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- 2021-06-16 发布
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3.3.3 点到直线的距离
(一)教学目标
1.知识与技能
理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线距离公式.
2.过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3.情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化,用联系的观点看问题.
(二)教学重点、难点
教学重点:点到直线的距离公式.
教学难点:点到直线距离公式的理解与应用.
(三)教学方法
学导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算?能否用两点间距离公式进行推导?
设置情境导入新课
概念形成
1.点到直线距离公式
点P (x0,y0)到直线l:Ax + By + C = 0的距离为
推导过程
方案一:
设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的坐标:由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线l的距离为d.
(1)教师提出问题
已知P (x0,y0),直线l:Ax + By + C = 0,怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢?
学生自由讨论
(2)数形结合,分析问题,提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长,即点到点的距离.
画出图形,分析任务,理清思路,解决问题. 寻找最佳方案,附方案二.
方案二:设A≠0,B≠0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R (x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S (x0,y2),
通过这种转化,培养学生“化归”的思想方法.
此方法虽思路自然,但运算较繁,下面我们探讨另一种方法.
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明,当A = 0时仍适用.
这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.
应用举例
例1 求点P = (–1,2 )到直线3x = 2的距离.
解:
例2 已知点A (1,3),B (3,1),C(–1,0),求三角形ABC的面积.
学生分析求解,老师板书
例2 解:设AB边上的高为h,则
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x + y – 4 = 0.
点C到x + y – 4 = 0的距离为h
,
因此,
通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化
2.两平行线间的距离d
已知l1:Ax + By + C1 = 0
l2:Ax + By + C2 = 0
证明:设P0 (x0,y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点,则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0 + By0 + C2 = 0
即Ax0 + By0= –C2,
∴
教师提问:
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢?
学生交流后回答.
再写出推理过程
进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例
例3 求两平行线
l1:2x + 3y – 8 = 0
l2:2x + 3y – 10 =0的距离.
解法一:在直线l1上取一点P(4,0),因为l1∥l2,所以P到l2的距离等于l1与l2的距离,于是
解法二:直接由公式
课堂练习:已知一直线被两平行线3x + 4y – 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3,且该直线过点(2,3),求该直线方程.
在教师的引导下,学生分析思路,再由学生上台板书.
开拓学生思维,培养学生解题能力.
归纳总结
小结:点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.
老师和学生共同总结——交流——完善
培养学生归纳、概括能力,构建知识网络.
课后作业
布置作业
见习案3.3的第三课时
独立完成
巩固深化
备选例题
例1 求过点M(–2,1)且与A(–1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程.
解法一:当直线斜率不存在时,直线为x = –2,它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为:y – 1 = k(x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.
由,
解得k = 0或.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
解法二:由平面几何知识:l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且,则l的方程为x + 2y = 0.
若l过AB的中点N(1,1)则直线的方程为y = 1.
所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 (1)求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0,1)对称的直线方程.
(2)两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称,求l的方程.
【解析】(1)当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时,可设直线方程为2x + 11y + C=0
由P点到两直线的距离相等,即
,所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
(2)依题可知直线l的方程为:6x + 8y + C = 0.
则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离,
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
所以d1 = d2即,所以.
即l的方程为:.
例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y – 6 = 0上,顶点A的坐标是(1,–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为,因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为,从而方程
即3x – 2y – 7 = 0
又点A(1,–2)到直线BC:2x + 3y – 6 = 0的距离为,
且.
由于点B在直线2x + 3y – 6 = 0上,可设,
且点B到直线AC的距离为
所以或,所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0
所以AC的直线方程为:3x – 2y – 7 = 0
AB的直线方程为:x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.
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