河北省衡水中学2012届高三第一次模拟考试（数学理）河北省衡水中学2012届高三第一次模拟考试（数学理） 14页

‎2011—2012学年度下学期一模考试 高三数学（理科） ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟 一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1、若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、已知为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、“”是“函数有零点”的（ ）‎ A.充分非必要条件 B.充要条件 论0 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6、在边长为1的正三角形中，，，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 A．或 B．或 C．或 D．或 ‎8、如上图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（ ）‎ ‎ A.4 B.3.15 C.4.5 D.3‎ ‎10、已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（1，0）到直 线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，‎ ‎.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的个数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、若f(x)在R上可导， ,则 .‎ ‎14、设面积为S的平面四边形的第条边的边长为，P是该四边形内一点，点P到第条边的距离记为，若，则，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，Q是该三棱锥内的一点，点Q到第个面的距离记为，若等于 。‎ ‎15、已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P—ABC的体积为 ‎ ‎16、已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为 。‎ 三.解答题（共6个小题，共70分）‎ ‎17、（满分12分）阅读下面材料：‎ ‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 ‎------①‎ ‎ ------②‎ 由①+② 得------③‎ 令 有 代入③得 .‎ ‎ (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:‎ ‎;‎ ‎ (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.‎ ‎(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)‎ ‎18、（本题满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．‎ ‎(1)求质点P恰好返回到A点的概率；‎ ‎(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．‎ ‎19、（本题满分12分）‎ A B C 第19题 图 如图，在三棱锥中， ‎ ‎（1）求证：平面⊥平面 ‎（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；‎ ‎ （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.‎ ‎20、（本题满分12分）‎ 设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；‎ ‎（3）若的面积满足，求的值．‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 已知函数 ‎ （I）当的单调区间；‎ ‎ （II）若函数的最小值；‎ ‎ （III）若对任意给定的，使得 ‎ 的取值范围。‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22、选修4-1：几何证明选讲 如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1、圆O2交于C，D两点。‎ ‎ 求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；‎ ‎ (Ⅱ)AD=AE。‎ ‎23、选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。‎ ‎(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；[来源:学§科§网]‎ ‎(Ⅱ)求|BC|的长。‎ ‎ ‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知关于x的不等式（其中）。‎ ‎ (Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；‎ ‎ (Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围。‎ ‎ 2011—2012学年度下学期一模考试 高三数学（理科） ‎ 一、选择题 ‎1、A. 2、C. 3、D. 4、A. 5、C.6、B.7、D．8、B 9、D.10、A 11、D. 12、C.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、-18 14、 15、10 16、‎ 三.解答题（共6个小题，共70分）‎ ‎17、解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①‎ ‎ ，------②…………………1分 ‎①-② 得.------③……………………2分 令有，‎ 代入③得.………………………………5分 ‎(Ⅱ)由二倍角公式,可化为 ‎ ,…………………………………8分 ‎ 所以.…………………………………9分 设的三个内角A,B,C所对的边分别为，‎ 由正弦定理可得.………………………………11分 根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为 ‎ ，…………………………………8分 ‎ 因为A,B,C为的内角，所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以,‎ 所以.‎ 从而.……………………………………………9分 又,所以，故.……………………………………11分 所以为直角三角形. ………………………………12分 ‎18、解析：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P1＝＝.‎ 只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为P2＝()2×3＝；‎ 若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果，其概率为P3＝()3×3＝；‎ 若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1)．其概率为P4＝()4＝.‎ 所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P2＋P3＋P4＝＋＋＝. 6分 ‎(2)由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2,3,4，‎ 则P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，‎ 所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝. 12分 ‎19.(满分12分)解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ‎∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面 4分 ‎（2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为 x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),‎ C(0,2,0),P(0,0, ), 5分 ‎∴‎ 设平面PBC的法向量，‎ 由得方程组 ‎，取 6分 ‎∴ ‎ ‎∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 8分 ‎（2）由题意平面PAC的法向量， ‎ 设平面PAM的法向量为 ‎ ‎∵又因为 ‎∴ 取 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 11分 ‎∴B点到AM的最小值为垂直距离。 12分 ‎20解：（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：‎ 又双曲线的标准方程为：‎ ‎（2）将代入到中并整理得：‎ 设则 ‎ 又 当且仅当时的最大值为9‎ ‎（3）直线的方程为：即 到直线的距离为：‎ 又 ‎21、解：（I）当 …………1分 由由 ‎ 故 …………3分 ‎ （II）因为上恒成立不可能，‎ 故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，‎ 即对恒成立。 …………4分 令 则 …………5分 ‎ ‎ 综上，若函数 …………6分 ‎ （III）‎ 所以，函数 …………7分 故 ① …………9分 此时，当的变化情况如下：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 最小值 ‎②③‎ ‎ ‎ 即②对任意恒成立。 …………10分 由③式解得： ④ ‎ 综合①④可知，当 在 使成立。…………12分 ‎22、【答案】（Ⅰ）分别是⊙的割线∴ ① （2分）‎ 又分别是⊙的切线和割线∴ ② （4分）‎ 由①，②得 （5分）‎ F ‎（Ⅱ）连结、‎ ‎ 设与相交于点 ‎∵是⊙的直径 ‎∴ ‎ ‎∴是⊙的切线. （6分）‎ 由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, （8分）‎ 又∵是⊙的切线，∴ ‎ 又，∴‎ ‎∴ （10分）‎ ‎23、（Ⅰ）由题意得，点的直角坐标为 (1分) ‎ ‎ 曲线L的普通方程为： （3分）‎ ‎ 直线l的普通方程为： （5分）‎ ‎（Ⅱ）设B（）C（）[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 联立得 ‎ 由韦达定理得， （7分） ‎ 由弦长公式得 （10分）‎ ‎【解析】略 ‎24、（Ⅰ）当时，， ‎ ‎ 时，，得 （1分）‎ ‎ 时，，得 （2分）‎ ‎ 时，，此时不存在 （3分）‎ ‎ ∴不等式的解集为 （5分）‎ ‎ （Ⅱ）∵设 ‎ ‎ 故，即的最小值为 ‎