纯虚数 D. z 的共轭复数为－1－i 10. 下列命题正确的是 A.“ 1a > ”是“ 1 1a < ”的必要不充分条件 B. 命题“ 0 00(0, ),ln 1x xx∃ ∈ +∞ = − ”的否定是“ (0, ),ln 1x xx∀ ∈ +∞ ≠ − ” C. 若 ,ab R∈ ，则 22b a ba a b ab +≥ ⋅= D. 设 aR∈ ，“ 1a = ”， 是 “ 函 数 () 1 x x aefx ae −= + 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 11．关于( )11ab− 的说法，正确的是 A. 展开式中的二项式系数之和为 2048 B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大 D. 展开式中第 6 项的系数最小 12. 如图直角梯形 1, // , , 22ABCD AB CD AB BC BC CD AB  ，E 为 AB 中点， 以 DE 为折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 23PC  ，则 A. 平面 PDE  平面 EBCD B. PC ED C. 二面角 P DC B的大小为 4  D. PC 与平面 PED 所成角的正切值为 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动， 设所选三人中男生人数为ξ ，则数学期望 ()E ξ = . 2 14．如图，在正方体 ABCD A B C D′′′′− 中， BB′ 的中点为 M ，CD 的中点为 N ， 异面直线 AM 与 DN′ 所成的角是 . 15. 在 5(1 2 ) (2 )xx−+展开式中， 4x 的系数为 . 16.关于 x 的方程 ln 10xkx x − −= 在( ]0,e 上有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范 围 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 据某市地产数据研究显示，2019 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3 月至 7 月房价上 涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月开始采用宏观调控措施，10 月份开始房价得到 很好的控制. （1） 地产数据研究发现，3 月至 7 月的各月均价 y （万元/平方米）与月份 x 之间具有较 强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程； （2） 若政府不调控，依此相关关系预测 12 月份该市新建住宅销售均价. 参考数据及公式： 55 5 11 1 25, 5.36, ( )( ) 0.64,i i ii ii i x y x xy y = = = = = − −=∑∑ ∑ 回归方程 ˆˆ ˆy bx a= + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ˆˆ,. () n ii i n i i x xy y b a y bx xx = = −− = = − − ∑ ∑ 3 18．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABEF 为等腰梯形， 且 AB∥ , 2, 2 4 4 2,EF AF EF AB AD= = = = 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF. （1） 求证： BE DF⊥ ; （2） 求三棱锥C ABE− 的体积 V. 19. （本小题满分 12 分） 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于 80 小时的某种技能培训才能上班，公司人事部 门在招聘的职工中随机抽取 200 名参加这种技能培训的数据，按时间段 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]75,80 , 80,85 , 85,90 , 90,95 , 95,100 ，（ 单位：小时）进行统计，其频率分布直方 图如图所示 . （1） 求抽取的 200 名职工中，参加这种技能培训时间不少于 90 小时的人数，并估计从招 聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于 90 小时的概率； （2） 从招聘职工（人数很多）中任意选取 3 人，记 X 为这 3 名职工中参加这种技能培训 时间不少于 90 小时的人数，试求 X 的分布列和数学期望 E(X)和方差 D(X). 4 20. （本小题满分 12 分） 设 3( ) lnf x ax x x= + （1） 求函数 ()() fxgx x = 的单调区间； （2） 若 12, (0, )xx∀ ∈ +∞ ，且 12 12 12 () (),1fx fxxx xx −><− ，求实数 a 的取值范围. 21. （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111ABC A B C− 中， 1CC ⊥ 平面 ,, 2ABC AC BC AC BC⊥==， 1 3CC = ， 点 ,DE分别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 1 2,AD CE M= = 为棱 11AB 的中点． （Ⅰ）求证： 11CM BD⊥ ； （Ⅱ）求二面角 1B BE D−−的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 1DB E 所成角的正弦值． 5 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) (ln )xf x e x ax a b= − ++ （ e 为自然对数的底数）， ,ab R∈ ，直线 2 eyx= 是 曲线 ()y fx= 在 1x = 处的切线. （1）求 ,ab的值； （2）是否存在 kZ∈ ,使得 ()y fx= 在( , 1)kk+ 上有唯一零点？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由. 6 数学检测题答案 一、 二、 三、13. 2 14. 90° 15.80 16. 2 1,1e e +  四、17.(10 分) 18.（12 分） （1） ,AD AB⊥ 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF, 平面 ABCD  平面 ABEF AB= ， AD ABEF∴⊥平面 ， AD BE∴⊥， …………………………2 分 取 EF 的中点记为 G，连接 AG， ,BA EG BA EG= , ABEG∴四边形 为平行四边形 ， 即 BE AG ，在三角形 AGF 中，AG=AF=2, 2222 2, ,GF AF AG GF= += 所以 AG AF⊥ . 即 BE AF⊥ . …………………………4 分 AD AF A= , BE ADF∴⊥平面 , ,.DF ADF BE DF⊂ ∴⊥平面 ………6 分 （2） 1 22 33C ABE ABEV S BC− = ⋅= ……………………12 分 19. 答案 C B A C D C A A 题号 9 10 11 12 答案 ABC BD ACD AC ………4 分 ………12 分 20. …6 分 （2）因为 120,xx>>所以 1 2 12() ()fx fx x x− <−，即 11 2 2() ()fx x fx x−< −恒成立， 设 () ()Fx fx x= − 在(0, )+∞ 上为减函数，即 () 0Fx′ ≤ 恒成立. 所以 2( ) 3 ln 0F x ax x′ = +≤，即 2 ln 3 xa x −≤ ，设 23 ln 3 6ln() , () ( 0)39 xxhx h x xxx − −+′= = > 当 (0, ), ( ) 0, ( )x e h x hx′∈<单减，当 ( , ),() 0,()x e h x hx′∈ +∞ > 单增， 1() ( ) 6hx h e e ≥=−，所以 1 6a e ≤− . ………12 分 21. 【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA    、CB  、 1CC  的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得 ( )0,0,0C 、 ( )2,0,0A 、 ( )0, 2,0B 、 ( )1 0,0,3C 、 ( )1 2,0,3A 、 ( )1 0, 2,3B 、 ( )2,0,1D 、 ( )0,0, 2E 、 ( )1,1, 3M . （Ⅰ）依题意， ( )1 1,1, 0CM=  ， ( )1 2, 2, 2BD= −−  ， 从而 112200CM BD⋅ =−+=   ，所以 11CM BD⊥ ； ………4 分 （Ⅱ）依题意， ( )2,0,0CA =    是平面 1BB E 的一个法向量， ( )1 0, 2,1EB =  ， ( )2,0, 1ED = −  ．设 ( ),,n xyz=  为平面 1DB E 的法向量， 则 1 0 0 n EB n ED  ⋅= ⋅=     ，即 20 20 yz xz +=  −= ，不妨设 1x = ，可得 ( )1, 1, 2n = −  ． 26cos , 626C CA n A C n An ⋅< >= = = ⋅ ×            ， 2 30sin , 1 cos , 6CA n CA n∴<>=−<>=         ． 所以，二面角 1B BE D−−的正弦值为 30 6 ； ………8 分 （Ⅲ）依题意， ( )2, 2,0AB = −  ．由（Ⅱ）知 ( )1, 1, 2n = −  为平面 1DB E 的一个法向量，于 是 43cos , 322 6 AB nAB n AB n ⋅−< >= = = − ×⋅      ． 所以，直线 AB 与平面 1DB E 所成角的正弦值为 3 3 . ………12 分 22. ………5 分 ………12 分