人教新课标A版数学高三高考卷 17届 北京市高考数学卷（理科） 48页

2017 年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题.（每小题 5 分） 1．（5 分）若集合 A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞3}，则 A∩B=（ ） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的 取值范围是（ ） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞） 3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A．2 B． C． D． 4．（5 分）若 x，y 满足 ，则 x+2y 的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5 分）已知函数 f（x）=3x﹣（ ）x，则 f（x）（ ） A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 6．（5 分）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ） A．3 B．2 C．2 D．2 8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇 宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与 最接近的是（ ） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题（每小题 5 分） 9．（5 分）若双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 ，则实数 m= ． 10．（5 分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 = ． 11．（5 分）在极坐标系中，点 A 在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0 上，点 P 的坐标为 （1，0），则|AP|的最小值为 ． 12．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关 于 y 轴对称，若 sinα= ，则 cos（α﹣β）= ． 13．（5 分）能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b＞c”是假命题 的一组整数 a，b，c 的值依次为 ． 14．（5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其 中 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、 纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． （1）记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中最大的 是 ． （2）记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3 中 最大的是 ． 三、解答题 15．（13 分）在△ABC 中，∠A=60°，c= a． （1）求 sinC 的值； （2）若 a=7，求△ABC 的面积． 16．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平 面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD∥平面 MAC，PA=PD= ，AB=4． （1）求证：M 为 PB 的中点； （2）求二面角 B﹣PD﹣A 的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 17．（13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者． （1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标 x 的值 大于 1.7 的人数，求ξ的分布列和数学期望 E（ξ）； （3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的 方差的大小．（只需写出结论） 18．（14 分）已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）．过点（0， ）作直线 l 与抛 物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点． 19．（13 分）已知函数 f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值． 20．（13 分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记 cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…， bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中 max{x1，x2，…，xs}表示 x1，x2，…，xs 这 s 个 数中最大的数． （1）若 an=n，bn=2n﹣1，求 c1，c2，c3 的值，并证明{cn}是等差数列； （2）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 n≥m 时， ＞M；或者存 在正整数 m，使得 cm，cm+1，cm+2，…是等差数列． 2017 年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题.（每小题 5 分） 1．（5 分）（2017•北京）若集合 A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞3}，则 A ∩B=（ ） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；5J ：集合． 【分析】根据已知中集合 A 和 B，结合集合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合 A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞3}， ∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1} 故选：A 【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题． 2．（5 分）（2017•北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考点】A1：虚数单位 i 及其性质．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；59 ：不等式的解法及应用；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i 在复平面内对应的点在第二象限， 可得 ，解得 a 范围． 【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i 在复平面内对应的点在第二象 限， ∴ ，解得 a＜﹣1． 则实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题． 3．（5 分）（2017•北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A．2 B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】5K ：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当 k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ， 当 k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ， 当 k=3 时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为： ， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采 用模拟循环的方法解答． 4．（5 分）（2017•北京）若 x，y 满足 ，则 x+2y 的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即 可． 【解答】解：x，y 满足 的可行域如图： 由可行域可知目标函数 z=x+2y 经过可行域的 A 时，取得最大值，由 ，可得 A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键． 5．（5 分）（2017•北京）已知函数 f（x）=3x﹣（ ）x，则 f（x）（ ） A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版 权所有 【专题】2A ：探究型；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由已知得 f（﹣x）=﹣f（x），即函数 f（x）为奇函数，由函数 y=3x 为增 函数，y=（ ）x 为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案． 【解答】解：f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数 f（x）为奇函数， 又由函数 y=3x 为增函数，y=（ ）x 为减函数， 故函数 f（x）=3x﹣（ ）x 为增函数， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质 的综合应用，难度不大，属于基础题． 6．（5 分）（2017•北京）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜ 0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；5A ：平面向量及应用；5L ：简易逻辑． 【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相 反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．即可判断出结论． 【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方 向相反，可得 • ＜0． 反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立． ∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（5 分）（2017•北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长 度为（ ） A．3 B．2 C．2 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为 PA，根据勾 股定理求出即可． 【解答】解：由三视图可得直观图， 再四棱锥 P﹣ABCD 中， 最长的棱为 PA， 即 PA= = =2 ， 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题． 8．（5 分）（2017•北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与 最接近的是 （ ） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【考点】4G：指数式与对数式的互化．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入 M 将 M 也化 为 10 为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173， ∴ ≈ =1093， 故本题选：D． 【点评】本题解题关键是将一个给定正数 T 写成指数形式：T= ，考查指数 形式与对数形式的互化，属于简单题． 二、填空题（每小题 5 分） 9．（5 分）（2017•北京）若双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 ，则实数 m= 2 ． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m 即可． 【解答】解：双曲线 x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ， 可得： ， 解得 m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力． 10．（5 分）（2017•北京）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=﹣1，a4=b4=8， 则 = 1 ． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得 到结果． 【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=﹣1，a4=b4=8， 设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q． 可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2； 8=﹣q3，解得 q=﹣2，∴b2=2． 可得 =1． 故答案为：1． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力． 11．（5 分）（2017•北京）在极坐标系中，点 A 在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0 上， 点 P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 1 ． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法． 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的 点到点 P 的距离的最小值． 【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0 为圆 C，将圆 C 的极坐标方程化为： x2+y2﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1； 如图，当 A 在 CP 与⊙C 的交点 Q 处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值， 难度不大． 12．（5 分）（2017•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称，若 sinα= ，则 cos（α﹣β）= ﹣ ． 【考点】GP：两角和与差的余弦函数．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值． 【分析】方法一：根据教的对称得到 sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的 余弦公式即可求出 方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差 的余弦公式即可求出 【解答】解：方法一：∵角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称， ∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sinα= ， 当α在第一象限时，cosα= ， ∵α，β角的终边关于 y 轴对称， ∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ ：∵sinα= ， 当α在第二象限时，cosα=﹣ ， ∵α，β角的终边关于 y 轴对称， ∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ 综上所述 cos（α﹣β）=﹣ ， 故答案为：﹣ 【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类 讨论，属于基础题 13．（5 分）（2017•北京）能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b ＞c”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3 ． 【考点】FC：反证法．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑． 【分析】设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b＞c”是假命题，则若 a＞b ＞c，则 a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】解：设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b＞c”是假命题， 则若 a＞b＞c，则 a+b≤c”是真命题， 可设 a，b，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 14．（5 分）（2017•北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况 如图所示，其中 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件 数，点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1， 2，3． （1）记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中最大的是 Q1 ． （2）记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3 中 最大的是 p2 ． 【考点】35：函数的图象与图象变化．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；27 ：图表型；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用． 【分析】（1）若 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Qi=Ai 的综坐标 +Bi 的纵坐标；进而得到答案． （2）若 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 pi 为 AiBi 中点 与原点连线的斜率；进而得到答案． 【解答】解：（1）若 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数， Q1=A1 的纵坐标+B1 的纵坐标； Q2=A2 的纵坐标+B2 的纵坐标， Q3=A3 的纵坐标+B3 的纵坐标， 由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3 中最大的是 Q1， （2）若 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则 pi 为 AiBi 中点与原点连线的斜率， 故 p1，p2，p3 中最大的是 p2 故答案为：Q1，p2 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出 Qi 和 pi 的几何意义，是解答 的关键． 三、解答题 15．（13 分）（2017•北京）在△ABC 中，∠A=60°，c= a． （1）求 sinC 的值； （2）若 a=7，求△ABC 的面积． 【考点】HP：正弦定理．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；58 ：解三角形． 【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案， （2）根据同角的三角函数的关系求出 cosC，再根据两角和正弦公式求出 sinB， 根据面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∠A=60°，c= a， 由正弦定理可得 sinC= sinA= × = ， （2）a=7，则 c=3， ∴C＜A， 由（1）可得 cosC= ， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ， ∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ． 【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础 题 16．（14 分）（2017•北京）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD∥平面 MAC，PA=PD= ，AB=4． （1）求证：M 为 PB 的中点； （2）求二面角 B﹣PD﹣A 的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角． 【分析】（1）设 AC∩BD=O，则 O 为 BD 的中点，连接 OM，利用线面平行的性 质证明 OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得 M 为 PB 的中点； （2）取 AD 中点 G，可得 PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得 PG⊥平面 ABCD， 则 PG⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG，再证明 OG⊥AD．以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B﹣PD﹣A 的大小； （3）求出 的坐标，由 与平面 PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设 AC∩BD=O， ∵ABCD 为正方形，∴O 为 BD 的中点，连接 OM， ∵PD∥平面 MAC，PD ⊂ 平面 PBD，平面 PBD∩平面 AMC=OM， ∴PD∥OM，则 ，即 M 为 PB 的中点； （2）解：取 AD 中点 G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD， ∴PG⊥平面 ABCD，则 PG⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG， 由 G 是 AD 的中点，O 是 AC 的中点，可得 OG∥DC，则 OG⊥AD． 以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标 系， 由 PA=PD= ，AB=4，得 D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2， 4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ）， ， ． 设平面 PBD 的一个法向量为 ， 则由 ，得 ，取 z= ，得 ． 取平面 PAD 的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角 B﹣PD﹣A 的大小为 60°； （3）解： ，平面 PAD 的一个法向量为 ． ∴ 直 线 MC 与 平 面 BDP 所 成 角 的 正 弦 值 为 |cos ＜ ＞ |=| |=| |= ． 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题． 17．（13 分）（2017•北京）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两 组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的 生理指标 x 和 y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者． （1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标 x 的值 大于 1.7 的人数，求ξ的分布列和数学期望 E（ξ）； （3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的 方差的大小．（只需写出结论） 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．菁 优网版权 所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）由图求出在 50 名服药患者中，有 15 名患者指标 y 的值小于 60， 由此能求出从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标小于 60 的概率． （2）由图知：A、C 两人指标 x 的值大于 1.7，而 B、D 两人则小于 1.7，可知在 四人中随机选项出的 2 人中指标 x 的值大于 1.7 的人数ξ的可能取值为 0，1，2， 分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和 E（ξ）． （3）由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方 差大． 【解答】解：（1）由图知：在 50 名服药患者中，有 15 名患者指标 y 的值小于 60， 则从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标小于 60 的概率为： p= = ． （2）由图知：A、C 两人指标 x 的值大于 1.7，而 B、D 两人则小于 1.7， 可知在四人中随机选项出的 2 人中指标 x 的值大于 1.7 的人数ξ的可能取值为 0， 1，2， P（ξ=0）= ， P（ξ=1）= = ， P（ξ=2）= = ， ∴ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P E（ξ）= =1． （3）由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方 差大． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想，是中档题． 18．（14 分）（2017•北京）已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）．过点（0， ） 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点． 【考点】K8：抛物线的简单性质；KN：直线与抛物线的位置关系．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；44 ：数形结合法；5D ：圆锥曲线的 定义、性质与方程． 【分析】（1）根据抛物线过点 P（1，1）．代值求出 p，即可求出抛物线 C 的方程， 焦点坐标和准线方程； （2）设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦 达定理得到 x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明． 【解答】解：（1）∵y2=2px 过点 P（1，1）， ∴1=2p， 解得 p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（ ，0），准线为 x=﹣ ， （2）证明：设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴直线 OP 为 y=x，直线 ON 为：y= x， 由题意知 A（x1，x1），B（x1， ）， 由 ，可得 k2x2+（k﹣1）x+ =0， ∴x1+x2= ，x1x2= ∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =2kx1+（1﹣k） •2x1=2x1， ∴A 为线段 BM 的中点． 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦 达定理和中点的定义，属于中档题． 19．（13 分）（2017•北京）已知函数 f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点 切线方程．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）求出 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得 到所求方程； （2）求出 f（x）的导数，再令 g（x）=f′（x），求出 g（x）的导数，可得 g（x） 在区间[0， ]的单调性，即可得到 f（x）的单调性，进而得到 f（x）的最值． 【解答】解：（1）函数 f（x）=excosx﹣x 的导数为 f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为 k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0， 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1）， 曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=1； （2）函数 f（x）=excosx﹣x 的导数为 f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 令 g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 则 g（x）的导数为 g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex•sinx， 当 x ∈ [0， ]，可得 g′（x）=﹣2ex•sinx≤0， 即有 g（x）在[0， ]递减，可得 g（x）≤g（0）=0， 则 f（x）在[0， ]递减， 即有函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值为 f（0）=e0cos0﹣0=1； 最小值为 f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理 的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题． 20．（13 分）（2017•北京）设{an}和{bn}是两个等差数列，记 cn=max{b1﹣a1n， b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中 max{x1，x2，…，xs}表示 x1，x2，…， xs 这 s 个数中最大的数． （1）若 an=n，bn=2n﹣1，求 c1，c2，c3 的值，并证明{cn}是等差数列； （2）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 n≥m 时， ＞M；或者存 在正整数 m，使得 cm，cm+1，cm+2，…是等差数列． 【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（1）分别求得 a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得 c1， c2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则 b1﹣na1≥bk﹣nak，则 cn=b1﹣na1=1 ﹣n，cn+1﹣cn=﹣1 对 ∀ n ∈ N*均成立； （2）由 bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2 ﹣d1×n），分类讨论 d1=0，d1＞0，d1＜0 三种情况进行讨论根据等差数列的性质， 即可求得使得 cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；设 =An+B+ 对任意正整数 M， 存在正整数 m，使得 n≥m， ＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任 意正数 M，存在正整数 m，使得当 n≥m 时， ＞M． 【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5， 当 n=1 时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0， 当 n=2 时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1， 当 n=3 时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2， 下面证明：对 ∀ n ∈ N*，且 n≥2，都有 cn=b1﹣na1， 当 n ∈ N*，且 2≤k≤n 时， 则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）， =[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n， =（2k﹣2）﹣n（k﹣1）， =（k﹣1）（2﹣n），由 k﹣1＞0，且 2﹣n≤0， 则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则 b1﹣na1≥bk﹣nak， 因此，对 ∀ n ∈ N*，且 n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n， cn+1﹣cn=﹣1， ∴c2﹣c1=﹣1， ∴cn+1﹣cn=﹣1 对 ∀ n ∈ N*均成立， ∴数列{cn}是等差数列； （2）证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为 d1，d2，下面考虑的 cn 取值， 由 b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann， 考虑其中任意 bi﹣ain，（i ∈ N*，且 1≤i≤n）， 则 bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n， =（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n）， 下面分 d1=0，d1＞0，d1＜0 三种情况进行讨论， ①若 d1=0，则 bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2， 当若 d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0， 则对于给定的正整数 n 而言，cn=b1﹣a1n，此时 cn+1﹣cn=﹣a1， ∴数列{cn}是等差数列； 当 d2＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣n）d2＞0， 则对于给定的正整数 n 而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n， 此时 cn+1﹣cn=d2﹣a1， ∴数列{cn}是等差数列； 此时取 m=1，则 c1，c2，…，是等差数列，命题成立； ②若 d1＞0，则此时﹣d1n+d2 为一个关于 n 的一次项系数为负数的一次函数， 故必存在 m ∈ N*，使得 n≥m 时，﹣d1n+d2＜0， 则当 n≥m 时，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i ∈ N*，1≤i ≤n）， 因此当 n≥m 时，cn=b1﹣a1n， 此时 cn+1﹣cn=﹣a1，故数列{cn}从第 m 项开始为等差数列，命题成立； ③若 d1＜0，此时﹣d1n+d2 为一个关于 n 的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在 s ∈ N*，使得 n≥s 时，﹣d1n+d2＞0， 则当 n≥s 时，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i ∈ N*，1≤i ≤n）， 因此，当 n≥s 时，cn=bn﹣ann， 此时= =﹣an+ ， =﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ， 令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C， 下面证明： =An+B+ 对任意正整数 M，存在正整数 m，使得 n≥m， ＞M， 若 C≥0，取 m=[ +1]，[x]表示不大于 x 的最大整数， 当 n≥m 时， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M， 此时命题成立； 若 C＜0，取 m=[ ]+1， 当 n≥m 时， ≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M， 此时命题成立， 因此对任意正数 M，存在正整数 m，使得当 n≥m 时， ＞M； 综合以上三种情况，命题得证． 【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用， 考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转 化思想，考查计算能力，属于难题． 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、 逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能 力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点． 1．充分条件：对于命题“若 p 则 q”为真时，即如果 p 成立，那么 q 一定成立， 记作“p ⇒ q”，称 p 为 q 的充分条件．意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立， 换句话说要使结论 q 成立，具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件．如 p：x≥6，q：x＞2，p 是 q 成立的充分条件，而 r：x＞3，也是 q 成立的充分条 件． 必要条件：如果 q 成立，那么 p 成立，即“q ⇒ p”，或者如果 p 不成立，那么 q 一 定不成立，也就是“若非 p 则非 q”，记作“￢p ⇒ ￢q”，这是就说条件 p 是 q 的必 要条件，意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件． 充要条件：如果既有“p ⇒ q”，又有“q ⇒ p”，则称条件 p 是 q 成立的充要条件，或 称条件 q 是 p 成立的充要条件，记作“p ⇔ q”． 2．从集合角度看概念： 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示，那么 ①“p ⇒ q”，相当于“P ⊆ Q”．即：要使 x ∈ Q 成立，只要 x ∈ P 就足够了﹣﹣有它就行． ②“q ⇒ p”，相当于“P ⊇ Q”，即：为使 x ∈ Q 成立，必须要使 x ∈ P﹣﹣缺它不行． ③“p ⇔ q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物． 3．当命题“若 p 则 q”为真时，可表示为，则我们称 p 为 q 的充分条件，q 是 p 的 必要条件．这里由，得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的．但为什么说 q 是 p 的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若 q 不成立， 则 p 一定不成立．这就是说，q 对于 p 是必不可少的，所以说 q 是 p 的必要条件． 4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是 说，如果命题 p 等价于命题 q，那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立； 同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立． 【解题方法点拨】 1．借助于集合知识加以判断，若 P ⊆ Q，则 P 是 Q 的充分条件，Q 是的 P 的必要 条件；若 P=Q，则 P 与 Q 互为充要条件． 2．等价法：“P ⇒ Q” ⇔ “￢Q ⇒ ￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆 命题和原命题的否命题是等价的． 3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必 要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“ ⇔ ”连接． 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的 数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中， 都会考查此类问题． 3．函数的图象与图象变化 【知识点的认识】 函数的图象是函数的表示方法之一，能够直观的反映出函数的定义域与函数的值 域的对应关系，函数的单调性，变化规律．研究和记忆函数性质的直观工具，利 用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用． 函数的图象变化，是函数作图、函数的性质的应用．包括图象的左右平移、上下 平移，对称变换，函数图象的伸缩． 【解题方法点拨】 绘制函数图象的一般方法，一利用描点法，二是利用基本初等函数的图象， 通过函数图象变换的方法作图． 掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质． 利用函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等． 【命题方向】函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之 一． 1．作出函数的图象． 2．利用函数的图象求出函数的解析式，已经解析式中有关物理量． 3．函数与函数的图象的对应关系题目． 4．函数图象的变换题目． 4．奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把 它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时 能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数 f（x）的定义域关于 原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x）=﹣f（x），其图象特点是关于 （0，0）对称．②偶函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x， 都有 f（﹣x）=f（x），其图象特点是关于 y 轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用 f（0）=0 解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用 f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用 f（x）=f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相 反 例题：如果 f（x）= 为奇函数，那么 a= ． 解：由题意可知，f（x）的定义域为 R， 由奇函数的性质可知，f（x）= =﹣f（﹣x） ⇒ a=1 【命题方向】奇偶性与单调性的综合． 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题 的时候多多总结，一定要重视这一个知识点． 5．指数式与对数式的互化 【知识点归纳】 ab=N ⇔ logaN=b； alogaN=N；logaaN=N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）=b ⇔ f（x）=logab；logaf（x）=b ⇔ f（x）=ab（定义法） （2）af（x）=ag（x） ⇔ f（x）=g（x）；logaf（x）=logag（x） ⇔ f（x）=g（x）＞0（同 底法） （3）af（x）=bg（x） ⇔ f（x）logma=g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）=logbg（x） ⇔ logaf（x）= ；（换底法） （5）Alog x+Blogax+C=0（A（ax）2+Bax+C=0）（设 t=logax 或 t=ax）（换元法） 6．利用导数求闭区间上函数的最值 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f （x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数的一个极大值，记作 y 极大值=f（x0），是极大值 点． 2、极小值 一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x） ＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值=f（x0），是极小 值点． 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数 值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极 小值，如下图所示，x1 是极大值点，x4 是极小值点，而 f（x4）＞f（x1）． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别 f（x0）式极大值、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 5、求可导函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格．检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号，那么 f（x）在这个根处无极值． 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数 f（x）的图象．图中 f（x1）与 f（x3） 是极小值，f（x2）是极大值．函数 f（x）在[a，b]上的最大值是 f（b），最小值 是 f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如 函数 f（x）= 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值 点附近函数值得出的． （3）函数 f（x）在闭区间[a，b]上连续，是 f（x）在闭区间[a，b]上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数 f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点 的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求 f（x）在[a，b]上的最 大值与最小值的步骤如下： （1）求 f（x）在（a，b）内的极值； （2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b）比较得出函数 f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数 f （x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 7．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查 学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为 包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题 的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上 的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】 例：已知函数 y=xlnx，求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程． 解：k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时，y=0，所以切点为（1，0） ∴切线方程为 y﹣0=1×（x﹣1）， 即 y=x﹣1． 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的 导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家 灵活应用，认真总结． 8．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 9．数列的应用 【知识点的知识】 1、数列与函数的综合 2、等差数列与等比数列的综合 3、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合． 10．等差关系的确定 【知识点的知识】 等差数列的判定方法： （1）定义法：an+1﹣an=d（常数）（n ∈ N+） ⇔ {an}是等差数列． （2）递推法：2an+1=an+an+2 （n ∈ N+） ⇔ {an}是等差数列． （3）性质法：利用性质来判断． （4）通项法：an=pn+q（p，q 为常数） ⇔ {an}是等差数列． （5）求和法：Sn=An2+Bn（A，B 为常数，Sn 为{an}的前 n 项的和） ⇔ {an}是等差 数列． 其中 4、5 两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否 是等差数列，一般用 1、2、3 这三种方法，而方法 3 还经常与 1、2 混合运用．下 面举例说明如何判断一个数列是等差数列． 11．等差数列与等比数列的综合 【知识点的知识】 1、等差数列的性质 （1）若公差 d＞0，则为递增等差数列；若公差 d＜0，则为递减等差数列；若公 差 d=0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项 之和； （3）m，n ∈ N+，则 am=an+（m﹣n）d； （4）若 s，t，p，q ∈ N*，且 s+t=p+q，则 as+at=ap+aq，其中 as，at，ap，aq 是数 列中的项，特别地，当 s+t=2p 时，有 as+at=2ap； （5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中 m， k 均为常数． （6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1 仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的 前后两项的等差中项，即 2an+1=an+an+2， 2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m ∈ N+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为 kd（首项不一定选 a1）． 2、等比数列的性质． （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m ∈ N*）． （2）若{an}为等比数列，且 k+l=m+n，（k，l，m，n ∈ N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}， 仍是等比数列． （4）单调性： 或 ⇔ {an}是递增数列； 或 ⇔ {an} 是递减数列；q=1 ⇔ {an}是常数列；q＜0 ⇔ {an}是摆动数列． 12．虚数单位 i 及其性质 【虚数单位 i 的概念】 i 是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以 i 是﹣1 的平方根．我们把 a+bi 的数叫 做复数，把 a=0 且 b≠0 的数叫做纯虚数，a≠0，且 b=0 叫做实数．复数的模为 ． 【复数的运算】 ①复数的加法，若 M=a+bi，N=c+di，那么 M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实 部相加，虚部与虚部相加． ②复数的乘法，若 M=a+bi，N=c+di，那么 M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项 式乘法类似，只不过要加上 i． 【例题解析】 例：定义运算 ，则符合条件 的复数 z 为． 解 ： 根 据 定 义 ， 可 知 1 × zi ﹣ （ ﹣ 1 ） × z=4+2i ， 即 z （ 1+i ） =4+2i ， ∴ z= = =3﹣i． 这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用 到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相 除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变 为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为 a+bi，然后 在求出 a 和 b，这种类型的题一般用待定系数法． 【考点分析】 复数考查的比较基础，需要掌握的主要是一要会运算，特别是如何把复数的 分母变成实数；二要学会待定系数法；三是会求模． 13．离散型随机变量及其分布列 【考点归纳】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量 叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中 a、b 是常 数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值， 这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续 型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按 一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示， 并且 X 是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量 X 叫做一个随机变量．随机 变量常用大写字母 X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来， 则称 X 为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量 X 的所有可能值为 x1，x2，…，xn；X 取 每一个对应值的概率分别为 p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量 X 的概率分布，或称为离散型随机变量 X 的分布列． （2）性质：①pi≥0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=1． 14．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 15．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 16．反证法 【知识点的认识】 反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻 辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断 定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证 法． 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少， 不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使 用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛 盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而 间接地证明命题为真． 17．两角和与差的余弦函数 【知识点的认识】 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= ． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= ． 18．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 问 题 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 19．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质： 20．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 质 渐近线 ± =0 ± =0 21．直线与抛物线的位置关系 22．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 23．直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影 所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为 90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为 0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜 线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体 的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影 所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各 线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合 的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线 就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有 无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交 直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯 一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定 义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角． 24．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等． 25．简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义：如果曲线 C 上的点与方程 f（ρ，θ）=0 有如下关系 （1）曲线 C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程 f（ρ，θ）=0； （2）以方程 f（ρ，θ）=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上． 则曲线 C 的方程是 f（ρ，θ）=0． 二、求曲线的极坐标方程的步骤： 与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设 M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于 M 的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程 f（ρ，θ）=0 即为曲线的方程） 三、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为 r，ρ=r． （2）中心在 C（ρ0，θ0），半径为 r． ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2． 四、直线的极坐标方程 （1）过极点，θ=θ0（ρ ∈ R） （2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a （3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a （4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1） 五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图；2、设点 M（ρ，θ）是直线上任意一点； 3、连接 MO；4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求．