高考数学黄金考点精析精训考点19线性规划理 21页

考点 19 线性规划 【考点剖析】 1.最新考试说明： 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一 次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 2.命题方向预测： 预计 2018 年高考对本节内容的考查仍将以求区域面积和目标函数最值（或取值范围）为主，考查约束条 件、目标函数中的参变量取值范围，题型延续选择题或填空题的形式，分值为 4到 5分. 3.课本结论总结： 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化，确定二元一次不等式表示的平 面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线 画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线，特殊点定域，即在直线 0Ax By C   的某一侧取一 个特殊点 0 0( , )x y 作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就 表示直线的另一侧．特别地，当 0C  时，常把原点作为测试点；当 0C  时，常选点 (1,0) 或者 (0,1) 作 为测试点；线性规划的综合运用问题，通常会考查一些非线性目标函数的最值，解决这类问题的关键是 利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义. 4.名师二级结论： （1）平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)． （2）求最值：求二元一次函数 ( 0)z ax by ab   的最值，将函数 z ax by  转化为直线的斜截式： a zy x b b    ，通过求直线的截距 z b 的最值间接求出 z的最值．最优解在顶点或边界取得． （3）解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性 约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版必修 5 第 86 页，练习 1 不等式 2 6 0x y   表示的区域在直线 2 6 0x y   的（ ） A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 【解析】如图所示，在平面直角坐标系中坐出直线 2 6 0x y   ，原点 (0,0) 满足不等式，因此可知不 等式 2 6 0x y   表示的区域为直线的右下方. 【经典理由】通过具体的例题，给出了利用特殊点定二元一次不等式所所表示的平面区域的一般方法. （2）新课标 A 版必修 5 第 91 页，练习 1（1） 求 2z x y  的最大值，使 x，y满足约束条件 1 1 y x x y y        【解析】如图，坐出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线 l：2 0x y  ，则可知，当 2, 1x y   时， max 3z  . 【经典理由】结合具体实例，给出了利用线性规划求线性目标函数最值的一般方法. 6.考点交汇展示： (1)线性规划与基本不等式相结合 设O为坐标原点，第一象限内的点 ( , )M x y 的坐标满足约束条件 2 6 0 2 0 x y x y        ， ( , ) ( 0, 0)ON a b a b    ，若OM ON    的最大值为 40，则 5 1 a b  的最小值为（ ） A. 25 6 B. 9 4 C.1 D.4 【答案】B (2)线性规划与平面向量相结合 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点 A， B满足 | |OA  | | 2OB OA OB       ，则点集{ |P OP   OA  OB  ， | | | | 1   ，， }R  所表示的区域的面积是________． 【答案】 4 3 【解析】由 | |OA  | | 2OB OA OB       ，知 1cos 2 AOB  ，∴ 3 AOB    ，又 A， B是两定点，可 设 ( 3,1)A ， (0, 2)B ， ( , )P x y ，由 OP   OA  OB  ，可得 3 2 x y       ＝ ， ＝ ＋ 3 3 3 2 6 x y x         . 因为 | | | | 1   ，所以 3 3 x ＋ 3 1 2 6 y x  ，当 0 3 3 0 3 3 6 x y x y x      － ＋ 由可行域可得 0 1 2 3 3 2 S     ，所以由对称性可知点 P所表示的区域面积 04 3S S  . 【考点分类】 热点 1 求目标函数的最值 1.【2017 北京，理 4】若 x，y 满足 3 2 x x y y x       ， ， ， 则 x + 2y 的最大值为（ ） （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】如图，画出可行域， 2z x y  表示斜率为 1 2  的一组平行线，当过点  3,3C 时，目标函数取得最大值 max 3 2 3 9z     ， 故选 D. 2.【2016 高考山东文理】若变量 x，y满足 2, 2 3 9, 0, x y x y x        则 x2+y2的最大值是（ ） （A）4（B）9（C）10（D）12 【答案】C 【解析】 试题分析：画出可行域如图所示，点 3 1A （， ）到原点距离最大，所以 2 2 max( ) 10x y  ，选 C. 3.【2017 课标 1，理 13】设 x，y满足约束条件 2 1 2 1 0 x y x y x y          ，则 3 2z x y  的最小值为 . 【答案】 5 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 易求得 1 1 1 1( 1,1), ( , ), ( , ) 3 3 3 3 A B C   ， 由 3 2z x y  得 3 2 2 zy x  在 y轴上的截距越大， z就越小 所以，当直线直线 3 2z x y  过点 A时， z取得最小值 所以 z取得最小值为3 ( 1) 2 1 5      4.若 ,x y满足约束条件 1 0 0 4 0 x x y x y          ，则 y x 的最大值为 . 【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由 图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 y x 的最大值为 3. 【解题技巧】 求约束条件下的二元函数的最值是典型的线性规划问题，求解这类问题时，目标函数所对应的直线的截 距十分关键，即把目标函数 z ax by  中的 z b 看作直线在 y轴上的截距，其中b的符号要特别小心：当 0b  时，直线过可行域且在 y轴上截距最大时， z值最大，在 y轴上的截距最小时， z值最小； 当 0b  时，直线过可行域且在 y轴上截距最大时， z值最小，在 y轴上的截距最小时， z值最大，例如 第 1 题，利用平移的方法，考查直线在可行域内在 y轴上的截距，即可求得最值. 【方法规律】 把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表 示的平面区域，但要注意是否包括边界，求目标函数的最大值或最小值，必须先画出准确的可行域，作 出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值. 热点 2 与其它知识点交汇 1.已知 ,x y满足约束条件 0 2 0 x y x y y        ，若 z ax y  的最大值为 4，则 a  （ ） （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【解析】不等式组 0 2 0 x y x y y        在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示， 若 z ax y  的最大值为 4，则最优解可能为 1, 1x y  或 2, 0x y  ，经检验， 2, 0x y  是最优 解，此时 2a  ； 1, 1x y  不是最优解.故选 B. 2. yx, 满足约束条件         022 022 02 yx yx yx ，若 axyz  取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数 a的值为（ ） A, 1 2 1 或 B. 2 12或 C.2 或 1 D. 12 或 【答案】D 2.【2016 年高考四川理数】设 p：实数 x，y满足 2 2( 1) ( 1) 2x y    ，q：实数 x，y满足 1, 1 , 1, y x y x y        则 p是 q的( ) （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】画出可行域（如图所示），可知命题 q中不等式组表示的平面区域 ABC 在命题 p中不等式表示 的圆盘内，故选 A. 3.【2018 陕西西安西北工业大学附属中学模拟】若平面区域 3 0 {2 3 0 2 3 0 x y x y x y          ，夹在两条斜率为 1的平行 直线之间，则这条平行直线间的距离的最小值是( ) A. 3 5 5 B. 5 C. 3 2 2 D. 2 【答案】D 【解析】作出平面区域如图所示： ∴当直线 y=x+b 分别经过 A，B 时，平行线间的距离相等. 联立方程组 3 0 { 2 3 0 x y x y       ,解得 A(2,1)， 联立方程组 3 0 { 2 3 0 x y x y       ,解得 B(1,2). 两条平行线分别为 y=x−1，y=x+1，即 x−y−1=0，x−y+1=0. ∴平行线间的距离为 1 1 2 2 d     ， 本题选择 D选项. 4.【2018 浙江嘉兴第一中学模拟】若不等式组 表示一个三角形内部的区域，则实数 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 表示直线的右上方，若构成三角形，点 A 在 的右上方即可。 又 ，所以 ，即 . 故选 C. 5.抛物线 2y x 在 1x  处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D（包含三角形内部和边界）.若点 ( , )P x y 是区域D内任意一点，则 2x y 的取值范围是 . 【答案】 1[ 2, ] 2  【方法规律】 与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式 的几何意义来完成的，常见代数式的几何意义：（1） 2 2x y 表示点 ( , )x y 到原点 (0,0) 的距离；（2） 2 2( ) ( )x a y b   表示点 ( , )x y 与点 ( , )a b 的距离；（3） y x 表示点 ( , )x y 与原点 (0,0) 连线的斜率值； （4） y b x a   表示点 ( , )x y 与点 ( , )a b 连线的斜率值. 【解题技巧】 几类常见问题的处理方法：最优解问题：如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得 最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动， 最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时( 1k k )， 其最优解可能有无数个，例如第 9题，就要用到前述的知识点来求解参数的值.整数解问题：若实际问题 要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，这时应作适当的调整，其方 法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附 近寻找. 热点 3 实际应用 1. 【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工 时．生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg,乙材 料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为 元． 【答案】 216000 【解析】设生产产品 A、产品 B分别为 x、 y 件,利润之和为 z元,那么 1.5 0.5 150, 0.3 90, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y        „ „ „ … … ① 目标函数 2100 900z x y  . 二元一次不等式组①等价于 3 300, 10 3 900, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y        „ „ „ … … ② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域. 将 2100 900z x y  变形,得 7 3 900 zy x   ,平行直线 7 3 y x  ,当直线 7 3 900 zy x   经过点M 时, z 取得最大值. 解方程组 10 3 900 5 3 600 x y x y      ,得M 的坐标 (60,100) . 所以当 60x  , 100y  时, max 2100 60 900 100 216000z      . 故生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为 216000元. 【方法规律】 解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为： (1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答． 【解题技巧】 解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成形表格，然后用字母表示变量，可以方便我 们列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 【热点预测】 1.【2016 高考天津理数】设变量 x，y 满足约束条件 2 0, 2 3 6 0, 3 2 9 0. x y x y x y            则目标函数 2 5z x y  的最小值为 （ ） （A） 4 （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 (0,2), (3,0), (1,3)A B C ，直线 z 2 5x y  过点 B 时取最 小值 6，选 B. 2.【2017 课标 3，文 5】设 x，y满足约束条件 3 2 6 0 0 0 x y x y        ，则 z x y  的取值范围是（ ） A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 【答案】B 3.设变量 x，y 满足约束条件 0 0 2 4 0 2 2 0 x y x y x y            ，则目标函数 2 2z x y  的取值范围是（ ） A. 4 16( , ) 5 5 B. 4( ,16) 5 C. (1,16) D. 16( , 4) 5 【答案】B 4.已知 0a  ， x， y满足约束条件 1 3 ( 3) x x y y a x       ，且 2z x y  的最小值为 1，则 a （ ） A.1 B.2 C. 1 4 D. 1 2 【答案】D 【解析】画出可行域，由于 2z x y  与 x均正相关，因此直线 2x y z  在 x轴上截距最小时， z取得 最 小值为1，此时，直线 2 1x y  应经过 1x  与 ( 3)y a x  的公共点 A，该点坐标为 ( 1,1)A  ，故 1 2 a  ， 选 D. 5.【2017 届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三 4 月联考】已知实数 ,x y满足 0 { 2 0 x y x y      则 2y x 的最 大值是( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】作出可行域，如图 BAC 内部（含两边），作直线 : 2 0l y x  ，向上平移直线 l， 2z y x  增加，当 l过点  1,1A 时， 2 1 1 1z     是最大值．故选 C． x＝1 y＝a(x－3) 2x＋y＝z x＋y＝3 y 0 x 31 A 6.【【百强校】2017 届河北衡水中学高三摸底联考】若 A为不等式组 0 0 2 x y y x       ，表示的平面区域，则当 a从 2 连续变化到1时，动直线 x y a  扫过 A中的那部分区域的面积为（ ） A．1 B． 3 2 C． 3 4 D． 7 4 【答案】D 【解析】在直角坐标系中作出区域 A，当 a从 2 连续变化到1时，动直线 x y a  扫过 A中的那部分区 域为下图中的四边形 AODE ，所以其面积为 1 1 1 72 2 1 2 2 2 4AOC DECS S S          ，故选 D. 7.变量 ,x y满足约束条件 1 2 3 14 y x y x y         ，若使 z ax y  取得最大值的最优解有无数个，则实数 a的取值 集合是（ ） A. { 3,0} B. {3, 1} C. {0,1} D. { 3,0,1} 【答案】B 8.当变量 ,x y满足约束条件 3 4 , 3 y x x y z x y x m         时 的最大值为 8，则实数m的值是（ ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数 3z x y  变形为 3 3 x zy   ，当直线经过可行域且尽可能地 向下平移时，故当直线过点 C时， z取到最大值，又 ( , )C m m ，所以8 3m m  ，解得 4m   ． 9.【2018 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量 ,x y满足约束条件 2 2 { 0 4 x y x y x        ，若不 等式 22 0x y m   恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. 6, 6   B. 7, 7   C.   , 6 6,    D.   , 7 7,    【答案】D 【解析】作出约束条件 2 2 { 0 4 x y x y x        所对应的可行域（如图中阴影部分），令 2z x y   ，当直线经过 点  4, 1A   时， z取得最大值，即  max 2 4 1 7z       ，所以   , 7 7,    ，故选 D． 10.【2018 湖北浠水实验高级中模拟】设 ， 满足不等式组 ，若 的最大值为 ，最小值为 ， 则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由 得 ,直线 是斜率为−a,y 轴上的截距为 z 的直 线, 要使目标函数在 A 处取得最小值，在 B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足 ， 即 ， 若 ，则目标函数斜率 ， 要使目标函数在 A 处取得最小值，在 B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足 ， 即 ， 综上 ， 故答案为：[−2,1]. 11.【2018 河南洛阳联考】已知 ， 满足条件 则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】作出可行域： ∵设 z= =1+ ，令 s= S 表示动点 与定点 连线的斜率 当点 在 B 时，s最小，即 z 的最小值为 ； 当点 在 A 时，s最大，即 z 的最大值为 . 故答案为：[3，9]． 12.【2018 重庆第一中学模拟】某玩具生产厂计划每天生产卡车模型、赛车模型、小汽车模型这三种玩具 共 个，生产一个卡车模型需 分钟，生产一个赛车需 分钟，生产一个小汽车需 分钟，已知总生产时 间不超过 小时，若生产一个卡车模型可获利 元，生产一个赛车模型可获利润 元，生产一个小汽车模 型可获利润 元，该公司合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大利润是__________元． 【答案】850 【解析】 约束条件为 整理得 目标函数为 W=2x+3y+600，作出可行域． 初始直线 l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点 A 时，W有最大值． 最优解为 A（50，50）， 所以 Wmax=850（元）． 13.已知O为坐标原点， 2(A ， )1 ， xP( ， )y 满足         01 2553 034 x yx yx ，则 AOPOP  cos 的最大值等 于 . 【答案】 5 512 【解析】 5 2cos yx OA OAOPAOPOP     ，设 yxz  2 ,如图：做出可行域 当目标函数平移到 C点取得最大值，      02553 034 yx yx 解得      2 5 y x ,  25，C ,代入目标函数 12252max z ， AOPOP  cos 的最大值为 5 512 . 14.某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一种甲产品使用 4个 A配件耗时 1h，每生产一 件乙产品使用 4个 B配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 【答案】每天生产甲产品 4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元. 【解析】设甲、乙两种产品分别生产 x， y 件，工厂获得的利润为 z，由题意可得 2 8 4 16 4 12 0 0 x y x y x y         ， 目标函数为 2 3z x y  ，作出线性约束条件表示的可行域如下图所示： 把 2 3z x y  变形为 2 3 3 zy x   ，这是斜率为 2 3  ，在 y 轴上截距为 3 z 的直线，当 z变化时，可以得 到一族相互平行的直线，当截距 3 z 最大时，z取得最大值，由上图可以看出， 2 3 3 zy x   ，当直线 4x  与直线 2 8 0x y   的交点 (4, 2)M 时，截距 3 z 的值最大，最大值为 14 3 ，此时 2 3 14x y  ，∴每天生 产甲产品 4件，乙产品 2件时，工厂可获得最大利润14万元.