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- 2021-06-16 发布
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2020 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)
一、单项选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)
1.
若 i 为虚数单位,则
1
1
1
A.
1
1
B.
1
1
C.
1
1
D.
1
1
.
已知集合
ሼ ሼ
Tሼ u eT
,
1T
3,
T
,则
A.
1T
B.
쳌T
C.
쳌T T
D.
1T T
쳌.
如图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从 1 月
21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列
,
的前 n 项和
为
,则下列说法中正确的是
A. 数列
是递增数列 B. 数列
是递增数列
C. 数列
的最大项是
11
D. 数列
的最大项是
11
T.
已知双曲线 的离心率为
쳌
,则该双曲线的渐近线方程为
A.
ሼ e
B.
ሼ e
C.
ሼ ± e
D.
ሼ ± e
5.
如图,抛物线
ሼ
ሼ 1
与直线
1
形成一个闭合图形
图中的阴影部分
,则该闭合
图形的面积是
A. 1 B.
T
쳌
C.
쳌
D. 2
6.
函数
ሼ
cos
ሼ
ሼ
1
ሼ
的图象大致是
A. B.
C. D.
.
执行下面的程序框图,若输入 S,a 的值分别为 1,2,输出的 n 值为
4,则 m 的取值范围为
A.
쳌 u 䁥 B.
u 䁥 15C.
15 u 䁥 쳌1D.
쳌1 u 䁥 6쳌
8.
已知
1
,则
tan
T
A. 3 B.
쳌
C.
1
쳌
D.
1
쳌
9.
下列命题不正确的是
A. 若任意四点不共面,则其中任意三点必不共线
B. 若直线 l 上有一点在平面
外,则 l 在平面
外
C. 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
D. 若直线 a,b,c 中,a 与 b 共面且 b 与 c 共面,则 a 与 c 共面
1e.
在
䁨
中,点 D 为边 AB 上一点,若
䁨 䁨
,
䁨 쳌
,
쳌
,
sin 䁨
쳌
쳌
,则
䁨的面积是
A.
9
B.
15
C.
6
D.
1
11.
过抛物线
ሼ e
的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原点,如果
쳌
,
,
䁡
쳌
,那么
的值为
A. 1 B.
쳌
C. 3 D. 6
1 .
已知
ሼ
是定义在 R 上的偶函数,则
5 5 A. 0 B. 5 C.
5
D.
e 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
1쳌.
函数
ሼ
1
쳌 ሼ
쳌
ሼ
的极大值为________.
1T. ሼ
是奇函数,当
ሼ e
时,
ሼ ሼ
쳌
ሼ 1
,则
1
__________
15. 䁨
中,
9e
,
䁨
,D 为边 BC 的中点,则
䁨
______.
16.
一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍,则圆柱的侧面积是其底面
积的_____________倍
.三、解答题(本大题共 7 小题,共 82.0 分)
1 .
为了解某地区某种农产品的年产量
ሼ
单位:吨
对价格
单位:千元
吨
的影响,对近五年该
农产品的年产量和价格统计如表:
x 1 2 3 4 5
y 8 6 5 4 2
已知 x 和 y 具有线性相关关系.
1
求 y 关于 x 的线性回归方程
ሼ
;
若年产量为
T.5
吨,试预测该农产品的价格.
参考公式:
1
ሼ ሼ
1
ሼ
ሼ
1
ሼ ሼ
1
ሼ ሼ
,
ሼ.
18. 已知正项数列
T
满足
T 1
.
1
求数列
T
的通项公式;
设
1
1
,求数列
T
的前 n 项和
.
19. 如图,棱长为 2 的正方体
䁨 1 1䁨1 1
中,P 为
1 1
的中点.
1
求证:
1䁨1
平面
1 䁨
;
求三棱锥
1 䁕䁨1
的体积.
20. 已知椭圆 C:
ሼ
1 e
的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三
角形.
1
求椭圆 C 的标准方程.
设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线
ሼ 쳌
上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,
.
证明:OT 平分线段
䁕
其中 O 为坐标原点
.
21. 已知函数
ሼ
ሼ
ሼ
.
1
若
ሼ
在
eT
单调递增,求实数 a 的取值范围;
证明:当
e
时,
ሼ ሻ ሼ
.
22. 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
ሼ 쳌
쳌 T
为参数
,以坐标原点 O 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
䁨1
的极坐标方程为
T ܿ
.
1
求 l 的极坐标方程和
䁨1
的直角坐标方程;
若曲线
䁨
的极坐标方程为
6
,
䁨
与 l 的交点为 A,与
䁨1
异于极点的交点为 B,求
.
23.
1
求关于 x 的不等式
ሼ 1 ሼ u 5
的解集;
若关于 x 的不等式
ሼ
ሼ 1 䁥
在
ሼ
时恒成立,求实数 m 的取值范围.
【答案与解析】
1.答案:C
解析:
本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题.
解:
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
,
故选 C.
2.答案:B
解析:
本题考查交集的运算,属于基础题.
可求出集合 A,然后进行交集的运算即可.
解:
ሼ ሼ
Tሼ u eT ሼ e u ሼ u TT
,
1T
3,
T
,
쳌T
.
故选:B.
3.答案:C
解析:解:因为 1 月 28 日新增确诊人数小于 1 月 27 日新增确证人数,即
8
,所以
T
不是递
增数列,所以 A 错误;
因为 2 月 23 日新增确诊病例为 0,即
쳌쳌 쳌T
,所以
T
不是递增数列,所以 B 错误;
因为 1 月 31 日新增确诊病例最多,从 1 月 21 日算起,1 月 31 日是第 11 天,所以数列
T
的最大项
是
11
,所以 C 选项正确,
数列
T
的最大项是最后一项,所以选项 D 错误,
故选:C.
结合变化曲线图,根据数列的知识即可分别判断.
本题考查了数列的知识和合情推理的问题,属于中档题.
4.答案:D
解析:
本题考查双曲线的简单性质的应用,渐近线方程,考查计算能力.属于基础题.
利用双曲线的离心率,求出 a,b 的关系,然后求解双曲线的渐近线方程.
解:双曲线
ሼ
1 eT e
的离心率为
쳌
,
可得
쳌
,即
쳌
,可得
.
则该双曲线的渐近线方程为:
ሼ ± e
.
故选:D.
5.答案:B
解析:
本题考查定积分的应用
.首先联立两方程,求出交点坐标,确定出积分公式中 x 的取值范围为
eT
;再根据定积分的几何意
义,得到闭合图形的面积
e
ሼ
ሼ 1 ሼ e
1 ሼ
,
求解即可.
解:由
1T
ሼ
ሼ 1T
知
ሼ eT
1
或
ሼ T
1.
故所求面积
e
ሼ
ሼ 1 ሼ e
1 ሼ
1
쳌 ሼ
쳌
ሼ
ሼ e
ሼ e
T
쳌
.
故选 B.
6.答案:C
解析:解:函数
ሼ
cos
ሼ
ሼ
1
ሼ
是奇函数,排除 A,D.
当
ሼ
1
时,
1
1
e
,函数的图象的对应点在第一象限,排除 B.
故选:C.
判断函数的奇偶性,排除选项,然后利用函数的特殊值判断即可.
本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的单调性,特殊点等等是解题的常用方法.
7.答案:B
解析:
本题考查程序框图的应用,属基础题.
直接利用程序框图求出结果.
解:根据程序框图:
1
,
,
1
,
当
1 u 䁥
时,
1
1
쳌
,
,
,
当
쳌 u 䁥
时,
쳌
,
,
쳌
,
当
u 䁥
时,
쳌
15
,
,
T
,
输出
T
,
故:
u 䁥 15
,
故选:B.
8.答案:C
解析:
本题主要考查两角差的正切公式的应用,属于基础题.
利用两角差的正切公式,求得
tan
T
的值.
解:
1
,则
tan
T
1
1
1
1
1
1
1
쳌
,
故选 C.
9.答案:D
解析:
本题主要考查空间点线面之间的位置关系的判断,要求熟练掌握相应的位置关系,比较基础.
根据空间点线面的位置关系进行判断.
解:
.
若任意三点共线,则必有四点共面,
矛盾,
A 正确.
B.根据直线在平面外的定义可知,当直线和平面相交或直线和平面平行时,满足条件,
B 正确.
C.若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则所有直线都和平面没有公共点,
这两个平面
平行,
C 正确.
D.若三条直线满足两两异面,则结论不成立,
不正确.
故选:D.
10.答案:C
解析:
本题考查的是解三角形的应用和余弦定理,属于中等题.
先根据余弦定理求出 CD 的长,即可得 BD,BC 的长,后求
䁨
的面积即可.
解:
䁨 䁨
,
䁨
,则
cos 䁨 cos 䁨
sin 䁨
쳌
쳌
.
在
䁨
中,
䁨 쳌
,
쳌
,
由余弦定理得
쳌
쳌 䁨
쳌 䁨
쳌
쳌
,
解得
䁨 쳌
.
在
䁨
中,
䁨 쳌
,
sin 䁨
쳌
쳌
,
则
쳌 쳌
,
䁨 쳌
.
故
䁨
1
䁨 sin 䁨
1
T 쳌 쳌
쳌
쳌 6
.
故选 C.
11.答案:A
解析:解:如图,作
准线 l,
ሻ
,
䁨
,
,
,
䁡
쳌
,
cos 䁨
1
,
쳌
,
1
,
故选:A.
如图,作
准线 l,
ሻ
,
䁨
,利用抛物线的定义,及
䁡
쳌
,即可求出
的值.
本题考查抛物线的定义,考查特殊角的三角函数,属于基础题.
12.答案:C
解析:
本题考查函数的奇偶性的应用,属于基础题.
根据
ሼ
是偶函数,则
5 5
,即可得出答案.
解:因为
ሼ
是定义在 R 上的偶函数,所以
5 5
,
则
5 5 5
.
故选 C.
13.答案:
쳌
解析:
本题考查利用导数求函数的极值,考查推理能力和计算能力,属于基础题.
求出导函数,得单调性,即可得极大值.
解:函数
ሼ
1
쳌 ሼ
쳌
ሼ
,
则
㌳ ሼ ሼ
1 ሼ 1 ሼ 1
,
则当
ሼ T 1
或
ሼ 1T
时,
㌳ ሼ e
,函数单调递增;
当
ሼ 1T1
,
㌳ ሼ u e
,函数单调递减,
故当
ሼ 1
时,函数有极大值为
1
1
쳌 1
쳌
.
故答案为
쳌
.
14.答案:
쳌
解析:因为
ሼ
是奇函数,
ሼ ሼ
,
1 1
,又因为当
ሼ e
时,
ሼ ሼ
쳌
ሼ
1
,
1 쳌
,
1 쳌
.
15.答案:2
解析:解:
䁨
中,
9e
,
䁨
,D 为边 BC 的中点,
则
䁨
1
䁨 䁨
1
䁨
1
䁨
1
,
故答案为:2.
根据向量的数量积的运算法则计算即可.
本题考查了向量的数量积的运算,属于基础题.
16.答案:
T
解析:
本题主要考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积,难度较易,属于基础题.
根据几何体的性质,公式转化为用 r 表示的式子判断,即可求出答案.
解:
一个圆柱和一个圆锥同底等高
设底面半径为 r,高为 h,
圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍,
ሻ 쳌
,
ሻ 쳌
,
圆柱的侧面积
T
,其底面积
圆柱的侧面积是其底面积的
T
倍,
故答案为
T
.
17.答案:解:
1 ሼ
1 쳌 T 5
5 쳌
,
8 6 5 T
5 5
,
1
ሼ ሼ
1
ሼ
ሼ
61 5 쳌 5
55 5 쳌
1.T
,
ሼ 5 1.T 쳌 9.
,
故 y 关于 x 的线性回归方程是
1.Tሼ 9.
;
쳌
当
ሼ T.5
时,
1.T T.5 9. .9
千元
吨
.
该农产品的价格为
.9
千元
吨.
解析:本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题.
1
由表格中的数据求得
与
的值,则线性回归方程可求;
在
1
中的回归方程中,取
ሼ T.5
求得
值得答案.
18.答案:解:
1
正项数列
T
满足
T 1
T 1 1 1
两式相减
可得
T
1
1
,
整理得
1 T
分
又
1 1
,得
1 6
分
1
,
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1 . 9
分
数列
T
的前 n 项和
1
1
1
쳌
1
쳌
1
5
1
1
1
1
1 1
分
解析:
1
利用数列的前 n 项和与第 n 项的关系,转化求解数列的通项公式即可.
化简数列的通项公式,利用裂项消项法求解数列的和即可.
本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法,递推关系式的应用,考查转化思想以及计算能力.
19.答案:证明:
1
如图,
在棱长为 2 的正方体
䁨 1 1䁨1 1
中,
显然
1䁨1 䁨
,
1䁨1
平面
1 䁨
,
䁨
平面
1 䁨
,
1䁨1
平面
1 䁨
;
解:
1 䁕䁨1 䁨1 1 䁕T
高为
䁨1 1
,
1 䁕
1
1䁕 1
1
1 1
,
1 䁕䁨1 䁨1 1 䁕
1
쳌 1
쳌
,
三棱锥
1 䁕䁨1
的体积为
쳌
.
解析:本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意
空间思维能力的培养.
1
由
1䁨1 䁨
,能证明
1䁨1
平面
1 䁨
;
由
1 䁕䁨1 䁨1 1 䁕T
高为
䁨1 1
,能求出三棱锥
1 䁕䁨1
的体积.
20.答案:解:
1
由已知可得,
,
,
解得
6
,
,
所以椭圆 C 的标准方程是
ሼ
6
1
;
证明:由
1
可得,F 的坐标是
Te
,
设 T 点的坐标为
쳌T䁥
,
则直线 TF 的斜率
䁥 e
쳌 䁥
.
当
䁥 e
时,直线 PQ 的斜率
䁕
1
䁥 .
直线 PQ 的方程是
ሼ 䁥
.
当
䁥 e
时,直线 PQ 的方程是
ሼ
,也符合
ሼ 䁥
的形式.
设
䁕 ሼ1T 1
,
ሼ T
,
将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,
消去 x,得
䁥
쳌
T䁥 e
,
其判别式
16䁥
8 䁥
쳌 e
.
所以
1
T䁥
쳌 䁥
,
1
쳌 䁥
,
ሼ1 ሼ 䁥 1 T
1
쳌 䁥
.
设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为
6
쳌 䁥
T
䁥
쳌 䁥
,
所以直线 OM 的斜率
䁡
䁥
쳌
,又直线 OT 的斜率
䁡
䁥
쳌
,
所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ.
解析:本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,斜率公式和中
点坐标公式,考查运算能力,属于中档题.
1
由焦距的概念和 a,b,c 的关系,及正三角形的概念,即可得到关于 a,b 方程,解方程可得椭
圆的方程;
设 T 点的坐标为
쳌T䁥
,运用直线的斜率公式,由垂直的条件,可得直线 PQ 的方程,代入椭
圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,
设 PQ 的中点为 M,结合斜率公式,可得直线 OT 和 OM 的斜率相等,即可得证.
21.答案:解:
1
依题意,
㌳ ሼ
ሼ
ሼ
e
,即
ሼ
ሼ
在
eT
恒成立,
设
ሼ ሼ
ሼ
,
㌳ ሼ ሼ
ሼ
ሼ
,
当
ሼ e
时,
㌳ ሼ e
,
所以
ሼ
在
eT
上递增,所以
ሼ e
时,
ሼ e e
,
所以
e
,即实数 a 的取值范围为
Te䁥
.
要证
ሼ ሻ ሼ
,即要证
ሼ
ሼ ሻ ሼ
,
ሼ e
,
e
,即证
ሼ
ሻ ሼ
,即证
ሼ
1 ሻ ሼ 1
,
令
ሼ
ሼ
ሼ 1
,
㌳ ሼ
ሼ
1
,
ሼ
在
eT
上递增,
ሼ e e
,
当
ሼ e
时,
ሼ
1 ሼ
,
令
ሼ ሼ ሻ ሼ 1
,
㌳ ሼ 1
1
ሼ
,令
㌳ ሼ e
得
ሼ 1
,
ሼ
在
eT1
上弟弟递减,在
1T
上单调递增,
ሼ 1 e
,
ሼ ሻ ሼ 1
,
当且仅当
ሼ 1
时,取“
”
,
ሼ
1 ሻ ሼ 1
得证.
解析:本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,是中档题.
1
依题意,
㌳ ሼ
ሼ
ሼ
e
,即
ሼ
ሼ
在
eT
恒成立,设
ሼ ሼ
ሼ
,利用导数即可得出
结果;
要证
ሼ ሻ ሼ
,即要证
ሼ
ሼ ሻ ሼ
,即证
ሼ
ሻ ሼ
,即证
ሼ
1 ሻ ሼ 1
,令
ሼ
ሼ
ሼ 1
,利用导数证得
ሼ ሻ ሼ 1
,令
ሼ ሼ ሻ ሼ 1
,利用导数证得
ሼ ሻ ሼ 1
,从而得
证.
22.答案:解:
1
直线 l 的参数方程为
ሼ 쳌
쳌 T
为参数
,
转换为直角坐标方程为:
ሼ 쳌 e
.
设 代入
ሼ 쳌 e
,
整理得直线 l 的极坐标方程为 ,
曲线
䁨1
的极坐标方程为
T ܿ
.
转换为直角坐标方程为:
ሼ
T
,
曲线
䁨
的极坐标方程为
6
,曲线
䁨
与 l 的交点为 A,
则:
cos
6 쳌 sin
6 e
,
解得:
쳌
쳌
,
与
䁨1
异于极点的交点为 B,
所以:
T ܿ
6 쳌
,
则:
T 쳌
쳌
.
解析:本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,三角函数关系式的
恒等变换,直线方程的求法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力.属于基础题型.
1
直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换,
利用线的关系建立方程组,求出极径,进一步求出结果.
23.答案:解:
1
原不等式化为:
ሼ u 1
ሼ 1 ሼ u 5
或
1 ሼ
ሼ 1 ሼ u 5
或
ሼ
ሼ 1 ሼ u 5 T解得
u ሼ u 1
或
1 ሼ
或
u ሼ u 쳌
.
原不等式的解集为
ሼ u ሼ u 쳌T
;
令
ሼ ሼ
ሼ 1
,由题意可得只须
䁥 ሼ 䁥
即可.
当
ሼ
1
时,
ሼ ሼ
ሼ 1 ሼ 1
e ሼ 1
时取等
;
当
ሼ u
1
时,
ሼ ሼ
ሼ 1 ሼ 1
ሼ 1
时取等
.
可得
ሼ
的最小值为
,
䁥
,
则实数 m 的取值范围是
T 䁥
.
解析:本题考查绝对值不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查不等式恒成立问题解法,
注意运用转化思想和二次函数的最值求法,考查运算能力,属于中档题.
1
运用绝对值的意义,去绝对值可得 x 的不等式组,解不等式可得所求解集;
令
ሼ ሼ
ሼ 1
,由题意可得只须
䁥 ሼ 䁥
即可,去绝对值结合二次函数的最值求法,
可得 m 的范围.
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