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  • 2021-06-16 发布

高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试(北京卷

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绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工类) (北京卷) 本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,第 I卷 1 至 2 页,第 II卷 3 至 9 页, 共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷(选择题共 40 分) 注意事项: 1.答第 I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求 的一项。 (1)在复平面内,复数 1 i i  对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为 (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 (4)平面 的斜线 AB 交 于点 B,过定点 A 的动直线 l与 AB 垂直,且交 于点 C,则动 点 C 的轨迹是 (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 (5)已知 (3 1) 4 , 1 ( ) log , 1a a x a x f x x x       是 ( , )  上的增函数,那么 a 的取值范 围是 (A)(0,1) (B)(0, 1 3 ) (C) 1 7   , 1 3   (D) 1 ,1 7   (6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 1x , 2x ( 1 2x x ). 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x   恒成立”的只有 (A) 1( )f x x  (B) ( )f x x (C) ( ) 2f x  (D) 2( )f x x (7)设 4 7 10 1( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N       ,则 ( )f n 等于 (A) 2 (8 1) 7 n  (B) 2 (8 1) 7 n  (C) 12 (8 1) 7 n  (D) 12 (8 1) 7 n  (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、 C 的机动车辆数如图所示,图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB  ,BC  CA  的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相 等),则 (A) 1 2 3x x x  (B) 1 3 2x x x  (C) 2 3 1x x x  (D) 3 2 1x x x  绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类) (北京卷) 第 II 卷(共 110 分) 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小 题 5 分,共 30 分。把答 案填在题中横线上。 (9) 2 21 3 2lim 1n x x x    的值等于 ________ . (10)在 72( )x x  的展开式中, 2x 的系数是 ________ .(用数字作答) (11)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab 0)共线,则, 1 1 a b  的值等于 ________ (12)在△ABC 中,若 C BA sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是 ________ (13)已知点 P(x,y)的坐标满足条件 4 , 1, x y y x y       点 O为坐标原点,那么|PO |的最小值 等于 ________ ,最大值等于 ________ . (14)已知 A、B、C三点在球心为 O,半径为 R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A、 B 两点间的球面距离为 ________ 球心到平面 ABC 的距离为 ________ . . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (15)(本小题共 12 分) 已知函数 1 2 sin(2 ) 4( ) cos x f x x     . (Ⅰ)求 ( )f x 的定义域; (Ⅱ)设 的第四象限的角,且 tan 4 3   ,求 ( )f  的值 (16)(本小题共 13 分) 已知函数 3 2( )f x ax bx cx   在点 0x 处取得极大值 5,其导函数 ( )y f x 的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求: (Ⅰ) 0x 的值;(Ⅱ)a,b,c 的值. (17)(本小题共 14 分) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=PB,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)求证:PB//平面 AEC; (Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小. (18)(本小题共 13 分) 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求: (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) (19)(本小题共 14 分) 已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P满足条件|PM |-|PN |= 2 2 ,记动点 P的轨 迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是W上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA  、OB  的最小值. (20)(本小题共 14 分) 在数列 na 中,若 a1,a2 是正整数,且 1 2n n na a a   , n  3,4,5,…,则称 na 为“绝对差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); (Ⅱ)若“绝对差数列” na 中, 20 3a  , 21 0a  ,数列 nb 满足 1 2n n n nb a a a    n=1,2,3,…,分虽判断当 n时, na 与 nb 的极限是否存在,如果存在,求出其极 限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 数学(理工类)(北京卷)参考答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)D (8)C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 1 2  (10)-14 (11) 1 2 (12) 3  (13) 2 10 (14) 1 3 R 3 2 R 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 12 分) 解:(Ⅰ)由 cos 0x  得 ( ) 2 x k k Z   , 故 ( )f x 在定义域为 , , 2 x x k k Z     (Ⅱ)因为 4tan 3    ,且 是第四象限的角, 所以 4 3sin ,cos , 5 5     故 1 2 sin(2 ) 4( ) cos f x      2 21 2( sin 2 cos 2 ) 2 2 cos       1 sin 2 cos 2 cos       22cos 2sin cos cos       2(cos sin )   14 5  . (16)(共 13 分) 解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上 ( ) 0f x  ,在(1,2)上 ( ) 0f x  ,在 (2, ) 上 ( ) 0f x  , 故 ( )f x 在 ( ,1) , (2, ) 上递增,在(1,2)上递减,因此 ( )f x 在 1x  处取得极大值 ,所以 0 1x  . (Ⅱ) 2( ) 3 2 ,f x ax bx c    由 (1) 0, (2) 0, (1) 5,f f f    得 3 2 0, 12 4 0, 5, a b c a b c a b c            解得 2, 9, 12.a b c    解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 2( ) ( 1)( 2) 3 2 ,f x m x x mx mx m       又 2( ) 3 2 ,f x ax bx c    所以 3, , 2 , 3 2 ma b m c m    3 23( ) 2 . 3 2 mf x x mx mx   由 (1) 5f  , 即 3 2 5, 3 2 m m m   得 6m  , 所以 2, 9, 12a b c    . (17)(共 17 分) 解法一: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC,AC平面 ABCD, ∴AC⊥PB. (Ⅱ)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC,EO平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为 ( , ,0) 2 2 a b ,OG  = (0, ,0) 2 b . 又 (0, , ), 2 2 b bOE    ( ,0,0).AC a  , ,OE AC OG AC   EOG 是二面角 E AC B  的平面角 2cos cos , . 2 OE OGEOG OE OG OE OG              135OEOG  二面角 E-AC-B的大小为135o . (18)(共 13 分) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 ( ) , ( ) , ( )P A a P B b P C c   (Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率 1 ( ) ( ) ( ) ( )p P A B C P A B C P A B C P A B C            (1 ) (1 ) (1 )ab c bc a ac b abc       2 ;ab bc ca abc    应聘者用方案二考试通过的概率 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 3 3 3 p p A B p B C p A C      1 ( ) 3 ab bc ca   . (Ⅱ)因为 , , 0,1a b c   ,所以 1 2 2 ( ) 2 3 p p ab bc ca abc     2 (1 ) (1 ) (1 ) 0, 3 ab c bc a ca b       故 1 2p p , 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. (19)(共 14 分) 解法一: (Ⅰ)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支,实 半轴长 2a  又半焦距 c=2,故虚半轴长 2 2 2b c a   所以 W 的方程为 2 2 1 2 2 x y   , 2x  (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为 1 1( , )x y , 2 2( , )x y 当 AB⊥x轴时, 1 2 ,x x 从而 1 2 ,y y  从而 2 2 1 2 1 2 1 1 2.OA OB x x y y x y        当 AB与 x轴不垂直时,设直线 AB的方程为 y kx m  ,与W的方程联立,消去 y得 2 2 2(1 ) 2 2 0.k x kmx m     故 1 2 2 2 , 1 kmx x k    2 1 2 2 2 , 1 mx x k    所以 1 2 1 2OA OB x x y y     1 2 1 2( )( )x x kx m kx m    2 2 1 2 1 2(1 ) ( )k x x km x x m     2 2 2 2 2 2 2 (1 )( 2) 2 1 1 k m k m m k k        2 2 2 2 1 k k    2 42 1k    . 又因为 1 2 0x x  ,所以 2 1 0k   ,从而 2.OA OB    综上,当 AB⊥ x轴时, OA OB   取得最小值 2. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为,则 1 1( , )x y , 2 2( , )x y ,则 2 2 ( )( ) 2( 1,2).i i i i i ix y x y x y i      令 , ,i i i i i is x y t x y    则 2,i is t  且 0, 0( 1,2)i is t i   所以 1 2 1 2OA OB x x y y     1 1 2 2 1 1 2 2 1 1( )( ) ( )( ) 4 4 s t s t s t s t      1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2, 2 2 s s t t s s t t    当且仅当 1 2 1 2s s t t ,即 1 2 1 2 ,x x y y     时” ”成立. 所以OA  、OB  的最小值是 2. (20)(共 14 分) (Ⅰ)解: 1 2 3 4 5 6 73, 1, 2, 1, 1, 0, 1a a a a a a a       , 8 9 101, 0, 1.a a a   (答 案不惟一) (Ⅱ)解:因为在绝对差数列 na 中 20 3a  , 21 0a  .所以自第 20 项开始,该数列 是 20 3a  , 21 0a  , 22 22 24 25 26 273, 3, 0, 3, 3, ,a a a a a a o       . 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n时, na 的极限 不存在. 当 20n  时, 1 2 6n n n nb a a a     ,所以 lim 6nn b   (Ⅲ)证明:根据定义,数列 na 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 na 中没有零项,由于 1 2n n na a a   ,所以对于任意的 n,都有 1na  ,从而 当 1 2n na a  时, 1 2 1 1( 3)n n n na a a a n       ; 当 1 2n na a  时, 2 1 2 1( 3)n n n na a a a n       即 na 的值要么比 1na  至少小 1,要么比 2na  至少小 1. 令 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ), ( ), n n n n n n n a a a C a a a        1,2,3, ,n   则 10 1( 2,3,4, ).A nC C n     由于 1C 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 1 0C  ,这与 0nC  ( 1,2,3, ,n   ) 矛盾. 从而 na 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n项,记 1 ( 0)na A A   ,则自第 n项开始,每三个相邻的项周 期地取值 0, A , A , 即 3 3 1 3 2 0, , 0,1, 2,3, , , n k n k n k a a A k a A             所以绝对差数列 na 中有无穷多个为零的项. 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)(北京卷)(编辑:ahuazi) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1至 2页, 第Ⅱ卷 3至 9页,共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束,将本试卷和答题卡 一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题 卡。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项。 (1) 在复平面内,复数 1 i i  对应的点位于(D) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解: 1 i i  1 1 1 i i i(+) = =- - 故选 D (2)若 a  与b c   都是非零向量,则“ a b a c       ”是“ ( )a b c     ”的(C) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解: a b a c        a b a c 0      - =  a b c 0    (-)=  a b c    (-) 故选 C (3)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为 奇数的共有(B) (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6个 解:依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是奇数,有 3 3A 种方法(2)3 个数字中有一个是奇数,有 1 3 3 3C A ,故共有 3 3A + 1 3 3 3C A =24 种 方法,故选 B (4)平面 的斜线 AB交 于点 B,过定点 A的动直线 l与 AB垂直,且交 于 点C,则动点C的轨迹是(A) (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 解:设 l与 l 是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜 线 AB垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可 知过定点 A与 AB垂直所有直线都在这个平面内,故动点 C 都在这个平面与 平面 的交线上,故选 A (5)已知 (3 1) 4 , 1 ( ) log , 1a a x a x f x x x       是 ( , )  上的减函数,那么 a的取值范围 是(C) (A) (0,1) (B) 1(0, ) 3 (C) 1 1[ , ) 7 3 (D) 1[ ,1) 7 解:依题意,有 0a1 且 3a-10,解得 0a 1 3 ,又当 x1 时,(3a-1)x +4a7a-1,当 x1 时,logax0,所以 7a-10 解得 x 1 7 故选 C (6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间 (1, 2)上的任意 1 2 1 2, ( )x x x x , 1 2 2 1| ( ) ( ) | | |f x f x x x   恒成立”的只有(A) (A) 1( )f x x  (B)   | |f x x (C) ( ) 2xf x  (D) 2( )f x x 解: 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 x x1 1 1| | | | |x x x x x x |x x | - - = = - | 1 2x x 1 2 , ( ,) 1 2x x 1 1 2 1 x x  1 1 2 1 1| x x - ||x1-x2|故选 A (7)设 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N       ,则 ( )f n 等于(D) (A) 2 (8 1) 7 n  (B) 12 (8 1) 7 n  (C) 32 (8 1) 7 n  (D) 42 (8 1) 7 n  解:依题意, ( )f n 为首项为 2,公比为 8 的前 n+4 项求和,根据等比数列 的求和公式可得 D (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路 口 , ,A B C的机动车辆数如图所示,图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间 通过路段  , ,AB BC CA的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中, 同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 20,30;35,30;55,50 (C) (A) 1 2 3x x x  (B) 1 3 2x x x  (C) 2 3 1x x x  (D) 3 2 1x x x  解:依题意,有 x1=50+x3-55=x3-5,x1x3,同理, x2=30+x1-20=x1+10 x1x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5x3x2故选 C 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)(北京卷) 第Ⅱ卷(共 110 分) 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 (9) 2 21 3 2lim 1x x x x    的值等于  _______ 1 2 解: 2 21 3 2lim 1x x x x    = 1 x 1 x 2lim x 1 x 1x    ( )( + ) ( + )( - ) = 1 x 2 1lim x 1 2x- + =- - (10)在 72( )x x  的展开式中, 2x 的系数为 14 __________ - (用数字作答). 解: 7 3r r 7 r r r r 2 r+1 7 7 2T C x 2 C x x - -= ( )(- )=(- ) 令 7 3r 2 2 - = 得 r=1 故 2x 的系数为 1 72 C(- ) =-14 (11)若三点 (2, 2), ( ,0), (0, )( 0)A B a C b ab  共线,则 1 1 a b  的值等于 _______ 1 2 解: a 2 2AB  =( - ,- ), C 2 b 2A  =(- , - ),依题意,有(a-2)(b-2) -4=0 即 ab-2a-2b=0 所以 1 1 a b  = 1 2 (12)在 ABC 中,若 sin : sin : sin 5 : 7 :8A B C  ,则 B 的大小是 ________ 3  . 解: sin : sin : sin 5 : 7 :8A B C  abc=578 设 a=5k,b=7k,c=8k,由余弦 定理可解得 B 的大小为 3  . (13)已知点 ( , )P x y 的坐标满足条件 4 1 x y y x x       ,点O为坐标原点,那么 | |PO 的 最小值等于 2 ________ ,最大值等于 _________________ 10 . 解:画出可行域,如图所示: 易得 A(2,2),OA= 2 2 B(1,3),OB= 10 C(1,1),OC= 2 故|OP|的最大值为 10, 最小值为 2 . (14)已知 , ,A B C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC BC ,且 AB R , 那么 ,A B 两点的球面距离为 _____________ 3 R ,球心到平面 ABC 的距离为 ______________ 3 2 R . 解:如右图,因为 AC BC ,所以 AB 是截面 的直径,又 AB=R,所以△OAB 是等边三角形, 所以AOB= 3  ,故 ,A B两点的球面距离为 3 R , 于是O1OA=30,所以球心到平面 ABC的距离 OO1=Rcos30= 3 2 R. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 (15)(本小题共 12 分) 已知函数 1 2 sin(2 ) 4( ) cos x f x x     , (Ⅰ)求 ( )f x 的定义域; (Ⅱ)设 是第四象限的角,且 4tan 3    ,求 ( )f  的值. 解:(1)依题意,有 cosx0,解得 xk+ 2  , 即 ( )f x 的定义域为{x|xR,且 xk+ 2  ,kZ} (2) 1 2 sin(2 ) 4( ) cos x f x x     =-2sinx+2cosx ( )f  =-2sin+2cos O1 O B A C 由 是第四象限的角,且 4tan 3    可得 sin=- 4 5 ,cos= 3 5  ( )f  =- 2sin+2cos = 14 5 (16)(本小题共 13 分) 已知函数 3 2( )f x ax bx cx   在点 0x 处取得极大值 5,其导函数 '( )y f x 的图象经过点 (1,0),(2,0),如图 所示.求: (Ⅰ) 0x 的值; (Ⅱ) , ,a b c的值. 解:(1)由导函数 '( )y f x 的图象可知,当 x(-,1) 时, '( )y f x 0,当 x(1,2)时, '( )y f x 0,当 x (2,+)时, '( )y f x 0,所以当 x=1 时,函数 3 2( )f x ax bx cx   取 得极大值, 即 x0=1 (2) '( )y f x =3ax2+2bx+c,依题意有: (1) (2) 0f f   , (1)f =5即有 3a+2b+c=0 ,12a+4b+c=0,a+b+c=5 解得 a=2,b=-9,c=12 (17)(本小题共 14 分) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中,AB AC ,PA  平面 ABCD,且 PA AB ,点E是PD的中点. (Ⅰ)求证: AC PB ; (Ⅱ)求证: //PB 平面 AEC; (Ⅲ)求二面角 E AC B  的大小. 解:(1)由 PA 平面 ABCD可得 PAAC 又 AB AC ,所以 AC平面 PAB,所以 AC PB (2)如图,连 BD 交 AC 于点 O,连 EO,则 EO 是△PDB 的中位线,EO // PB PB //平面 AEC (3)如图,取 AD 的中点 F,连 EF,FO,则 EF 是△PAD 的中位线,EF // PA 又 PA 平面 ABCD,EF平面 ABCD 同理 FO 是△ADC 的中位线,FO // ABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二 F E O BA C D P 面角 E-AC-D 的平面角.又 FO= 1 2 AB= 1 2 PA=EFEOF=45 而二面角 E AC B  与二面角 E-AC-D 互补,故所求二面角E AC B  的大小为 135. (18)(本小题共 13 分) 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 , ,a b c,且三门课程 考试是否及格相互之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理 由) 解:设三门考试课程考试通过的事件分别为 A,B,C,相应的概率为 a,b,c (1)考试三门课程,至少有两门及格的事件可表示为 AB __ C+A __ B C+ __ A BC+ABC, 设其概率为 P1,则 P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc 设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为 P2,则 P2= 1 3 ab+ 1 3 ac + 1 3 bc (2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-( 1 3 ab+ 1 3 ac+ 1 3 bc)= 2 3 ab+ 2 3 ac+ 2 3 bc -2abc = 2 3 (ab+ac+bc-3abc)= 2 3 〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕0 P1P2即用方案一的概率大于用方案二的概率. (19)(本小题共 14 分) 已知点 ( 2,0), (2,0)M N ,动点 P满足条件 | | | | 2 2PM PN  .记动点 P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W的方程; (Ⅱ)若 ,A B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA OB   的最小值. 解:(1)依题意,点 P的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,所求方程为: 2 2x y 1 2 2 - = (x0) (2) 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0, 2 0x 2- ), B(x0,- 2 0x 2- ),OA OB   =2 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入双曲线方程 2 2x y 1 2 2 - = 中,得: (1-k 2 )x 2 -2kbx-b 2 -2=0……………………1 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4k b 4 1 k b 2 0 2kbx x 0 1 k b 2x x 0 k 1             = - ( - )(- - ) + = - + = - 解得|k|1 又OA OB   =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k 2 )x1x2+ kb(x1+x2)+b2= 2 2 2 2k 2 42 k 1 k 1 + = + - - 2 综上可知OA OB   的最小值为 2 (20)(本小题共 14 分) 在数列{ }na 中,若 1 2,a a 是正整数,且 1 2| |, 3, 4,5,n n na a a n    , 则称{ }na 为“绝对差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); ( Ⅱ ) 若 “ 绝 对 差 数 列 ” { }na 中 , 20 213, 0a a  , 数 列 { }nb 满 足 1 2n n n nb a a a    , 1,2,3,n  ,分别判断当 n时, na 与 nb 的极 限是否存在,如果存在,求出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 解:(Ⅰ) 1 2 3 4 5 6 73, 1, 2, 1, 1, 0, 1a a a a a a a       , 8 9 101, 0, 1.a a a   (答案不惟一) (Ⅱ)因为在绝对差数列 na 中 20 3a  , 21 0a  .所以自第 20 项开始,该 数列是 20 3a  , 21 0a  , 22 22 24 25 26 273, 3, 0, 3, 3, ,a a a a a a o       . 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n时, na 的极限 不存在. 当 20n  时, 1 2 6n n n nb a a a     ,所以 lim 6nn b   (Ⅲ)证明:根据定义,数列 na 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 na 中没有零项,由于 1 2n n na a a   ,所以对于任意的 n,都有 1na  ,从而 当 1 2n na a  时, 1 2 1 1( 3)n n n na a a a n       ; 当 1 2n na a  时, 2 1 2 1( 3)n n n na a a a n       即 na 的值要么比 1na  至少小 1,要么比 2na  至少小 1. 令 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ), ( ), n n n n n n n a a a C a a a        1,2,3, ,n   则 10 1( 2,3,4, ).A nC C n     由于 1C 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 1 0C  ,这与 0nC  ( 1,2,3, ,n   ) 矛盾. 从而 na 必有零项. 若第一次出现的零项为第n项,记 1 ( 0)na A A   ,则自第n项开始,每三个相 邻的项周期地取值 0, A , A , 即 3 3 1 3 2 0, , 0,1, 2,3, , , n k n k n k a a A k a A             所以绝对差数列 na 中有无穷多个为零的项.