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- 2021-06-16 发布
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绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工类) (北京卷)
本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,第 I卷 1 至 2 页,第 II卷 3 至
9 页,
共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷(选择题共 40 分)
注意事项:
1.答第 I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求 的一项。
(1)在复平面内,复数
1 i
i
对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(2)若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为
(A)36 个 (B)24 个
(C)18 个 (D)6 个
(4)平面 的斜线 AB 交 于点 B,过定点 A 的动直线 l与 AB 垂直,且交
于点 C,则动 点 C 的轨迹是
(A)一条直线 (B)一个圆
(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支
(5)已知
(3 1) 4 , 1
( )
log , 1a
a x a x
f x
x x
是 ( , ) 上的增函数,那么 a 的取值范
围是
(A)(0,1) (B)(0,
1
3
)
(C)
1
7
,
1
3
(D) 1 ,1
7
(6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 1x , 2x ( 1 2x x ).
2 1 2 1( ) ( )f x f x x x 恒成立”的只有
(A)
1( )f x
x
(B) ( )f x x
(C) ( ) 2f x (D) 2( )f x x
(7)设
4 7 10 1( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N ,则 ( )f n 等于
(A)
2 (8 1)
7
n (B)
2 (8 1)
7
n
(C) 12 (8 1)
7
n (D) 12 (8 1)
7
n
(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、
C 的机动车辆数如图所示,图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB
,BC
CA
的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相
等),则
(A) 1 2 3x x x
(B) 1 3 2x x x
(C) 2 3 1x x x
(D) 3 2 1x x x
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文史类) (北京卷)
第 II 卷(共 110 分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共 6 小题,每小 题 5 分,共 30 分。把答
案填在题中横线上。
(9)
2
21
3 2lim
1n
x x
x
的值等于 ________ .
(10)在
72( )x
x
的展开式中, 2x 的系数是 ________ .(用数字作答)
(11)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab 0)共线,则,
1 1
a b
的值等于 ________
(12)在△ABC 中,若 C BA sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是
________
(13)已知点 P(x,y)的坐标满足条件
4
,
1,
x y
y x
y
点 O为坐标原点,那么|PO |的最小值
等于 ________ ,最大值等于 ________ .
(14)已知 A、B、C三点在球心为 O,半径为 R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A、
B 两点间的球面距离为 ________ 球心到平面 ABC 的距离为 ________ .
. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)(本小题共 12 分)
已知函数
1 2 sin(2 )
4( )
cos
x
f x
x
.
(Ⅰ)求 ( )f x 的定义域;
(Ⅱ)设 的第四象限的角,且 tan 4
3
,求 ( )f 的值
(16)(本小题共 13 分)
已知函数
3 2( )f x ax bx cx 在点 0x 处取得极大值 5,其导函数 ( )y f x
的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:
(Ⅰ) 0x 的值;(Ⅱ)a,b,c 的值.
(17)(本小题共 14 分)
如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且
PA=PB,点 E 是 PD 的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥PB;
(Ⅱ)求证:PB//平面 AEC;
(Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小.
(18)(本小题共 13 分)
某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考
试是否及格相互之间没有影响. 求:
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)
(19)(本小题共 14 分)
已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P满足条件|PM |-|PN |= 2 2 ,记动点 P的轨
迹为 W.
(Ⅰ)求 W 的方程;
(Ⅱ)若 A,B 是W上的不同两点,O 是坐标原点,求
OA
、OB
的最小值.
(20)(本小题共 14 分)
在数列 na 中,若 a1,a2 是正整数,且 1 2n n na a a , n 3,4,5,…,则称 na
为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列” na 中, 20 3a , 21 0a ,数列 nb 满足 1 2n n n nb a a a
n=1,2,3,…,分虽判断当 n时, na 与 nb 的极限是否存在,如果存在,求出其极
限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
数学(理工类)(北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
(1)D (2)C (3)B (4)A
(5)C (6)A (7)D (8)C
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
(9)
1
2
(10)-14 (11)
1
2
(12)
3
(13) 2 10 (14)
1
3
R 3
2
R
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
(15)(共 12 分)
解:(Ⅰ)由 cos 0x 得 ( )
2
x k k Z ,
故 ( )f x 在定义域为 , ,
2
x x k k Z
(Ⅱ)因为
4tan
3
,且 是第四象限的角,
所以
4 3sin ,cos ,
5 5
故
1 2 sin(2 )
4( )
cos
f x
2 21 2( sin 2 cos 2 )
2 2
cos
1 sin 2 cos 2
cos
22cos 2sin cos
cos
2(cos sin )
14
5
.
(16)(共 13 分)
解法一:
(Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上 ( ) 0f x ,在(1,2)上 ( ) 0f x ,在 (2, ) 上 ( ) 0f x ,
故 ( )f x 在 ( ,1) , (2, ) 上递增,在(1,2)上递减,因此 ( )f x 在 1x 处取得极大值 ,所以
0 1x .
(Ⅱ)
2( ) 3 2 ,f x ax bx c
由 (1) 0, (2) 0, (1) 5,f f f
得
3 2 0,
12 4 0,
5,
a b c
a b c
a b c
解得 2, 9, 12.a b c
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设 2( ) ( 1)( 2) 3 2 ,f x m x x mx mx m
又
2( ) 3 2 ,f x ax bx c
所以
3, , 2 ,
3 2
ma b m c m
3 23( ) 2 .
3 2
mf x x mx mx
由 (1) 5f ,
即
3 2 5,
3 2
m m m
得 6m ,
所以 2, 9, 12a b c .
(17)(共 17 分)
解法一:
(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.
又∵AB⊥AC,AC平面 ABCD,
∴AC⊥PB.
(Ⅱ)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO.
∵ABCD 是平行四边形,
∴O 是 BD 的中点
又 E 是 PD 的中点
∴EO∥PB.
又 PB平面 AEC,EO平面 AEC,
∴PB∥平面 AEC.
(Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为 ( , ,0)
2 2
a b
,OG
= (0, ,0)
2
b
.
又 (0, , ),
2 2
b bOE
( ,0,0).AC a
, ,OE AC OG AC
EOG 是二面角 E AC B 的平面角
2cos cos , .
2
OE OGEOG OE OG
OE OG
135OEOG
二面角 E-AC-B的大小为135o .
(18)(共 13 分)
解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C,
则 ( ) , ( ) , ( )P A a P B b P C c
(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
1 ( ) ( ) ( ) ( )p P A B C P A B C P A B C P A B C
(1 ) (1 ) (1 )ab c bc a ac b abc
2 ;ab bc ca abc
应聘者用方案二考试通过的概率
2
1 1 1( ) ( ) ( )
3 3 3
p p A B p B C p A C
1 ( )
3
ab bc ca .
(Ⅱ)因为 , , 0,1a b c ,所以
1 2
2 ( ) 2
3
p p ab bc ca abc
2 (1 ) (1 ) (1 ) 0,
3
ab c bc a ca b
故 1 2p p ,
即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.
(19)(共 14 分)
解法一:
(Ⅰ)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支,实
半轴长 2a
又半焦距 c=2,故虚半轴长
2 2 2b c a
所以 W 的方程为
2 2
1
2 2
x y
, 2x
(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为 1 1( , )x y , 2 2( , )x y
当 AB⊥x轴时, 1 2 ,x x 从而 1 2 ,y y 从而
2 2
1 2 1 2 1 1 2.OA OB x x y y x y
当 AB与 x轴不垂直时,设直线 AB的方程为 y kx m ,与W的方程联立,消去 y得
2 2 2(1 ) 2 2 0.k x kmx m
故 1 2 2
2 ,
1
kmx x
k
2
1 2 2
2 ,
1
mx x
k
所以 1 2 1 2OA OB x x y y
1 2 1 2( )( )x x kx m kx m
2 2
1 2 1 2(1 ) ( )k x x km x x m
2 2 2 2
2
2 2
(1 )( 2) 2
1 1
k m k m m
k k
2
2
2 2
1
k
k
2
42
1k
.
又因为 1 2 0x x ,所以
2 1 0k ,从而 2.OA OB
综上,当 AB⊥ x轴时, OA OB
取得最小值 2.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为,则 1 1( , )x y , 2 2( , )x y ,则
2 2 ( )( ) 2( 1,2).i i i i i ix y x y x y i
令 , ,i i i i i is x y t x y
则 2,i is t 且 0, 0( 1,2)i is t i 所以
1 2 1 2OA OB x x y y
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1( )( ) ( )( )
4 4
s t s t s t s t
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2,
2 2
s s t t s s t t
当且仅当 1 2 1 2s s t t ,即 1 2
1 2
,x x
y y
时” ”成立.
所以OA
、OB
的最小值是 2.
(20)(共 14 分)
(Ⅰ)解: 1 2 3 4 5 6 73, 1, 2, 1, 1, 0, 1a a a a a a a , 8 9 101, 0, 1.a a a (答
案不惟一)
(Ⅱ)解:因为在绝对差数列 na 中 20 3a , 21 0a .所以自第 20 项开始,该数列
是 20 3a , 21 0a , 22 22 24 25 26 273, 3, 0, 3, 3, ,a a a a a a o .
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n时, na 的极限
不存在.
当 20n 时, 1 2 6n n n nb a a a ,所以 lim 6nn
b
(Ⅲ)证明:根据定义,数列 na 必在有限项后出现零项.证明如下
假设 na 中没有零项,由于 1 2n n na a a ,所以对于任意的 n,都有 1na ,从而
当 1 2n na a 时, 1 2 1 1( 3)n n n na a a a n ;
当 1 2n na a 时, 2 1 2 1( 3)n n n na a a a n
即 na 的值要么比 1na 至少小 1,要么比 2na 至少小 1.
令
2 1 2 1 2
2 2 1 2
( ),
( ),
n n n
n
n n n
a a a
C
a a a
1,2,3, ,n
则 10 1( 2,3,4, ).A nC C n
由于 1C 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 1 0C ,这与 0nC ( 1,2,3, ,n )
矛盾. 从而 na 必有零项.
若第一次出现的零项为第 n项,记 1 ( 0)na A A ,则自第 n项开始,每三个相邻的项周
期地取值 0, A , A , 即
3
3 1
3 2
0,
, 0,1, 2,3, ,
,
n k
n k
n k
a
a A k
a A
所以绝对差数列 na 中有无穷多个为零的项.
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工农医类)(北京卷)(编辑:ahuazi)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1至 2页,
第Ⅱ卷 3至 9页,共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束,将本试卷和答题卡
一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题
卡。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项。
(1) 在复平面内,复数
1 i
i
对应的点位于(D)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解:
1 i
i
1 1
1
i i i(+)
= =-
-
故选 D
(2)若 a
与b c
都是非零向量,则“ a b a c
”是“ ( )a b c
”的(C)
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解: a b a c
a b a c 0
- = a b c 0
(-)= a b c
(-)
故选 C
(3)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为
奇数的共有(B)
(A)36 个 (B)24 个
(C)18 个 (D)6个
解:依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是奇数,有 3
3A
种方法(2)3 个数字中有一个是奇数,有 1 3
3 3C A ,故共有 3
3A + 1 3
3 3C A =24 种
方法,故选 B
(4)平面 的斜线 AB交 于点 B,过定点 A的动直线 l与 AB垂直,且交 于
点C,则动点C的轨迹是(A)
(A)一条直线 (B)一个圆
(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支
解:设 l与 l 是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜
线 AB垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可
知过定点 A与 AB垂直所有直线都在这个平面内,故动点 C 都在这个平面与
平面 的交线上,故选 A
(5)已知
(3 1) 4 , 1
( )
log , 1a
a x a x
f x
x x
是 ( , ) 上的减函数,那么 a的取值范围
是(C)
(A) (0,1) (B)
1(0, )
3
(C)
1 1[ , )
7 3
(D)
1[ ,1)
7
解:依题意,有 0a1 且 3a-10,解得 0a
1
3
,又当 x1 时,(3a-1)x
+4a7a-1,当 x1 时,logax0,所以 7a-10 解得 x
1
7
故选 C
(6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间 (1, 2)上的任意 1 2 1 2, ( )x x x x ,
1 2 2 1| ( ) ( ) | | |f x f x x x 恒成立”的只有(A)
(A)
1( )f x
x
(B) | |f x x
(C) ( ) 2xf x (D) 2( )f x x
解: 2 1
1 2
1 2 1 2 1 2
x x1 1 1| | | | |x x
x x x x |x x |
-
- = = - | 1 2x x 1 2 , ( ,) 1 2x x 1
1 2
1
x x
1
1 2
1 1|
x x
- ||x1-x2|故选 A
(7)设 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N ,则 ( )f n 等于(D)
(A)
2 (8 1)
7
n (B) 12 (8 1)
7
n
(C) 32 (8 1)
7
n (D) 42 (8 1)
7
n
解:依题意, ( )f n 为首项为 2,公比为 8 的前 n+4 项求和,根据等比数列
的求和公式可得 D
(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路
口 , ,A B C的机动车辆数如图所示,图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间
通过路段 , ,AB BC CA的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,
同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 20,30;35,30;55,50 (C)
(A) 1 2 3x x x
(B) 1 3 2x x x
(C) 2 3 1x x x
(D) 3 2 1x x x
解:依题意,有 x1=50+x3-55=x3-5,x1x3,同理,
x2=30+x1-20=x1+10
x1x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5x3x2故选 C
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工农医类)(北京卷)
第Ⅱ卷(共 110 分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30 分。把答案填在题中横线上。
(9)
2
21
3 2lim
1x
x x
x
的值等于
_______
1
2
解:
2
21
3 2lim
1x
x x
x
=
1
x 1 x 2lim
x 1 x 1x
( )( + )
( + )( - )
=
1
x 2 1lim
x 1 2x-
+
=-
-
(10)在 72( )x
x
的展开式中, 2x 的系数为 14
__________
- (用数字作答).
解:
7 3r
r 7 r r r r 2
r+1 7 7
2T C x 2 C x
x
-
-= ( )(- )=(- ) 令
7 3r 2
2
-
= 得 r=1 故 2x 的系数为
1
72 C(- )
=-14
(11)若三点 (2, 2), ( ,0), (0, )( 0)A B a C b ab 共线,则
1 1
a b
的值等于
_______
1
2
解: a 2 2AB
=( - ,- ), C 2 b 2A
=(- , - ),依题意,有(a-2)(b-2)
-4=0
即 ab-2a-2b=0 所以
1 1
a b
=
1
2
(12)在 ABC 中,若 sin : sin : sin 5 : 7 :8A B C ,则 B 的大小是
________
3
.
解: sin : sin : sin 5 : 7 :8A B C abc=578 设 a=5k,b=7k,c=8k,由余弦
定理可解得 B 的大小为
3
.
(13)已知点 ( , )P x y 的坐标满足条件
4
1
x y
y x
x
,点O为坐标原点,那么 | |PO 的
最小值等于 2
________
,最大值等于
_________________
10 .
解:画出可行域,如图所示:
易得 A(2,2),OA= 2 2
B(1,3),OB= 10
C(1,1),OC= 2
故|OP|的最大值为 10,
最小值为 2 .
(14)已知 , ,A B C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC BC ,且 AB R ,
那么 ,A B 两点的球面距离为
_____________
3
R
,球心到平面 ABC 的距离为
______________
3
2
R .
解:如右图,因为 AC BC ,所以 AB 是截面
的直径,又 AB=R,所以△OAB 是等边三角形,
所以AOB=
3
,故 ,A B两点的球面距离为
3
R
,
于是O1OA=30,所以球心到平面 ABC的距离
OO1=Rcos30=
3
2
R.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤。
(15)(本小题共 12 分)
已知函数
1 2 sin(2 )
4( )
cos
x
f x
x
,
(Ⅰ)求 ( )f x 的定义域;
(Ⅱ)设 是第四象限的角,且
4tan
3
,求 ( )f 的值.
解:(1)依题意,有 cosx0,解得 xk+
2
,
即 ( )f x 的定义域为{x|xR,且 xk+
2
,kZ}
(2)
1 2 sin(2 )
4( )
cos
x
f x
x
=-2sinx+2cosx ( )f =-2sin+2cos
O1
O
B
A C
由 是第四象限的角,且
4tan
3
可得 sin=-
4
5
,cos=
3
5
( )f =-
2sin+2cos
=
14
5
(16)(本小题共 13 分)
已知函数 3 2( )f x ax bx cx 在点 0x 处取得极大值
5,其导函数 '( )y f x 的图象经过点 (1,0),(2,0),如图
所示.求:
(Ⅰ) 0x 的值;
(Ⅱ) , ,a b c的值.
解:(1)由导函数 '( )y f x 的图象可知,当 x(-,1)
时, '( )y f x 0,当 x(1,2)时, '( )y f x 0,当 x
(2,+)时, '( )y f x 0,所以当 x=1 时,函数 3 2( )f x ax bx cx 取
得极大值,
即 x0=1
(2) '( )y f x =3ax2+2bx+c,依题意有: (1) (2) 0f f , (1)f =5即有
3a+2b+c=0 ,12a+4b+c=0,a+b+c=5 解得 a=2,b=-9,c=12
(17)(本小题共 14 分)
如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中,AB AC ,PA
平面 ABCD,且 PA AB ,点E是PD的中点.
(Ⅰ)求证: AC PB ;
(Ⅱ)求证: //PB 平面 AEC;
(Ⅲ)求二面角 E AC B 的大小.
解:(1)由 PA 平面 ABCD可得 PAAC
又 AB AC ,所以 AC平面 PAB,所以
AC PB
(2)如图,连 BD 交 AC 于点 O,连 EO,则
EO 是△PDB 的中位线,EO // PB
PB //平面 AEC
(3)如图,取 AD 的中点 F,连 EF,FO,则
EF 是△PAD 的中位线,EF // PA 又 PA 平面 ABCD,EF平面 ABCD
同理 FO 是△ADC 的中位线,FO // ABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二
F
E
O
BA
C
D
P
面角 E-AC-D 的平面角.又 FO=
1
2
AB=
1
2
PA=EFEOF=45 而二面角
E AC B 与二面角 E-AC-D 互补,故所求二面角E AC B 的大小为 135.
(18)(本小题共 13 分)
某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 , ,a b c,且三门课程
考试是否及格相互之间没有影响.
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理
由)
解:设三门考试课程考试通过的事件分别为 A,B,C,相应的概率为 a,b,c
(1)考试三门课程,至少有两门及格的事件可表示为 AB
__
C+A
__
B C+
__
A BC+ABC,
设其概率为
P1,则 P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc
设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为 P2,则 P2=
1
3
ab+
1
3
ac
+
1
3
bc
(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(
1
3
ab+
1
3
ac+
1
3
bc)=
2
3
ab+
2
3
ac+
2
3
bc
-2abc
=
2
3
(ab+ac+bc-3abc)=
2
3
〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕0
P1P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.
(19)(本小题共 14 分)
已知点 ( 2,0), (2,0)M N ,动点 P满足条件 | | | | 2 2PM PN .记动点 P
的轨迹为W .
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若 ,A B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA OB
的最小值.
解:(1)依题意,点 P的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,所求方程为:
2 2x y 1
2 2
- =
(x0)
(2) 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,
2
0x 2- ),
B(x0,- 2
0x 2- ),OA OB
=2
当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入双曲线方程
2 2x y 1
2 2
- = 中,得:
(1-k
2
)x
2
-2kbx-b
2
-2=0……………………1
依题意可知方程 1有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
4k b 4 1 k b 2 0
2kbx x 0
1 k
b 2x x 0
k 1
= - ( - )(- - )
+ =
-
+
=
-
解得|k|1 又OA OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k
2
)x1x2+
kb(x1+x2)+b2=
2
2 2
2k 2 42
k 1 k 1
+
= +
- -
2
综上可知OA OB
的最小值为 2
(20)(本小题共 14 分)
在数列{ }na 中,若 1 2,a a 是正整数,且 1 2| |, 3, 4,5,n n na a a n ,
则称{ }na 为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
( Ⅱ ) 若 “ 绝 对 差 数 列 ” { }na 中 , 20 213, 0a a , 数 列 { }nb 满 足
1 2n n n nb a a a , 1,2,3,n ,分别判断当 n时, na 与 nb 的极
限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解:(Ⅰ) 1 2 3 4 5 6 73, 1, 2, 1, 1, 0, 1a a a a a a a , 8 9 101, 0, 1.a a a
(答案不惟一)
(Ⅱ)因为在绝对差数列 na 中 20 3a , 21 0a .所以自第 20 项开始,该
数列是 20 3a , 21 0a , 22 22 24 25 26 273, 3, 0, 3, 3, ,a a a a a a o .
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n时, na
的极限
不存在.
当 20n 时, 1 2 6n n n nb a a a ,所以 lim 6nn
b
(Ⅲ)证明:根据定义,数列 na 必在有限项后出现零项.证明如下
假设 na 中没有零项,由于 1 2n n na a a ,所以对于任意的 n,都有 1na ,从而
当 1 2n na a 时, 1 2 1 1( 3)n n n na a a a n ;
当 1 2n na a 时, 2 1 2 1( 3)n n n na a a a n
即 na 的值要么比 1na 至少小 1,要么比 2na 至少小 1.
令
2 1 2 1 2
2 2 1 2
( ),
( ),
n n n
n
n n n
a a a
C
a a a
1,2,3, ,n
则 10 1( 2,3,4, ).A nC C n
由于 1C 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 1 0C ,这与
0nC ( 1,2,3, ,n )
矛盾. 从而 na 必有零项.
若第一次出现的零项为第n项,记 1 ( 0)na A A ,则自第n项开始,每三个相
邻的项周期地取值 0, A , A , 即
3
3 1
3 2
0,
, 0,1, 2,3, ,
,
n k
n k
n k
a
a A k
a A
所以绝对差数列 na 中有无穷多个为零的项.
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