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  • 2021-06-16 发布

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)

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2020 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科) 一、单项选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 若 i 为虚数单位,则 1 1 1 A. 1 1 B. 1 1 C. 1 1 D. 1 1 . 已知集合 ሼሼ Tሼ u eT , 1T 3, T ,则 A. 1T B. 쳌T C. 쳌TT D. 1TT 쳌. 如图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 , 的前 n 项和 为 ,则下列说法中正确的是 A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 的最大项是 11 D. 数列 的最大项是 11 T. 已知双曲线 的离心率为 쳌 ,则该双曲线的渐近线方程为 A. ሼ e B. ሼ e C. ሼ ± e D. ሼ ± e 5. 如图,抛物线 ሼ ሼ 1 与直线 1 形成一个闭合图形 图中的阴影部分 ,则该闭合 图形的面积是 A. 1 B. T 쳌 C. 쳌 D. 2 6. 函数 ሼ cos ሼ ሼ 1 ሼ 的图象大致是 A. B. C. D. . 执行下面的程序框图,若输入 S,a 的值分别为 1,2,输出的 n 值为 4,则 m 的取值范围为 A. 쳌 u 䁥 B. u 䁥 15C. 15 u 䁥 쳌1D. 쳌1 u 䁥 6쳌 8. 已知 1 ,则 tan T A. 3 B. 쳌 C. 1 쳌 D. 1 쳌 9. 下列命题不正确的是 A. 若任意四点不共面,则其中任意三点必不共线 B. 若直线 l 上有一点在平面 外,则 l 在平面 外 C. 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 D. 若直线 a,b,c 中,a 与 b 共面且 b 与 c 共面,则 a 与 c 共面 1e. 在 䁨 中,点 D 为边 AB 上一点,若 䁨 䁨 , 䁨 쳌 , 쳌 , sin䁨 쳌 쳌 ,则 䁨的面积是 A. 9 B. 15 C. 6 D. 1 11. 过抛物线 ሼ e 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原点,如果 쳌 , , 䁡 쳌 ,那么 的值为 A. 1 B. 쳌 C. 3 D. 6 1. 已知 ሼ 是定义在 R 上的偶函数,则 5 5 A. 0 B. 5 C. 5 D. e二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 1쳌. 函数 ሼ 1 쳌 ሼ 쳌 ሼ 的极大值为________. 1T. ሼ 是奇函数,当 ሼ e 时, ሼ ሼ 쳌 ሼ 1 ,则 1 __________ 15. 䁨 中, 9e , 䁨 ,D 为边 BC 的中点,则 䁨 ______. 16. 一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍,则圆柱的侧面积是其底面 积的_____________倍 .三、解答题(本大题共 7 小题,共 82.0 分) 1. 为了解某地区某种农产品的年产量 ሼ 单位:吨 对价格 单位:千元 吨 的影响,对近五年该 农产品的年产量和价格统计如表: x 1 2 3 4 5 y 8 6 5 4 2 已知 x 和 y 具有线性相关关系. 1 求 y 关于 x 的线性回归方程 ሼ ; 若年产量为 T.5 吨,试预测该农产品的价格. 参考公式: 1 ሼ ሼ 1 ሼ ሼ 1 ሼሼ 1 ሼሼ , ሼ. 18. 已知正项数列 T 满足 T 1 . 1 求数列 T 的通项公式; 设 1 1 ,求数列 T 的前 n 项和 . 19. 如图,棱长为 2 的正方体 䁨 11䁨11 中,P 为 11 的中点. 1 求证: 1䁨1 平面 1䁨 ; 求三棱锥 1 䁕䁨1 的体积. 20. 已知椭圆 C: ሼ 1 e 的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三 角形. 1 求椭圆 C 的标准方程. 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 ሼ 쳌 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P, . 证明:OT 平分线段 䁕 其中 O 为坐标原点 . 21. 已知函数 ሼ ሼ ሼ . 1 若 ሼ 在 eT 单调递增,求实数 a 的取值范围; 证明:当 e 时, ሼ ሻሼ . 22. 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ሼ 쳌 쳌 T 为参数 ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 䁨1 的极坐标方程为 Tܿ . 1 求 l 的极坐标方程和 䁨1 的直角坐标方程; 若曲线 䁨 的极坐标方程为 6 , 䁨 与 l 的交点为 A,与 䁨1 异于极点的交点为 B,求 . 23. 1 求关于 x 的不等式 ሼ 1 ሼ u 5 的解集; 若关于 x 的不等式 ሼ ሼ 1 䁥 在 ሼ 时恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案与解析】 1.答案:C 解析: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题. 解: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 故选 C. 2.答案:B 解析: 本题考查交集的运算,属于基础题. 可求出集合 A,然后进行交集的运算即可. 解: ሼሼ Tሼ u eT ሼe u ሼ u TT , 1T 3, T , 쳌T . 故选:B. 3.答案:C 解析:解:因为 1 月 28 日新增确诊人数小于 1 月 27 日新增确证人数,即 8 ,所以 T 不是递 增数列,所以 A 错误; 因为 2 月 23 日新增确诊病例为 0,即 쳌쳌 쳌T ,所以 T 不是递增数列,所以 B 错误; 因为 1 月 31 日新增确诊病例最多,从 1 月 21 日算起,1 月 31 日是第 11 天,所以数列 T 的最大项 是 11 ,所以 C 选项正确, 数列 T 的最大项是最后一项,所以选项 D 错误, 故选:C. 结合变化曲线图,根据数列的知识即可分别判断. 本题考查了数列的知识和合情推理的问题,属于中档题. 4.答案:D 解析: 本题考查双曲线的简单性质的应用,渐近线方程,考查计算能力.属于基础题. 利用双曲线的离心率,求出 a,b 的关系,然后求解双曲线的渐近线方程. 解:双曲线 ሼ 1 eT e 的离心率为 쳌 , 可得 쳌 ,即 쳌 ,可得 . 则该双曲线的渐近线方程为: ሼ ± e . 故选:D. 5.答案:B 解析: 本题考查定积分的应用 .首先联立两方程,求出交点坐标,确定出积分公式中 x 的取值范围为 eT ;再根据定积分的几何意 义,得到闭合图形的面积 e ሼ ሼ 1ሼ e 1 ሼ , 求解即可. 解:由 1T ሼ ሼ 1T 知 ሼ eT 1 或 ሼ T 1. 故所求面积 e ሼ ሼ 1ሼ e 1 ሼ 1 쳌 ሼ 쳌 ሼ ሼ e ሼe T 쳌 . 故选 B. 6.答案:C 解析:解:函数 ሼ cos ሼ ሼ 1 ሼ 是奇函数,排除 A,D. 当 ሼ 1 时, 1 1 e ,函数的图象的对应点在第一象限,排除 B. 故选:C. 判断函数的奇偶性,排除选项,然后利用函数的特殊值判断即可. 本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的单调性,特殊点等等是解题的常用方法. 7.答案:B 解析: 本题考查程序框图的应用,属基础题. 直接利用程序框图求出结果. 解:根据程序框图: 1 , , 1 , 当 1 u 䁥 时, 1 1 쳌 , , , 当 쳌 u 䁥 时, 쳌 , , 쳌 , 当 u 䁥 时, 쳌 15 , , T , 输出 T , 故: u 䁥 15 , 故选:B. 8.答案:C 解析: 本题主要考查两角差的正切公式的应用,属于基础题. 利用两角差的正切公式,求得 tan T 的值. 解: 1 ,则 tan T 1 1 1 1 1 1 1 쳌 , 故选 C. 9.答案:D 解析: 本题主要考查空间点线面之间的位置关系的判断,要求熟练掌握相应的位置关系,比较基础. 根据空间点线面的位置关系进行判断. 解: . 若任意三点共线,则必有四点共面, 矛盾, A 正确. B.根据直线在平面外的定义可知,当直线和平面相交或直线和平面平行时,满足条件, B 正确. C.若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则所有直线都和平面没有公共点, 这两个平面 平行, C 正确. D.若三条直线满足两两异面,则结论不成立, 不正确. 故选:D. 10.答案:C 解析: 本题考查的是解三角形的应用和余弦定理,属于中等题. 先根据余弦定理求出 CD 的长,即可得 BD,BC 的长,后求 䁨 的面积即可. 解: 䁨 䁨 , 䁨 ,则 cos䁨 cos䁨 sin䁨 쳌 쳌 . 在 䁨 中, 䁨 쳌 , 쳌 , 由余弦定理得 쳌 쳌 䁨 쳌 䁨 쳌 쳌 , 解得 䁨 쳌 . 在 䁨 中, 䁨 쳌 , sin䁨 쳌 쳌 , 则 쳌 쳌 , 䁨 쳌 . 故 䁨 1 䁨sin䁨 1 T 쳌 쳌 쳌 쳌 6 . 故选 C. 11.答案:A 解析:解:如图,作 准线 l, ሻ , 䁨 , , , 䁡 쳌 , cos䁨 1 , 쳌 , 1 , 故选:A. 如图,作 准线 l, ሻ , 䁨 ,利用抛物线的定义,及 䁡 쳌 ,即可求出 的值. 本题考查抛物线的定义,考查特殊角的三角函数,属于基础题. 12.答案:C 解析: 本题考查函数的奇偶性的应用,属于基础题. 根据 ሼ 是偶函数,则 5 5 ,即可得出答案. 解:因为 ሼ 是定义在 R 上的偶函数,所以 5 5 , 则 5 5 5 . 故选 C. 13.答案: 쳌 解析: 本题考查利用导数求函数的极值,考查推理能力和计算能力,属于基础题. 求出导函数,得单调性,即可得极大值. 解:函数 ሼ 1 쳌 ሼ 쳌 ሼ , 则 ㌳ሼ ሼ 1 ሼ 1ሼ 1 , 则当 ሼ T 1 或 ሼ 1T 时, ㌳ሼ e ,函数单调递增; 当 ሼ 1T1 , ㌳ሼ u e ,函数单调递减, 故当 ሼ 1 时,函数有极大值为 1 1 쳌 1 쳌 . 故答案为 쳌 . 14.答案: 쳌 解析:因为 ሼ 是奇函数, ሼ ሼ , 1 1 ,又因为当 ሼ e 时, ሼ ሼ 쳌 ሼ 1 , 1 쳌 , 1 쳌 . 15.答案:2 解析:解: 䁨 中, 9e , 䁨 ,D 为边 BC 的中点, 则 䁨 1 䁨 䁨 1 䁨 1 䁨 1 , 故答案为:2. 根据向量的数量积的运算法则计算即可. 本题考查了向量的数量积的运算,属于基础题. 16.答案: T 解析: 本题主要考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积,难度较易,属于基础题. 根据几何体的性质,公式转化为用 r 表示的式子判断,即可求出答案. 解: 一个圆柱和一个圆锥同底等高 设底面半径为 r,高为 h, 圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍, ሻ 쳌 , ሻ 쳌 , 圆柱的侧面积 T ,其底面积 圆柱的侧面积是其底面积的 T 倍, 故答案为 T . 17.答案:解: 1ሼ 1쳌T5 5 쳌 , 865T 5 5 , 1 ሼ ሼ 1 ሼ ሼ 615쳌5 555쳌 1.T , ሼ 5 1.T 쳌 9. , 故 y 关于 x 的线性回归方程是 1.Tሼ 9. ; 쳌 当 ሼ T.5 时, 1.T T.5 9. .9 千元 吨 . 该农产品的价格为 .9 千元 吨. 解析:本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题. 1 由表格中的数据求得 与 的值,则线性回归方程可求; 在 1 中的回归方程中,取 ሼ T.5 求得 值得答案. 18.答案:解: 1 正项数列 T 满足 T 1 T1 1 1 两式相减 可得 T 1 1 , 整理得 1 T 分 又 1 1 ,得 16 分 1 , 1 1 1 11 1 1 1 1 1 .9 分 数列 T 的前 n 项和 1 1 1 쳌 1 쳌 1 5 1 1 1 1 1 1 分 解析: 1 利用数列的前 n 项和与第 n 项的关系,转化求解数列的通项公式即可. 化简数列的通项公式,利用裂项消项法求解数列的和即可. 本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法,递推关系式的应用,考查转化思想以及计算能力. 19.答案:证明: 1 如图, 在棱长为 2 的正方体 䁨 11䁨11 中, 显然 1䁨1䁨 , 1䁨1 平面 1䁨 , 䁨 平面 1䁨 , 1䁨1 平面 1䁨 ; 解: 1 䁕䁨1 䁨1 1䁕T 高为 䁨11 , 1䁕 1 1䁕 1 1 1 1 , 1 䁕䁨1 䁨1 1䁕 1 쳌 1 쳌 , 三棱锥 1 䁕䁨1 的体积为 쳌 . 解析:本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养. 1 由 1䁨1䁨 ,能证明 1䁨1 平面 1䁨 ; 由 1 䁕䁨1 䁨1 1䁕T 高为 䁨11 ,能求出三棱锥 1 䁕䁨1 的体积. 20.答案:解: 1 由已知可得, , , 解得 6 , , 所以椭圆 C 的标准方程是 ሼ 6 1 ; 证明:由 1 可得,F 的坐标是 Te , 设 T 点的坐标为 쳌T䁥 , 则直线 TF 的斜率 䁥e 쳌 䁥 . 当 䁥 e 时,直线 PQ 的斜率 䁕 1 䁥 . 直线 PQ 的方程是 ሼ 䁥 . 当 䁥 e 时,直线 PQ 的方程是 ሼ ,也符合 ሼ 䁥 的形式. 设 䁕ሼ1T1 , ሼT , 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 x,得 䁥 쳌 T䁥 e , 其判别式 16䁥 8䁥 쳌 e . 所以 1 T䁥 쳌䁥 , 1 쳌䁥 , ሼ1 ሼ 䁥1 T 1 쳌䁥 . 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 6 쳌䁥 T 䁥 쳌䁥 , 所以直线 OM 的斜率 䁡 䁥 쳌 ,又直线 OT 的斜率 䁡 䁥 쳌 , 所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ. 解析:本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,斜率公式和中 点坐标公式,考查运算能力,属于中档题. 1 由焦距的概念和 a,b,c 的关系,及正三角形的概念,即可得到关于 a,b 方程,解方程可得椭 圆的方程; 设 T 点的坐标为 쳌T䁥 ,运用直线的斜率公式,由垂直的条件,可得直线 PQ 的方程,代入椭 圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式, 设 PQ 的中点为 M,结合斜率公式,可得直线 OT 和 OM 的斜率相等,即可得证. 21.答案:解: 1 依题意, ㌳ሼ ሼ ሼ e ,即 ሼ ሼ 在 eT 恒成立, 设 ሼ ሼ ሼ , ㌳ሼ ሼ ሼ ሼ , 当 ሼ e 时, ㌳ሼ e , 所以 ሼ 在 eT 上递增,所以 ሼ e 时, ሼ e e , 所以 e ,即实数 a 的取值范围为 Te䁥 . 要证 ሼ ሻሼ ,即要证 ሼ ሼ ሻሼ , ሼ e , e ,即证 ሼ ሻሼ ,即证 ሼ 1 ሻሼ 1 , 令 ሼ ሼ ሼ 1 , ㌳ሼ ሼ 1 , ሼ 在 eT 上递增, ሼ e e , 当 ሼ e 时, ሼ 1 ሼ , 令 ሼ ሼ ሻሼ 1 , ㌳ሼ 1 1 ሼ ,令 ㌳ሼ e 得 ሼ 1 , ሼ 在 eT1 上弟弟递减,在 1T 上单调递增, ሼ 1 e , ሼ ሻሼ 1 , 当且仅当 ሼ 1 时,取“ ” , ሼ 1 ሻሼ 1 得证. 解析:本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,是中档题. 1 依题意, ㌳ሼ ሼ ሼ e ,即 ሼ ሼ 在 eT 恒成立,设 ሼ ሼ ሼ ,利用导数即可得出 结果; 要证 ሼ ሻሼ ,即要证 ሼ ሼ ሻሼ ,即证 ሼ ሻሼ ,即证 ሼ 1 ሻሼ 1 ,令 ሼ ሼ ሼ 1 ,利用导数证得 ሼ ሻሼ 1 ,令 ሼ ሼ ሻሼ 1 ,利用导数证得 ሼ ሻሼ 1 ,从而得 证. 22.答案:解: 1 直线 l 的参数方程为 ሼ 쳌 쳌 T 为参数 , 转换为直角坐标方程为: ሼ 쳌 e . 设 代入 ሼ 쳌 e , 整理得直线 l 的极坐标方程为 , 曲线 䁨1 的极坐标方程为 Tܿ . 转换为直角坐标方程为: ሼ T , 曲线 䁨 的极坐标方程为 6 ,曲线 䁨 与 l 的交点为 A, 则: cos 6 쳌sin 6 e , 解得: 쳌 쳌 , 与 䁨1 异于极点的交点为 B, 所以: Tܿ 6 쳌 , 则: T 쳌 쳌 . 解析:本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,三角函数关系式的 恒等变换,直线方程的求法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力.属于基础题型. 1 直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换, 利用线的关系建立方程组,求出极径,进一步求出结果. 23.答案:解: 1 原不等式化为: ሼ u 1 ሼ 1 ሼ u 5 或 1 ሼ ሼ 1 ሼ u 5 或 ሼ ሼ 1 ሼ u 5 T解得 u ሼ u 1 或 1 ሼ 或 u ሼ u 쳌 . 原不等式的解集为 ሼ u ሼ u 쳌T ; 令 ሼ ሼ ሼ 1 ,由题意可得只须 䁥 ሼ䁥 即可. 当 ሼ 1 时, ሼ ሼ ሼ 1 ሼ 1 eሼ 1 时取等 ; 当 ሼ u 1 时, ሼ ሼ ሼ 1 ሼ 1 ሼ 1 时取等 . 可得 ሼ 的最小值为 , 䁥 , 则实数 m 的取值范围是 T 䁥 . 解析:本题考查绝对值不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查不等式恒成立问题解法, 注意运用转化思想和二次函数的最值求法,考查运算能力,属于中档题. 1 运用绝对值的意义,去绝对值可得 x 的不等式组,解不等式可得所求解集; 令 ሼ ሼ ሼ 1 ,由题意可得只须 䁥 ሼ䁥 即可,去绝对值结合二次函数的最值求法, 可得 m 的范围.