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  • 2021-06-16 发布

高考数学黄金考点精析精训考点25双曲线与抛物线的方程及几何性质文

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考点 25 双曲线与抛物线的方程及几何性质 【考点剖析】 1.最新考试说明: (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用 . (2)了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质 . (3)理解数形结合的思想 . (4)了解圆锥曲线的简单应用 . 2.命题方向预测: 纵观近几年的高考试题,高考对双曲线的考查,主要考查以下几个方面:一是考查双曲线的 标准方程,结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系,利用待定系数法求解;二是考查 双曲线的几何性质,较多地考查离心率、渐近线问题;三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线 相结合的问题,综合性较强. 高考对抛物线的考查,主要考查以下几个方面:一是考查抛物线的标准方程,结合抛物线的 定义及抛物线的焦点,利用待定系数法求解;二是考查抛物线的几何性质,较多地涉及准线、 焦点、焦准距等;三是考查直线与抛物线的位置关系问题,过焦点的直线较多. 选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强,涉及直线与抛物线位置关系的解答题 增多. 3.课本结论总结: 1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内; (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值; (3)这一定值一定要小于两定点的距离. 2. 双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0) y2 a2-x2 b2=1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±b a x y=±a b x 离心率 e=c a ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 实虚轴 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长. a、b、c 的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b> 0) 3.抛物线方程及其几何性质 图 形 标 准方程 y2=2px(p >0) y2=-2px(p> 0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p> 0) 顶 点 O(0,0) 范 围 x≥0, y R x≤0, y R y≥0, x R y≤0, x R 对 称轴 x 轴 y 轴 焦 点 ,02 pF      ,02 pF     0, 2 pF      0, 2 pF     离 心率 e=1 准 线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  焦 半径 0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF y  0| | 2 pMF y  4.名师二级结论: 双曲线: 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e= 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而 求出 a2、b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a2、b2 的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x2 m2-y2 n2=λ(λ≠0), 再根据条件求λ的值. 三个防范 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲 线中 c2=a2 +b2. (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). 双曲线的标准方程中,对 a、b 的要求只是 a>0,b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a,b 的要 求相同. 若 a>b>0,则双曲线的离心率 e∈(1, 2); 若 a=b>0,则双曲线的离心率 e= 2; 若 0<a<b,则双曲线的离心率 e> 2. (3)双曲线x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)的 渐近线方程是 y=±b a x, y2 a2-x2 b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=±a b x. 抛物线: 一个结论 焦半径:抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F p 2 ,0 的距离|PF|=x0+p 2 . 两种方法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p 的值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数 p 的值,这里要注意抛物线标准方程有 四种形式.从简单化角度出发,焦点在 x 轴的,设为 y2=ax(a≠0),焦点在 y 轴的,设为 x2 =by(b≠0). 5.考点交汇展示: (1)与导函数及其应用交汇 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 2 4 x 与直线 y kx a  ( a >0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 【答案】(Ⅰ) 0ax y a   或 0ax y a   (Ⅱ)存在 【解析】(Ⅰ)由题设可得 (2 , )M a a , ( 2 2, )N a ,或 ( 2 2, )M a , (2 , )N a a . ∵ 1 2y x  ,故 2 4 xy  在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a   ,即 0ax y a   . 故 2 4 xy  在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 ( 2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a    ,即 0ax y a   . 故所求切线方程为 0ax y a   或 0ax y a   . ……5 分 (2)与解三角形交汇 【2018 届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线 E: 2 2 x a ﹣ 2 2 y b =1(a>0,b>0),点 F 为 E 的左焦点,点 P 为 E 上位于第一象限内的点,P 关于原 点的对称点为 Q,且满足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则 E 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】由题意可知:双曲线的右焦点 1F ,由 P 关于原点的对称点为Q 则 OP OQ 四边形 1PFQF 为平行四边形 则 1 1,PF FQ PF QF  由 3PF FQ ,根据双曲线的定义 1 2PF PF a  1 1, , ,PF a OP b OF c    1 90OPF   在 1 OPF 中, 1 12 , 3 ,PQ b QF a PF a   则   2 222 3b a a  ,整理得 2 22b a 则双曲线的离心率 2 21 3c be a a     (3)与平面向量交汇 【2017 届浙江省温州市高三 8 月模拟】过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线分别交抛物线于 ,A B 两点,交直线 1x   于点 P ,若  , ,PA AF PB BF R         ,则    ______________. 【答案】0 【考点分类】 热点一 双曲线的标准方程及其几何性质 1.【2017 天津,文 5】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ,点 A 在双曲线的 渐近线上, OAF△ 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 (A) 2 2 14 12 x y  (B) 2 2 112 4 x y  (C) 2 2 13 x y  (D) 2 2 13 yx   【答案】 D 【解析】 试 题分析:由题意结合双曲线的渐近线方程可得: 2 2 2 0 2 tan 60 3 c c a b b a            ,解得: 2 21, 3a b  , 双曲线方程为: 2 2 13 yx   ,本题选择 D 选项. 2.【2017 课标 II,文 5】若 1a  ,则双曲线 2 2 2 1x ya   的离心率的取值范围是( ) A. ( 2, ) B. ( 2,2) C. (1, 2) D. (1,2) 【答案】C 【解析】由题意 2 2 2 2 2 2 1 11c ae a a a     ,因为 1a  ,所以 2 11 1 2a    ,则1 2e  , 故选 C. 【方法总结】 1.双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0) (2)与双曲线 2 2 2 2 =1x y a b  有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 2 2 2 =x y a b   ( 0). (3)若已知渐近线方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m2x2-n2y2=λ(λ≠0). 2.已知双曲线的离心率 e 求渐近线方程注意应用 2 21+ be a  ,并判断焦点的位置. 3.已知渐近线方程 y=mx,求离心率时若焦点不确定时,m= b a (m>0)或 m= b a ,故离心率有 两种可能. 热点二 抛物线的标准方程及其几何性质 1.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、 E 两点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 2. 【2017 课标 II,文 12】过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F ,且斜率为 3 的直线交C 于点 M ( M 在 x 轴上方),l 为C 的准线,点 N 在l 上且 MN l ,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 【答案】C 【方法总结】 1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即 2.抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离. 3.抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用.注意定义在解题中的应 用.研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用;二是要结合图形分析,同时注意平面 几何性质的应用. 【热点预测】 1.【2016 高考新课标 1 卷】已知方程 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线,且该双曲线两焦点间 的距离为 4,则 n 的取值范围是( ) (A) 1,3 (B) 1, 3 (C) 0,3 (D) 0, 3 【答案】A 【解析】 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线,则   2 23 0m n m n   ∴ 2 23m n m   ,由双曲线性质知:    2 2 2 23 4c m n m n m     ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2 2 2 4c m   ,解得 1m  ,∴ 1 3n   ,故选 A. 2.【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1: 2 2 x m +y2=1(m>1)与双曲线 C2: 2 2 x n –y2=1(n>0)的焦点重 合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则( ) A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 C.m1 D.m