湖北省孝感市云梦县普通高中联考协作体2019-2020学年高二下学期线上考试数学试题 Word版含解析 17页

- 1 - 数学试卷 一、选择题 1.下列求导运算正确的是（ ）． A.  x xe e   B.  sin cosa a  （ a 为常数） C.  cos sinx x  D.   1lg ln10x x   【答案】D 【解析】 【分析】 由求导公式进行验证，可得结果. 【详解】解：对于 A :  ' '( )x x xe e x e       ，所以 A 不正确； 对于 B: 因为 a 为常数，所以 'sin 0a  ，所以 B 不正确； 对于 C:  'cos sinx x  ，所以 C 不正确； 故选：D 【点睛】此题考查的是求导公式，属于基础题. 2.若 3 个班分别从 6 个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（ ）种． A. 3 6A B. 3 6C C. 63 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】 每个班都有 6 种选法，由分步计数原理可得结果. 【详解】解：由题意可知，每个班都有 6 种选法，则由乘法原理可得共有 36 6 6 6   种方法 故选：D 【点睛】此题考查的是排列组合中的分步计数原理，属于基础题. 3.已知函数   x x af x e  的图像在点   1, 1f 处的切线与直线 2 0x ey   垂直，则 a  （ ）． A. 1 B. 2e C. 2e D. 1 【答案】C - 2 - 【解析】 【分析】 由于切线与直线 2 0x ey   垂直，所以可得切线的斜率为 e ，而切线的斜率又等于 ' (1)f ， 所以 ' (1)f e  ，从而可求出 a 的值. 【详解】解：因为   x x af x e  ，所以  ' 1 x x af x e   ， 所以切线的斜率为 ' (1) af e  ， 因为函数   x x af x e  的图像在点   1, 1f 处的切线与直线 2 0x ey   垂直， 所以 a ee    ，得 2a e 故选：C 【点睛】此题考查的是利用导数求曲线上在某点的切线的斜率，属于基础题. 4.“仁义礼智信”为儒家“五常”．由孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，且“礼智” 不相邻的排法有（ ）种． A. 48 B. 36 C. 72 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】 先将“仁义信”排列后有 4 个空，然后将“礼智”去插空，可得结果. 【详解】解：先对“仁义信”进行排列，有 3 3 =6A 种方法，此时有 4 个空，然后用“礼智”去 插空，有 2 4 =12A 种方法，由乘法原理可知共有 3 2 3 4 =6 12=72A A  种 故选：C 【点睛】此题考查的是排列组合中的插空法，属于基础题. 5.设函数   32 6f x x x a   ，则下列结论正确的是（ ）． A.  f x 在 , 1  上单调递减 B.  f x 在区间  1,1 上单调递增 C.  f x 的极小值是  1f  D. 存在一个实数，使得  f x 是奇函数 【答案】D 【解析】 - 3 - 【分析】 先对  f x 求导，令  ' 0f x  ，得其增区间，令  ' 0f x  ，得其减区间，令 ( )' 0f x = ，可 求出函数的极值，最后可得结果. 【详解】解：  ' 26 6f x x  ， 令  ' 0f x  ，得 1x   或 1x  ； 令  ' 0f x  ，得 1 1x   ， 所以  f x 在 , 1  上递增，在  1,1 上递减，故 A,B 不正确； 令 ( )' 0f x = ，则 1x   ， 因为 1x   或 1x  时，  ' 0f x  ；当 1 1x   时，  ' 0f x  ， 所以 1x   为函数的极大值点， 1x  为函数极小值点，故 C 不正确； 当时 0a  ，   32 6f x x x  为奇函数 故选：D 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题. 6.现将爱国福，和谐福，友善福，富强福，敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，则不同 排法有（ ）种． A. 72 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】 由于爱国福与敬业福相邻，所以将其捆绑在一起看成一个整体，再与和谐福，友善福，富强 福排列可得结果. 【详解】解：将爱国福与敬业福捆绑在一起，再与和谐福，友善福，富强福进行全排列，所 以排法有： 2 4 2 4 2 4 3 2 48A A      种 故选：D 【点睛】此题考查的是排列组合中的相邻问题，利用捆绑法求解，属于基础题. 7.用数学归纳法证明“  *( 1)( 2) ( ) 2 1 2 (2 1)nn n n n n n N       … … ”时，从“ n k - 4 - 到 1n k  ”时，左边应添加的式子是（ ）. A. 2 1k  B. 2 1 1 k k   C.  2 2 1k  D. 2 2 1 k k   【答案】C 【解析】 【分析】 计算当 1n k  时，左边的式子，然后与 n k ，左边的式子进行对比，可得结果. 【详解】当 n k 时， 左边 ( 1)( 2) ( )k k k k     当 1n k  时， 左边   ( 2)( 3) ( ) 2 1 2 2k k k k k k     … 所以当 1n k  时， 左边增加的式子为：     2 1 2 2 2 2 11 k k kk     故选：C 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，注意观察左边式子的特点，属基础题. 8.从某学习小组的 4 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行体能检测，其中至少要选到 男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ）． A. 96 B. 48 C. 72 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】 要从 4 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生，要至少要选到男生与女生各一名，有两种情 况：一种是 1 男 2 女，另一种是 2 男 1 女，然后分别求解可得答案. 【详解】解：从 4 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生，至少要选到男生与女生各一名， 有两种情况：一种是 1 男 2 女，另一种是 2 男 1 女 其中 1 男 2 女的有 1 2 4 4 24C C  种；2 男 1 女的有 2 1 4 4 24C C  ， 所以不同的选法有 1 2 2 1 4 4 4 4 48C C C C  种 故选：B - 5 - 【点睛】此题考查的是组合问题，分类求解，属于基础题. 9.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得 五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古 代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成 3 组派去三地 执行公务（每地至少去 1 人），则不同的方案有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】 将 5 人分 3 组，每组至少 1 人，共有两种情况：（1）每组人数别为 1，2，2；（2）每组的人数 分别为 1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果. 【详解】解：将 5 人分 3 组，每组至少 1 人，共有两种情况： （1）每组人数别为 1，2，2，方法有 2 2 1 34 2 5 32 2 90C CC AA    ； （2）每组的人数分别为 1，1，3，方法有 3 3 5 3 60C A  ， 所以不同的方案有 90+60=150 种. 故选：A 【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题. 10.函数   3 2f x x ax a   在( )0,1 内有极小值，则实数 a 的取值范围为（ ）． A. ( ),0-¥ B. 3, 2      C. 3 ,02     D. ( )3,0- 【答案】C 【解析】 【分析】 先求函数的极小值点，然后极小值点在区间( )0,1 内，解不等式可求出 a 的取值范围 【详解】解：由   3 2f x x ax a   ，得  ' 23 2f x x a  ， 当 0a  时，  ' 0f x  ，则  f x 在 R 上单调递增，所以函数  f x 无极值点 - 6 - 当 0a  时，令 ' ( ) 0f x  ，则 23 2x a  ，解得 1 2 3 ax    ， 2 2 3 ax   ， 因为当 1x x 或 2x x 时， ' ( ) 0f x  ；当 1 2x x x  时， ' ( ) 0f x  ， 所以 2x x 为函数的极小值点， 因为函数   3 2f x x ax a   在( )0,1 内有极小值， 所以 20 13 a   ，解得 3 02 a   ， 故选：C 【点睛】此题考查函数的极值问题，利用极值点所在的范围求参数的范围，属于基础题. 11.设函数  f x 在 R 上可导，其导函数为  f x ，若函数  f x 在 1x  处取得极小值，则导 函数  f x 的图像可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 要使函数  f x 在 1x  处取得极小值，只需导函数在 1x  的左侧小于零，在右侧大于零即可 【详解】解：因为函数  f x 在 1x  处取得极小值， - 7 - 所以只需导函数 ( )f x¢ 在 1x  的左侧小于零，在右侧大于零即可，由图可知只有选项 B 符合 题意 故选：B 【点睛】此题考查导函数的图像与极值间的关系，属于基础题. 12.已知函数    1 x k xf x e  ，若对任意 xR ，都有   1f x  恒成立，则实数 k 的取值范 围是（ ）． A.  ,1 e  B.  1 ,e  C.  1,e D.  1,1 e 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意等价于 ( 1) 0xe k x   ，然后构造函数 ( ) ( 1)xg x e k x   ，利用导数并结合分类 讨论的方法研究函数 ( )g x 性质，然后计算 min ( ) 0g x  可得结果 【详解】解：由   1f x  ，得 ( 1) 1x k x e   ， 所以 ( 1) 0xe k x   恒成立， 令 ( ) ( 1)xg x e k x   ，则 ' ( ) ( 1)xg x e k   ， 当 1k  时，则 ( ) xg x e 大于零恒成立 当 1 0k   时， ' ( ) 0g x  ，则 ( )g x 在 R 上单调递增，不合题意， 当 1 0k   时，令 ' ( ) 0g x  ，则 1xe k  ，得 ln( 1)x k  ， 当 ln( 1)x k  时， ' ( ) 0g x  ，当 ln( 1)x k  时， ' ( ) 0g x  ， 所以当 ln( 1)x k  时， ( )g x 取最小值， 即 ln( 1) min( ) (ln( 1)) ( 1)ln( 1)kg x g k e k k      ( 1)[1 ln( 1)]k k    令 ( 1)[1 ln( 1)] 0k k    ，则1 ln( 1) 0k   ，得1 1k e   综上1 1k e   故选：D - 8 - 【点睛】此题考查不等式恒成立问题，通过构造函数，利用了导数求函数的最值解决问题， 属于中档题. 二、填空题 13.设函数  f x 满足      2 3 1 1f x x f x f   ，则  1f  ______． 【答案】 1 【解析】 【分析】 先对函数求导，再令 1x  ，求出 ' (1)f 的值，代入原函数中，再令 1x  可求出 (1)f . 【详解】解：由      2 3 1 1f x x f x f   ，得 ' '( ) 2 3 (1)f x x f  ， 令 1x  ，则 ' '(1) 2 3 (1)f f  ，解得 ' (1) 1f   ， 所以    2 3 1f x x x f   ，令 1x  ，则 (1) 1 3 (1)f f   ， 解得 (1) 1f   故答案为： 1 【点睛】此题考查函数的导数，属于基础题. 14.浙江新高考从 2014 年秋季入学的新高一学生开始执行“7 选 3”模式，指除语数英三科外， 考生须从历史，政治，地理，物理，化学，生物，技术，7 个科目中选择 3 科作为高考选考科 目，已知某生必选物理，且不选地理，则不同的选法有______种． 【答案】10 【解析】 【分析】 由题意可知该生只要从历史，政治，化学，生物，技术这 5 科中任选 2 科即可 【详解】解：因为该生选 3 科必选物理，且不选地理， 所以只要从历史，政治，化学，生物，技术这 5 科中任选 2 科即可， 所以共有 2 5 10C  种选法 故答案为：10 【点睛】此题考查组合问题，属于基础题. 15.某果园种植丑橘每年固定成本 10 万元，每年最大产量 13 万斤，每种一斤橘子，成本增加 - 9 - 1 元，已知销售额函数   3 23f x x ax x    ，（ x 是橘子产量，单位：万斤，销售额单位： 万元， a 为常数）若产 2 万斤，利润 18 万元，则 a ______；要使利润最大，每年需产橘子 ______万斤． 【答案】 (1). 3 (2). 6 【解析】 【分析】 由题意可知， 32 12 2 10 2 18a      可求出 3a  ，若设产量与利润的函数为 ( )g x ，则 ( ) ( ) 10g x f x x   ，然后求 ( )g x 的最大值即可. 【详解】解：因为产 2 万斤，利润 18 万元， 所以 32 12 2 10 2 18a      ，解得 3a  所以 3 2( ) 9f x x x x    ， 若设产量与利润的函数为 ( )g x ， 则  3 2 3 2( ) 9 10 9 10, 0,13          g x x x x x x x x ， ' 2( ) 3 18g x x x   ，令 ' ( ) 0g x  ，则 0x  （舍去）或 6x  ， 因为当 0 6x  时， ' ( ) 0g x  ，当13 6 x 时， ' ( ) 0g x  ， 所以当 6x  ， ( )g x 取最大值， 故答案为：3，6 【点睛】此题考查了导数在实际生活中的优化问题，解题的关键是实际问题数学化，属于基 础题. 16.设        2 2, ln 1 0,a b a b a b a b       R ，当 a ，b 变化时，则  ,a b 的最 小值______． 【答案】 2 【解析】 【分析】 由        2 2, ln 1 0,a b a b a b a b       R 可 知 ， 此 式 表 示 点 ( ,ln )a a 与 点 - 10 - ( , 1)b b  间的距离，转化为求直线 1y x  与曲线 lny x 间的最小距离问题，只需将直线 1y x  向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，然后只要求出切线方程， 再利用两平行线间的距离公式可得结果. 【详解】解：由        2 2, ln 1 0,a b a b a b a b       R 可知，此式表示点 ( ,ln )a a 与点 ( , 1)b b  间的距离， 而点 ( ,ln )a a 在曲线 lny x 上，点 ( , 1)b b  在直线 1y x  上， 所以问题转化为求直线 1y x  与曲线 lny x 间的最小距离， 将直线 1y x  向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离， 设直线 1y x  向下平移与曲线相切时的直线方程为 y x m  ， 设切点为 0 0( , )x y ， ' 1y x  ，则 0 1 1x  ，得 0 1x  ， 所以 0 0ln 0y x  ，切点为 (1,0) ， 所以切线方程为 1y x  ， 此时直线 1y x  与 1y x  间的距离为 2 2 2  ， 故答案为： 2 【点睛】此题考查了距离公式，利用导数求切线方程，考查了数学转化思想，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.由五个不同的数字 0，1，2，5， x 组成无重复．．．数字的三位数（最后结果用数字表达） （1）若 3x  ，则组成的偶数有多少个？ （2）若 4x  ，则比 210 大的数有多少个？ 【答案】（1）21 个；（2）32 个． 【解析】 【分析】 （1）分两种情况：一种是当末位是 0 时，只需从 1，2，3，5 中任选 2 个排在十位和百位即 可，另一种是末位是 2，先从 1，3，5 中任选 1 个排在百位，然后再从剩下的 3 个数字中任选 1 个排在十位即可； - 11 - （2）分三种情况：第 1 种，百位数字为 2，十位数字为 1，只要从 4，5 中任选 1 个放在个位 即可，第 2 种，百位数字为 2，十位数字为 4 或 5，个位任选即可，第 3 种，百位为 4 或 5， 十位和个位任意选 2 个数字排列即可 【详解】（1）若末位是 0，则 2 4 12A  ，若末位是 2，则 1 1 3 3 9C C  ，共 21 个． （2）第一类，形如： 21 ，有 1 2 2C  个， 第二类，形如： 24 ，有 1 3 3C  个，形如： 25 ，有 1 3 3C  个， 第三类，形如： 4 ，有 2 4 12A  个，形如 5 ，有 2 4 12A  ，共 32 个． 【点睛】此题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题. 18.已知数列 na 满足 1 1a  ，  14 4n n na a a  ． （1）计算 2a ， 3a ， 4a 的值，并猜想数列通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想． 【答案】（1） 2 4 5a  ， 3 2 3a  ， 4 4 7a  ，猜想： 4 3na n   ．（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由 1 1a  ，  14 4n n na a a  ，依次给 n 取 1，2，3，可求出 2a ， 3a ， 4a 的值，从而可 猜想出通项公式； （2）利用数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】解：（1）因为数列 na 满足 1 1a  ，  14 4n n na a a  ， 所以当 1n  时， 1 2 1( 4) 4a a a  ，得 2 4 5a  ， 当 2n  时， 2 3 2( 4) 4a a a  ， 3 4 4( 4) 45 5a   ，得 3 4 6a  ， 当 3n  时， 3 4 3( 4) 4a a a  ， 4 4 4( 4) 46 6a   ，得 4 4 7a  由此猜想 4 3na n   ， （2）用数学归纳法证明如下： ①当 1n  时， 1 4 11 3a   ，猜想成立； - 12 - ②假设当 n k 时猜想成立，即 4 3ka k   ； 则当 1n k  时，  14 4k k ka a a  得 1 444 4 4 43 44 4 4( 3) ( 1) 343 k k k a ka a k k k           所以当 1n k  时猜想成立 根据①、②可知猜想正确. 【点睛】此题考查了利用递推公式求数列的通项公式和数学归纳法，考查逻辑推理能力和运 算能力，属于中档题. 19.已知函数   sinxf x e x  ． （1）求函数在   0, 0f 处的切线方程； （2）求函数  f x 在区间 π ,02     上的最值． 【答案】（1） 0x y  ．（2）  max 0f x  ．   π 4 min 2 2f x e  【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，将 0x  代入导函数中求得的值为切线的斜率，然后利用点斜式方程可 写出切线方程； （2）对函数求导，再利用导数判函数的单调区间，从而可求得其最值. 【详解】（1）    sin cosxf x e x x   ， 切线斜率  0 1k f   ，  0 0f  ， ∴切点 0,0 ，切线方程 0x y  ． （2）    sin cosxf x e x x   ， 令 ( ) 0f x¢ > ，即sin cos 0x x  ， π ,04x      ． - 13 - 令 ( ) 0f x¢ < ，即sin cos 0x x  ， π π,2 4x       ， ∴  f x 在 π π,2 4      单调递减， ( )f x¢ 在 π ,04     单调递增， ∴   π 4 min π 2 4 2f x f e        ，  0 0f  ， π 2π 2f e       ， ∴  max 0f x  ． 【点睛】此题考查了导数的几何意义和利用导数求函数的最值，属于中档题. 20.已知奇函数    3 21f x x b x ax    在   1, 1f 处的切线与直线3 0x y  平行． （1）求 a ，b 的值； （2）求过  2,8A 且与曲线  f x 相切的直线方程． 【答案】（1） 0a  ， 1b  （2） 3 2y x  ． 【解析】 【分析】 （1）由  f x 是奇函数可得 1b  ，而函数在   1, 1f 处的切线与直线 3 0x y  平行，可知  1 3 3f a    ，从而求出 a 的值； （2）由于是过点  2,8A 的切线，所以先设出切点坐标，将切点的横坐标代入导函数中可得 切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程，现将点  2,8A 坐标代入切线方程中，从而可得切 点坐标，进而可求出切线方程. 【详解】（1）∵  f x 是奇函数，∴ 1 0b   ，即 1b  ， ( ) 23f x x a¢ = + ，  1 3 3f a    ，即 0a  ． （2）   3f x x ，设切点  3 0 0,x x ，切线斜率 2 03k x ， 则切线方程  3 2 0 0 03y x x x x   ． ∵  2,8A 在切线上，带入得  3 2 0 0 08 3 2x x x   ，     2 2 0 0 0 0 02 4 2 3 2x x x x x     ， - 14 - 整理得   2 0 02 1 0x x   ，即 0 2x  或 0 1x   ． 当切点为 2,8 时，切线方程 12 16y x  ， 当切点为 1, 1  时，切线方程 3 2y x  ． 【点睛】此题考查了导数的几何意义，利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题. 21.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性 呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体 中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、 气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚 至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有 3 名男医生， 2 名女医生，其中．．李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有 2 名男医生，2 名女医生，其中．． 张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选 4 人参加援鄂医疗（最后结果用数字 表达）． （1）若至多有 1 名主任参加，有多少种派法？ （2）若呼吸内科至少 2 名医生参加，有多少种派法？ （3）若至少有 1 名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？ 【答案】（1）105 种（2）105 种（3）87 种． 【解析】 【分析】 （1）至多有 1 名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有 1 名主任参加， 利用分类计数原理可得结果； （2）呼吸内科至少 2 名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科 2 名医生参加，第二种呼 吸内科 3 名医生参加，第三种呼吸内科 4 名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果； （3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情 况求解即可. 【详解】（1）直接法：若无主任 4 7 35C  ，若只有 1 名主任 1 3 2 7 70C C  ，共 105 种， 间接法： 4 2 2 9 7 2 105C C C   ． （2）直接法： 2 2 3 1 4 5 4 5 4 5 105C C C C C   ， - 15 - 间接法： 4 4 1 3 9 4 5 4 105C C C C   ． （3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类． 第一类：若有张雅 3 8 56C  ， 第二类：若无张雅，则李亮必定去  1 1 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3 31C C C C C C   ，共 87 种． 【点睛】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题. 22.函数   2lnx xf x ax x   ，  g x 为  f x 的导数． （1）若 1a  ，求  f x 在 1x  处的切线方程； （2）求  g x 的单调区间； （3）若方程   0g x  有两个不等的实根，求 a 的取值范围． 【答案】（1） 2 0x y  ．（2）  g x 在 0,  单增，在 1 ,2a     单减．（3） 10 2a e   【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，将 1x  代入导函数中求得的值为切线的斜率，然后利用点斜式方程可 写出切线方程； （2）对函数  g x 求导后，由 a 的范围判断导函数的正负，从而可求得其单调区间； （3）   0g x  有两个不等的实根，等价于 ln 2x ax  有两个不等实根， 等价于   ln xh x x  与 2y a 有两个不同的交点，然后对  h x 求导判断其单调区间，可求出  h x 的取值范围，从而可得 a 的取值范围. 【详解】（1）当 1a  时，   2lnf x x x x x   ，   ln 2f x x x   ， 切线斜率  1 2k f    ， ( )1 2f = - ，切点 1, 2 ， ∴切线方程 2 0x y  ． （2）     ln 2g x f x x ax   ，定义域  0,  ，   1 1 22 axg x ax x     ， 1 当 0a  ，   0g x  恒成立，即  g x 在 0,  单调递增， - 16 - 2当 0a  ，令   0g x  ，解得 10 2x a   ，即  g x 在 10, 2a      单调递增， 令   0g x  ，解得 1 2x a  ，即  g x 在 1 ,2a     单调递减． （3）   0g x  有两个不等的实根，即 ln 2x ax  有两个不等实根， 等价于   ln xh x x  与 2y a 有两个不同的交点， 因为   2 1 ln xh x x   ，所以当  0,x e 时， ' ( ) 0h x  ，当  ,x e  时， ' ( ) 0h x  即  h x 在 0,e 单调递增， ,e  单调递减， 而易知  0,1x ，   0h x  ，  1,x  ，   0h x  ，   1h e e  ， ∴ 10 2a e   ，即 10 2a e   ．（其他合理方法均可） 【点睛】此题考查了利用导数求函数的单调区间的最值，属于中档题. - 17 -