高考数学黄金考点精析精训考点25双曲线与抛物线的方程及几何性质文 15页

考点 25 双曲线与抛物线的方程及几何性质 【考点剖析】 1.最新考试说明： （1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用 . （2）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质 . （3）理解数形结合的思想 . （4）了解圆锥曲线的简单应用 . 2.命题方向预测： 纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的 标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查 双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线 相结合的问题，综合性较强. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的 定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、 焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，过焦点的直线较多. 选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强，涉及直线与抛物线位置关系的解答题 增多. 3.课本结论总结： 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2. 双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0) y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±b a x y＝±a b x 离心率 e＝c a ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 实虚轴 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|＝2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b> 0) 3.抛物线方程及其几何性质 图 形 标 准方程 y2=2px（p ＞0） y2=－2px（p＞ 0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞ 0） 顶 点 O（0，0） 范 围 x≥0， y R x≤0， y R y≥0， x R y≤0， x R 对 称轴 x 轴 y 轴 焦 点 ,02 pF      ,02 pF     0, 2 pF      0, 2 pF     离 心率 e=1 准 线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  焦 半径 0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF y  0| | 2 pMF y  4.名师二级结论： 双曲线： 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a、2b 或 2c，从而 求出 a2、b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2、b2 的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2 m2－y2 n2＝λ(λ≠0)， 再根据条件求λ的值． 三个防范 (1)区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲 线中 c2＝a2 ＋b2. (2)双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e∈(0,1)． 双曲线的标准方程中，对 a、b 的要求只是 a＞0，b＞0 易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要 求相同． 若 a＞b＞0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)； 若 a＝b＞0，则双曲线的离心率 e＝ 2； 若 0＜a＜b，则双曲线的离心率 e＞ 2. (3)双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的 渐近线方程是 y＝±b a x， y2 a2－x2 b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝±a b x. 抛物线： 一个结论 焦半径：抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2 ，0 的距离|PF|＝x0＋p 2 . 两种方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值，这里要注意抛物线标准方程有 四种形式．从简单化角度出发，焦点在 x 轴的，设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴的，设为 x2 ＝by(b≠0)． 5.考点交汇展示： （1）与导函数及其应用交汇 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= 2 4 x 与直线 y kx a  ( a ＞0)交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 【答案】（Ⅰ） 0ax y a   或 0ax y a   （Ⅱ）存在 【解析】（Ⅰ）由题设可得 (2 , )M a a ， ( 2 2, )N a ，或 ( 2 2, )M a ， (2 , )N a a . ∵ 1 2y x  ，故 2 4 xy  在 x = 2 2a 处的到数值为 a ，C 在 (2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a   ，即 0ax y a   . 故 2 4 xy  在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ，C 在 ( 2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a    ，即 0ax y a   . 故所求切线方程为 0ax y a   或 0ax y a   . ……5 分 （2）与解三角形交汇 【2018 届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线 E： 2 2 x a ﹣ 2 2 y b =1（a＞0，b＞0），点 F 为 E 的左焦点，点 P 为 E 上位于第一象限内的点，P 关于原 点的对称点为 Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则 E 的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】由题意可知：双曲线的右焦点 1F ，由 P 关于原点的对称点为Q 则 OP OQ 四边形 1PFQF 为平行四边形 则 1 1,PF FQ PF QF  由 3PF FQ ，根据双曲线的定义 1 2PF PF a  1 1, , ,PF a OP b OF c    1 90OPF   在 1 OPF 中， 1 12 , 3 ,PQ b QF a PF a   则   2 222 3b a a  ，整理得 2 22b a 则双曲线的离心率 2 21 3c be a a     (3)与平面向量交汇 【2017 届浙江省温州市高三 8 月模拟】过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线分别交抛物线于 ,A B 两点，交直线 1x   于点 P ，若  , ,PA AF PB BF R         ，则    ______________． 【答案】0 【考点分类】 热点一 双曲线的标准方程及其几何性质 1.【2017 天津，文 5】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，点 A 在双曲线的 渐近线上， OAF△ 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 （A） 2 2 14 12 x y  （B） 2 2 112 4 x y  （C） 2 2 13 x y  （D） 2 2 13 yx   【答案】 D 【解析】 试 题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得： 2 2 2 0 2 tan 60 3 c c a b b a            ，解得： 2 21, 3a b  ， 双曲线方程为： 2 2 13 yx   ，本题选择 D 选项. 2.【2017 课标 II，文 5】若 1a  ，则双曲线 2 2 2 1x ya   的离心率的取值范围是（ ） A. ( 2, ) B. ( 2,2) C. (1, 2) D. (1,2) 【答案】C 【解析】由题意 2 2 2 2 2 2 1 11c ae a a a     ，因为 1a  ，所以 2 11 1 2a    ，则1 2e  ， 故选 C. 【方法总结】 1．双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0) (2)与双曲线 2 2 2 2 =1x y a b  有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 2 2 2 =x y a b   （ 0）． (3)若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为 m2x2－n2y2＝λ(λ≠0). 2．已知双曲线的离心率 e 求渐近线方程注意应用 2 21+ be a  ，并判断焦点的位置． 3．已知渐近线方程 y＝mx，求离心率时若焦点不确定时，m＝ b a (m>0)或 m＝ b a ，故离心率有 两种可能. 热点二 抛物线的标准方程及其几何性质 1.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、 E 两点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 （ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 2. 【2017 课标 II，文 12】过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交C 于点 M （ M 在 x 轴上方），l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN l ,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 【答案】C 【方法总结】 1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即 2．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离． 3．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用．注意定义在解题中的应 用.研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面 几何性质的应用. 【热点预测】 1.【2016 高考新课标 1 卷】已知方程 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线,且该双曲线两焦点间 的距离为 4,则 n 的取值范围是( ) （A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3 【答案】A 【解析】 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线,则   2 23 0m n m n   ∴ 2 23m n m   ,由双曲线性质知：    2 2 2 23 4c m n m n m     ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2 2 2 4c m   ,解得 1m  ,∴ 1 3n   ,故选 A． 2.【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1： 2 2 x m +y2=1(m>1)与双曲线 C2： 2 2 x n –y2=1(n>0)的焦点重 合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则（ ） A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m1 D．m