高考卷 普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(含详细解析) 11页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学 (含详细解析) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1、设集合 {4,5,6,8}M  ，集合 {3,5,7,8}N  ，那么 M N  （ ） （A）{3,4,5,6,7,8} （B）{5,8} （C）{3,5,7,8} （D） {4,5,6,8}M  解析：选 A． 2、函数 2( ) 1 logf x x  与 1( ) 2 xg x   在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 解析：选 C． 3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10 个苹果，其重量（单位：克）分别为：150， 152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 （ ） （A）150.2 克 （B）149.8 克 （C）149.4 克 （D）147.8 克 解析：选Ｂ． 4、如图， 1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体，下面结论错误．．的是（ ） （A） //BD 平面 1 1CB D （B） 1AC BD （C） 1AC  平面 1 1CB D （D）异面直线 AD 与 1CB 所成的角为 60° 解析：选Ｄ． 5、如果双曲线 2 2 14 2 x y  上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是 （ ） （A） 4 6 3 （B） 2 6 3 （C） 2 6 （D） 2 3 解析：选 A．由点 P 到双曲线右焦点 ( 6,0) 的距离是 2 知 P 在双曲线右支上．又由双曲线 的第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是 2 6 3 ，双曲线的右准线方程是 2 6 3x  ，故点 P 到 y 轴的距离是 4 6 3 ． 6、设球O 的半径是 1，A 、B 、C 是球面上三点，已知 A 到 B 、 C 两点的球面距离都是 2  ，且二面角 B OA C  的大小是 3  ， 则从 A 点沿球面经 B 、C 两点再回到 A 点的最短距离是（ ） （A） 7 6  （B） 5 4  （C） 4 3  （D） 3 2  解析：选 C．    4 2 3 2 3d AB BC CA           ．本题考查球面距离． 7、等差数列{ }na 中， 1 1a  ， 3 5 14a a  ，其前 n 项和 100nS  ，则 n  （ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 解析：选Ｂ． 8、设 ( ,1)A a ， (2, )B b ， (4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA  与OB  在OC  方 向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为（ ） （A）4 5 3a b  （B）5 4 3a b  （C）4 5 14a b  （D）5 4 14a b  解析：选 A．由OA  与OB  在OC  方向上的投影相同，可得 OA OC OB OC      4 5 8 5a b   ， 4 5 3a b  ． 9、用数字 1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（ ） （A）48 个 （B）36 个 （C）24 个 （D）18 个 解析：选Ｂ．个位是 2 的有 3 33 18A  个，个位是 4 的有 3 33 18A  个，所以共有 36 个． 10、已知抛物线 2 3y x   上存在关于直线 0x y  对称的相异两点 A 、 B ，则 AB 等 于（ ） （A）3 （B）4 （C）3 2 （D） 4 2 解析：选 C．设直线 AB 的方程为 y x b  ，由 2 2 1 2 3 3 0 1y x x x b x x y x b                ，进而可求出 AB 的中点 1 1( , )2 2M b   ，又由 1 1( , )2 2M b   在直线 0x y  上可求出 1b  ，∴ 2 2 0x x   ， 由弦长公式可求出 2 21 1 1 4 ( 2) 3 2AB       ．本题考查直线与圆锥曲线的位置关 系．自本题起运算量增大． 11、某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项 目乙投资的 3 2 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这 两个项目上共可获得的最大利润为（ ） （A）36 万元 （B）31.2 万元 （C）30.4 万元 （D）24 万元 解析：选 B．对甲项目投资 24 万元，对乙项目投资 36 万元，可获最大利润 31.2 万元．因 为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 3 2 倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的 3 2 倍时可 获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题 型的形式出现． 12、如图， 1l 、 2l 、 3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与 2l 间的距离是 1， 2l 与 3l 间的距 离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 1l 、 2l 、 3l 上，则⊿ ABC 的边长是（ ） （A）2 3 （B） 3 64 （C） 3 17 4 （D） 2 21 3 解析：选 D．过点Ｃ作 2l 的垂线 4l ，以 2l 、 4l 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设 ( ,1)A a 、 ( ,0)B b 、 (0, 2)C  ，由 AB BC AC  知 2 2 2 2( ) 1 4 9a b b a       边长 ，检验 A： 2 2 2( ) 1 4 9 12a b b a       ，无解；检验 B： 2 2 2 32( ) 1 4 9 3a b b a       ，无 解；检验 D： 2 2 2 28( ) 1 4 9 3a b b a       ，正确．本题是把关题．在基础中考能力， 在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜 区分度太小． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上． 13、 1( )nx x  的展开式中的第 5 项为常数项，那么正整数 n 的值是 ． 解析： 8n  ． 14、在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧棱长为 2 ，底面三角形的边长为 1，则 1BC 与侧面 1 1ACC A 所成的角是____________ 解析： 1 3BC  ，点 B 到平面 1 1ACC A 的距离为 3 2 ，∴ 1sin 2   ， 30   ． 15、已知 O 的方程是 2 2 2 0x y   ， 'O 的方程是 2 2 8 10 0x y x    ，由动点 P 向 O 和 'O 所引的切线长相等，则运点 P 的轨迹方程是__________________ 解析： O ：圆心 (0,0)O ，半径 2r  ； 'O ：圆心 '(4,0)O ，半径 ' 6r  ．设 ( , )P x y ， 由切线长相等得 2 2 2x y   2 2 8 10x y x   ， 3 2x  ． 16、下面有 5 个命题： ①函数 4 4sin cosy x x  的最小正周期是 ； ②终边在 y 轴上的角的集合是{ | , }2 k k Z    ； ③在同一坐标系中，函数 siny x 的图象和函数 y x 的图象有 3 个公共点； ④把函数 3sin(2 )3y x   的图象向右平移 6  得到 3sin 2y x 的图象； ⑤角 为第一象限角的充要条件是sin 0  其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 解析：① 4 4 2 2sin cos sin cos 2y x x x x cos x      ，正确；②错误；③ siny x ， tany x 和 y x 在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家 时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品． （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 种进行检验，求至少要 1 件是合格产品的概率． （Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件， 来进行检验，只有 2 件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合 格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。 解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际 问题的能力． （Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A ．用对立事件 A 来 算，有 4( ) 1 ( ) 1 0.2 0.9984P A P A     （Ⅱ）记“商家任取 2 件产品检验，其中不合格产品数为i 件” ( 1,2)i  为事件 iA ． 1 1 17 3 1 2 20 51( ) 190 C CP A C   2 3 2 2 20 3( ) 190 CP A C   ∴商家拒收这批产品的概率 1 2 51 3 27( ) ( ) 190 190 95P P A P A     ． 故商家拒收这批产品的概率为 27 95 ． 18、（本小题满分 12 分）已知 1cos 7   ， 13cos( ) 14    ，且 π0 2     ． （Ⅰ）求 tan 2 的值； （Ⅱ）求  ． 解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以 及计算能力． （Ⅰ）由 1cos 7   ， π0 2   ，得 2 21 4 3sin 1 cos 1 ( )7 7       ． ∴ sin 4 3 7tan 4 3cos 7 1      ． 于是 2 2 2tan 2 4 3 8 3tan 2 1 tan 471 (4 3)        ． （Ⅱ）由 π0 2     ，得 0 2     ． 又∵ 13cos( ) 14    ， ∴ 2 213 3 3sin( ) 1 cos ( ) 1 ( )14 14           ． 由 ( )      ，得 cos cos[ ( )]      cos cos( ) sin sin( )         1 13 4 3 3 3 1 7 14 7 14 2      ， ∴ π 3   ． 19、（本小题满分 12 分）如图，平面 PCBM  平面 ABC ， 90PCB   ， //PM BC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°，又 1AC  ， 2 2BC PM  ， 90ACB   ． （Ⅰ）求证： AC BM ； （Ⅱ）求二面角 M AB C  的大小； （Ⅲ）求多面体 PMABC 的体积． 解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识， 考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运 算能力． （Ⅰ）∵平面 PCBM  平面 ABC ， AC BC ， AC  平面 ABC ． ∴ AC  平面 PCBM 又∵ BM  平面 PCBM ∴ AC BM （Ⅱ）取 BC 的中点 N ，则 1CN  ．连接 AN 、 MN ． ∵平面 PCBM  平面 ABC ，平面 PCBM  平面 ABC BC ， PC BC ． ∴ PC  平面 ABC ． ∵ //PM CN ，∴ //MN PC ，从而 MN  平面 ABC ． 作 NH AB 于 H ，连结 MH ，则由三垂线定理知 AB MH ． 从而 MHN 为二面角 M AB C  的平面角． ∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°， ∴ 60AMN   ． 在 ACN 中，由勾股定理得 2AN  ． 在 Rt AMN 中， 3 6cot 2 3 3MN AN AMN      ． 在 Rt BNH 中， 1 5sin 1 55 ACNH BN ABC BN AB         ． 在 Rt MNH 中， 6 303tan 35 5 MNMHN NH     故二面角 M AB C  的大小为 30tan 3arc （Ⅱ）如图以 C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz ． 设 0(0,0, )P z 0( 0)z  ， 有 (0,2,0)B ， (1,0,0)A ， 0(0,1, )M z ． 0( 1,1, )AM z  ， 0(0,0, )CP z 由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°，得 cos60AM CP AM CP        即 2 2 0 0 0 1 22z z z   ，解得 0 6 3z  ． ∴ 6( 1,1, )3AM   ， ( 1,2,0)AB   设平面 MAB 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ，则 由 60 030 2 0 n AM x y z n AB x y                    ，取 1 6z  ，得 1 (4,2, 6)n  取平面 ABC 的一个法向量为 2 (0,0,1)n  则 1 2cos ,n n   1 2 1 2 6 39 1326 1 n n n n         由图知二面角 M AB C  为锐二面角， 故二面角 M AB C  的大小为 39arccos 13 ． （Ⅲ）多面体 PMABC 就是四棱锥 A BCPM 1 1 1 1 1 6 6( ) (2 1) 13 3 2 3 2 3 6PMABC A PMBC PMBCV V S AC PM CB CP AC                 20、（本小题满分 12 分）设函数 3( )f x ax bx c   ( 0)a  为奇函数，其图象在点 (1, (1))f 处的切线与直线 6 7 0x y   垂直，导函数 '( )f x 的最小值为 12 ． （Ⅰ）求 a ，b ， c 的值； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调递增区间，并求函数 ( )f x 在[ 1,3] 上的最大值和最小值． 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推 理能力和运算能力． （Ⅰ）∵ ( )f x 为奇函数， ∴ ( ) ( )f x f x   即 3 3ax bx c ax bx c       ∴ 0c  ∵ 2'( ) 3f x ax b  的最小值为 12 ∴ 12b   又直线 6 7 0x y   的斜率为 1 6 因此， '(1) 3 6f a b    ∴ 2a  ， 12b   ， 0c  ． （Ⅱ） 3( ) 2 12f x x x  ． 2'( ) 6 12 6( 2)( 2)f x x x x     ，列表如下： x ( , 2)  2 ( 2, 2) 2 ( 2, ) '( )f x  0  0  ( )f x  极大  极小  所以函数 ( )f x 的单调增区间是 ( , 2)  和 ( 2, ) ∵ ( 1) 10f   ， ( 2) 8 2f   ， (3) 18f  ∴ ( )f x 在[ 1,3] 上的最大值是 (3) 18f  ，最小值是 ( 2) 8 2f   ． 21、（本小题满分 12 分）设 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 14 x y  的左、右焦点． （Ⅰ）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 1 2 5 4PF PF    ，求点 P 的作标； （Ⅱ）设过定点 (0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点 A 、B ，且 AOB 为锐角（其中O 为 作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围． 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解 决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知 2a  ， 1b  ， 3c  ． ∴ 1( 3,0)F  ， 2 ( 3,0)F ．设 ( , )P x y ( 0, 0)x y  ．则 2 2 1 2 5( 3 , )( 3 , ) 3 4PF PF x y x y x y             ，又 2 2 14 x y  ， 联立 2 2 2 2 7 4 14 x y x y       ，解得 2 2 11 3 3 4 2 xx y y        ， 3(1, )2P ． （Ⅱ）显然 0x  不满足题设条件．可设l 的方程为 2y kx  ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ． 联立 2 2 2 2 2 21 4( 2) 4 (1 4 ) 16 12 04 2 x y x kx k x kx y kx                ∴ 1 2 2 12 1 4x x k   ， 1 2 2 16 1 4 kx x k     由 2 2(16 ) 4 (1 4 ) 12 0k k       2 216 3(1 4 ) 0k k   ， 24 3 0k   ，得 2 3 4k  ．① 又 AOB 为锐角 cos 0 0AOB OA OB       ， ∴ 1 2 1 2 0OA OB x x y y     又 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4y y kx kx k x x k x x       ∴ 1 2 1 2x x y y 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x     2 2 2 12 16(1 ) 2 ( ) 41 4 1 4 kk kk k         2 2 2 12(1 ) 2 16 41 4 1 4 k k k k k      2 2 4(4 ) 01 4 k k   ∴ 21 44 k   ．② 综①②可知 23 44 k  ，∴ k 的取值范围是 3 3( 2, ) ( ,2)2 2    ． 22、（本小题满分 14 分）已知函数 2( ) 4f x x  ，设曲线 ( )y f x 在点 ( , ( ))n nx f x 处的 切线与 x 轴的交点为 1( ,0)nx  ( *)n N ，其中 1x 为正实数． （Ⅰ）用 nx 表示 1nx  ； （Ⅱ）若 1 4x  ，记 2lg 2 n n n xa x   ，证明数列{ }na 成等比数列，并求数列{ }nx 的通项公式； （Ⅲ）若 1 4x  ， 2n nb x  ， nT 是数列{ }nb 的前 n 项和，证明 3nT  ． 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问 题的能力． （Ⅰ）由题可得 '( ) 2f x x ． 所以曲线 ( )y f x 在点 ( , ( ))n nx f x 处的切线方程是： ( ) '( )( )n n ny f x f x x x   ． 即 2( 4) 2 ( )n n ny x x x x    ． 令 0y  ，得 2 1( 4) 2 ( )n n n nx x x x    ． 即 2 14 2n n nx x x   ． 显然 0nx  ，∴ 1 2 2 n n n xx x   ． （Ⅱ）由 1 2 2 n n n xx x   ，知 2 1 ( 2)22 22 2 n n n n n x xx x x      ，同理 2 1 ( 2)2 2 n n n xx x   ． 故 21 1 2 2( )2 2 n n n n x x x x      ． 从而 1 1 2 2lg 2lg2 2 n n n n x x x x      ，即 1 2n na a  ．所以，数列{ }na 成等比数列． 故 1 1 11 1 1 22 2 lg 2 lg32 n n n n xa a x      ． 即 12lg 2 lg32 nn n x x   ． 从而 122 32 nn n x x   所以 1 1 2 2 2(3 1) 3 1 n nnx     （Ⅲ）由（Ⅱ）知 1 1 2 2 2(3 1) 3 1 n nnx     ， ∴ 12 42 0 3 1nn nb x      ∴ 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 33 1 3 1 3 3 n n n n n n b b             当 1n  时，显然 1 1 2 3T b   ． 当 1n  时， 2 1 1 2 1 1 1 1( ) ( )3 3 3 n n n nb b b b      ∴ 1 2n nT b b b    1 1 1 1 1 1( )3 3 nb b b    1 1[1 ( ) ]3 11 3 nb    13 3 ( ) 33 n    ． 综上， 3nT  ( )nN* ．