2020年高中数学新教材同步必修第二册 第7章 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 10页

7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位 i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由 实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的 充要条件. 知识点一 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足 i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母 z表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a叫做复数 z的实部，b 叫做复数 z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母 C 表示. 知识点二 复数的分类 1.复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 实数b＝0， 虚数b≠0 纯虚数 a＝0， 非纯虚数 a≠0. 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三 复数相等的充要条件 设 a，b，c，d都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且 b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 1.若 a，b为实数，则 z＝a＋bi为虚数.( × ) 2.复数 i的实部不存在，虚部为 0.( × ) 3.bi是纯虚数.( × ) 4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等.( √ ) 一、复数的概念 例 1 下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数 x＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案 D 解析 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0时，为纯虚数.对于①，若 a＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若 x＝－2，则 x2 －4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正 确. 反思感悟 复数 a＋bi(a，b∈R)中，实数 a和 b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为 复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练 1 (多选)对于复数 a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是( ) A.若 a＝0，则 a＋bi为纯虚数 B.若 a＋(b－1)i＝3－2i，则 a＝3，b＝－2 C.若 b＝0，则 a＋bi为实数 D.i的平方等于 1 答案 ABD 解析 对于 A，当 a＝0时，a＋bi也可能为实数； 对于 B，若 a＋(b－1)i＝3－2i，则 a＝3，b＝－1； 对于 D，i的平方为－1.所以 ABD均错误. 二、复数的分类 例 2 当 m为何实数时，复数 z＝m2－m－6 m＋3 ＋(m2－2m－15)i. (1)是虚数； (2)是纯虚数. 解 (1)当 m＋3≠0， m2－2m－15≠0， 即 m≠5且 m≠－3时，z是虚数. (2)当 m2－m－6 m＋3 ＝0， m2－2m－15≠0， 即 m＝3或 m＝－2时，z是纯虚数. 延伸探究 1.本例中条件不变，当 m为何值时，z为实数？ 解 当 m＋3≠0， m2－2m－15＝0， 即 m＝5时，z是实数. 2.已知 z＝log2(1＋m)＋i 1 2 log (3－m)(m∈R)，若 z是虚数，求 m的取值范围. 解 ∵z是虚数， ∴ 1 2 log (3－m)≠0，且 1＋m>0， 即 3－m>0， 3－m≠1， 1＋m>0， ∴－12a＋3，即 a2－2a－3>0， 解得 a>3或 a<－1， 因此，实数 a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞). 5.已知 x2－y2＋2xyi＝2i(其中 x>0)，则实数 x＝________，y＝________. 答案 1 1 解析 ∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴ x2－y2＝0， 2xy＝2， 解得 x＝1， y＝1， 或 x＝－1， y＝－1舍. 1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成 z＝a＋bi的形式. 1.设 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi是纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为 a，b∈R，当“a＝0”时，“复数 a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能 b＝0， 即 a＋bi＝0∈R. 而当“复数 a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立. 所以 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件. 2.给出下列三个命题： ①若 z∈C，则 z2≥0； ②2i－1的虚部是 2i； ③2i的实部是 0. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 ①错误，例如 z＝i，则 z2＝－1； ②错误，因为 2i－1虚部是 2； ③正确，因为 2i＝0＋2i. 3.在复平面内，复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则( ) A.a＝0或 a＝2 B.a＝0 C.a≠1且 a≠2 D.a≠1或 a≠2 答案 B 解析 因为复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数， 所以 a2－2a＝0且 a2－a－2≠0，所以 a＝0. 4.若 a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 019i＝2－bi，则 a2＋bi等于( ) A.2 019＋2i B.2 019＋4i C.2＋2 019i D.4－2 019i 答案 D 解析 因为 a＋2 019i＝2－bi， 所以 a＝2，－b＝2 019，即 a＝2，b＝－2 019， 所以 a2＋bi＝4－2 019i. 5.(多选)下列命题中错误的有( ) A.若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i的充要条件是 x＝y＝1 B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集 C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则 z1＝z2＝z3 D.若实数 a与 ai对应，则实数集与复数集一一对应 答案 ABCD 解析 取 x＝i，y＝－i，则 x＋yi＝1＋i，但不满足 x＝y＝1，故 A错；BC错；对于 D，a＝ 0时，ai＝0，D错. 6.设 m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中 i是虚数单位，则 m＝________. 答案 －2 解析 由 m2＋m－2＝0， m2－1≠0， 得 m＝－2. 7.如果 x－1＋yi与 i－3x为相等复数，x，y为实数，则 x＝________，y＝________. 答案 1 4 1 解析 由复数相等可知 x－1＝－3x， y＝1， 所以 x＝1 4 ， y＝1. 8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1则实数 m的值为________. 答案 2 解析 由题意得 m2－2m＝0， m2－1>1， 解得 m＝2. 9.实数 m分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是 0. 解 由 m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或 m＝－3， 由 m2－2m－15＝0得 m＝5或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0时，复数 z为实数， ∴m＝5或－3. (2)当 m2－2m－15≠0时，复数 z为虚数， ∴m≠5且 m≠－3. (3)当 m2－2m－15≠0， m2＋5m＋6＝0 时，复数 z是纯虚数， ∴m＝－2. (4)当 m2－2m－15＝0， m2＋5m＋6＝0 时，复数 z是 0， ∴m＝－3. 10.分别求满足下列条件的实数 x，y的值. (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i； (2)x 2－x－6 x＋1 ＋(x2－2x－3)i＝0. 解 (1)∵x，y∈R， ∴由复数相等的定义，得 2x－1＝x－y， y＋1＝－x－y， 解得 x＝3， y＝－2. (2)∵x∈R， ∴由复数相等的定义，得 x2－x－6 x＋1 ＝0， x2－2x－3＝0， 即 x＝3或 x＝－2，且 x≠－1， x＝3或 x＝－1， ∴x＝3. 11.若 sin 2θ－1＋i( 2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2kπ－π 4 (k∈Z) B.2kπ＋π 4 (k∈Z) C.2kπ±π 4 (k∈Z) D.k 2 π＋π 4 (k∈Z) 答案 B 解析 由题意，得 sin 2θ－1＝0， 2cos θ＋1≠0， 解得 θ＝kπ＋π 4 ， θ≠2kπ±3π 4 ， k∈Z，∴θ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z. 12.已知关于 x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根 n，且 z＝m＋ni，则复数 z等 于( ) A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i 答案 B 解析 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i， 即 n2＋mn＋2＝0， 2n＋2＝0， 解得 m＝3， n＝－1. ∴z＝3－i. 13.已知 z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则 m＝1是 z1＝z2的______________ 条件. 答案 充分不必要 解析 当 z1＝z2时，必有 m2＋m＋1＝3且 m2＋m－4＝－2，解得 m＝－2 或 m＝1，显然 m ＝1是 z1＝z2的充分不必要条件. 14.使不等式 m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数 m的取值集合是________. 答案 {3} 解析 由已知，得 m2－3m＝0， m2－4m＋3＝0， m2<10， 解得 m＝3， 所以所求的实数 m的取值集合是{3}. 15.若复数 z＝ cos θ－4 5 ＋ sin θ－3 5 i是纯虚数(i为虚数单位)，则 tan θ－π 4 的值为( ) A.7 B.－1 7 C.－7 D.－7或－ 1 7 答案 C 解析 ∵复数 z＝ cos θ－4 5 ＋ sin θ－3 5 i是纯虚数， ∴cos θ－4 5 ＝0，sin θ－3 5 ≠0， ∴sin θ＝－ 3 5 ，∴tan θ＝－ 3 4 ， 则 tan θ－π 4 ＝ tan θ－1 1＋tan θ ＝ － 3 4 －1 1－3 4 ＝－7. 16.已知复数 z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中 i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若 z1为纯虚数，求实数 m的值； (2)若 z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解 (1)∵z1为纯虚数， 则 4－m2＝0， m－2≠0， 解得 m＝－2. (2)由 z1＝z2，得 4－m2＝λ＋2sin θ， m－2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当 sin θ＝1时，λmin＝2， 当 sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6].