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- 2021-06-16 发布
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巢湖市柘皋中学2019学年第一学期
高一第一次月考数学试卷
一、选择题 (本大题共12小题,共60分)
1. 已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,4},则∁U(A∪B)=( )
A. 5 B. {5} C. ∅ D. {1,2,3,4}
【答案】B
【解析】由得:,故,故选B.
2. 下列集合中表示同一集合的是( )
A. M={(3,2)},N={(2,3)} B. M={2,3},N={3,2}
C. M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D. M={2,3},N={(2,3)}
【答案】B
【解析】A、,表示点构成的集合,,表示数集,点构成的集合,故A错误;B、根据集合的无序性,集合,表示同一集合,故B正确;C、,集合的元素表示点的集合,,表示直线的纵坐标,是数集,故不是同一集合,故错误;D、,集合的元素是数,,集合的元素是点,故错误;故选B.
3. 下列各组函数表示同一函数的是( )
A. f (x)=x, B. f (x)=x2+1,g(t)=t2+1
C. f (x)=1, D. f (x)=x,g(x)=|x|
【答案】B
【解析】A、两个函数定义域不同,故不是同一个函数;B、两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数;C、两个函数定义域不同,故不是同一个函数;D、两个函数值域不同,故不是同一个函数;故选B.
点睛:本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数,属于基础题;函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定;当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数,值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.
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4. 函数y=+的定义域为( )
A. [,+∞) B. (-∞,3)∪(3,+∞)
C. [,3)∪(3,+∞) D. (3,+∞)
【答案】C
【解析】要使函数有意义,需满足,解得,故函数的定义域为,故选C.
点睛:本题主要考查了具体函数的定义域问题,属于基础题;常见的定义域包括以下几种:1、分式分母不能为0;2、偶次根式下大于等于0;3、对数函数真数部分大于0;4、0的0次方无意义;5、对于,必须有等.
5. 已知全集U是实数集R.如图的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}关系,那么阴影部分所表示的集合可能为( )
A. {x|x<2} B. {x|1<x<2} C. {x|x>3} D. {x|x≤1}
【答案】D
【解析】由韦恩图得所有元素是有属于,但不属于的元素构成,即,由与,则,则,故选D.
6. 设集合A={x|x>1},B={x|x>a},且A⊆B,则实数a的取值范围为( )
A. a<1 B. a≤1 C. a>1 D. a≥1
【答案】B
【解析】∵集合,,且,∴,故选B.
7. 函数()是( )
A. 奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数,且在(0,1)上是减函数
【答案】B
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【解析】试题分析:由,所以函数为奇函数,结合对勾函数图像可知函数在(0,1)上是减函数
考点:函数奇偶性单调性
8. 已知f(x-1)=x2+6x,则f(x)的表达式是( )
A. x2+4x-5 B. x2+8x+7 C. x2+2x-3 D. x2+6x-10
【答案】B
【解析】∵,设,则,∴,故可得:,故选B.
点睛:本题主要考查了函数解析式的求法,属基础题;常见的函数解析式方法:①待定系数法,已知函数类型(如一次函数、二次函数);②换元法:已知复合函数的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;③配凑法:由已知条件,可将改写成关于的表达式;④消去法:已知与或之间的关系,通过构造方程组得解.
9. 若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3)<f(1),则必有( )
A. f(0)>f(1) B. f(-1)<f(-3)
C. f(-1)<f(1) D. f(-3)>f(-5)
【答案】B
【解析】∵在上是奇函数,∴,,又,则,即,故选B.
10. 已知函数y=f(x)定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是( )
A. B. [-1,4] C. D. [-5,5]
【答案】C
【解析】∵函数y=f(x)定义域是[−2,3],
∴由−2⩽2x−1⩽3,
解得−⩽x⩽2,
即函数的定义域为,
本题选择C选项.
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11. 已知定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的表达式为( )
A. y=-x2-2x B. y=x2+2x C. y=-x2+2x D. y=x2-2x
【答案】A
12. 偶函数f(x)在(0,+∞)上递增,若f(2)=0,则<0的解集是( )
A. (-2,0)∪(2,+∞) B. (-∞,-2)∪(0,2)
C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,0)∪(0,2)
【答案】B
【解析】∵函数为偶函数,①;∵在上递增,;∴在上递减,;所以,①式的解为,故选B.
二、填空题 (本大题共4小题,共20分)
13. 满足{1,2}⊈A⊆{1,2,3,4}的集合A的个数是 ______ .
【答案】3
【解析】∵,∴集合中除了含有1,2两个元素以外,至少必须含有另外一个元素,因此满足条件的集合为,,共3个,故答案为3.
14. 已知集合A={x|-2≤x≤3},B={y|y=x2+2},则A∩B= ______ .
【答案】
【解析】∵集合,,∴故答案为.
15. 已知函数f(x)=x5+ax3+bx-6,且f(-2)=10,则f(2)= ______ .
【答案】
【解析】,且,即,整理得,,∴,故答案为.
16. 已知函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)≤f(3a-2),则a
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的取值范围是 ______ .
【答案】
【解析】∵函数在定义域上是减函数,且,∴,解得:,故答案为.
点睛:本题着重考查了利用函数的单调性解抽象函数的不等式,属于中档题.解决此类问题的关键是充分利用函数的单调性,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即抽象不等式转化为具体不等式来解,在该题中最容易遗漏的是函数的定义域.
17. 已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|2x-1≤3}.求:(1)A∪B;(2)A∩(CUB);(3)(CUA)∪(CUB).
【答案】(1);(2);(3)
【解析】试题分析:(1)解出不等式,得到集合,根据并集的定义即可求出;(2)先求出,再根据交集的定义即可求出;(3)求出,根据并集的定义即可求.
试题解析:(1)由得,即,则
(2)由(1)知,∴
(3)又,∴
18. 已知函数.
(1)证明f(x)在(1,+∞)上是减函数;
(2)当x∈[3,5]时,求f(x)的最小值和最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)利用单调性的证题步骤:取值、作差、变形定号、下结论,即可证得;(2)根据(1)中的结果在上是减函数,即可求的最小值和最大值.
试题解析:(1)证明:设,则 == ,∵,,∴,,∴, ∵,∴,∴∴,∴在上是减函数.
(2)∵,∴在上是减函数,∴,.
19. 已知函数f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.
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(1)判断函数的奇偶性并将函数写成分段函数的形式;
(2)画出函数的图象;
(3)根据图象写出它的单调区间及值域.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】试题分析: (1)由得函数为偶函数,对分类讨论:得分段函数的解析式;(2)由分段函数分两种情况作二次函数的图象;(3)由图象可知函数的单调区间及值域.
试题解析:(1)因为函数的定义域为,关于坐标原点对称,
且,
故函数为偶函数.
(2)如图,
单调增区间为,,
单调减区间为,.
(3)值域为.
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考点:函数的图象及性质.
【易错点睛】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值时,一定要首先判断属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决.
20. 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+ax+a=0},且A∪B=A,求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析:求出集合,由得,则或或或,由此能求出的取值范围.
试题解析:∵集合,∴,且,∴,则或或或①,,故;②,由韦达定理有,无解;③,由韦达定理有,,,④,由韦达定理有,,无解,综上,的取值范围是.
点睛:本题考查了集合的运算性质、方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解本题时,通过深刻理解集合表示法的转化及集合之间的关系,把求参数问题转化为解方程之类的常见数学问题,集合、均是关于的一元二次方程的解集,特别容易出现的错误是遗漏了的情形,当时,则有或,避免出现出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和经验的积累.
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21. 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上不是单调函数;并求函数的最小值.
【答案】(1)1;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值即可;(2)求出函数的对称轴,从而求出的范围,根据二次函数的性质求出在上的最值即可.
试题解析:(1)当时,,对称轴,开口向上,在递减,在递增,最大值为,最小值为;
(2)的对称轴,若在不单调,则,即,当时,;当时,.
22. 已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求证:为定值;
(3)求+++f(1)+f(2015)+f(2016)+f(2017)的值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)0
【解析】试题分析:(1)先求出函数的定义域关于原点对称,再由,得到是偶函数;(2)推导出,由此能证明为定值;(3)由,能求出结果.
试题解析:(1)∵函数 ,∴函数 的定义域,定义域关于原点对称,又,∴是偶函数.
(2)∵,∴为定值.
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