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  • 2021-06-17 发布

高中数学必修2教案:1_3_1柱体、锥体、台体的表面积与体积

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‎1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 ‎【教学目标】‎ ‎1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。‎ ‎2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。‎ ‎3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。‎ ‎【教学重难点】‎ 教学重点:运用公式解决问题 教学难点:理解计算公式的由来.‎ ‎【教学过程】‎ ‎(一)情景导入 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式?‎ 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式?‎ 那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。‎ ‎(二)展示目标 这也是我们今天要学习的主要内容:‎ ‎1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。‎ ‎2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。‎ ‎3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。‎ ‎(三)检查预习 ‎1.棱柱的侧面展开图是由 ,棱锥的侧面展开图是由 ,梭台的侧面展开图是由 ,圆柱的侧面展开图是 ,圆锥的侧面展开图是 ,圆台的侧面展开图是 。‎ ‎2.几何体的表面积是指 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、‎ ‎ 、 、 。‎ ‎3.几何体的体积是指 ,一个几何体的体积等于 。‎ ‎(四)合作探究 面积探究:‎ 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)‎ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)‎ 体积探究:‎ 讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式?‎ 五)交流展示 略 ‎(六)精讲精练 ‎1. 教学表面积计算公式的推导:‎ ‎① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)‎ ‎② 练习:1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)‎ ‎ 2. 一个三棱柱的底面是正三角形,边长为4,侧棱与底面垂直,侧棱长10,求其表面积.‎ ‎③ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)‎ 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线), S=2,S=2,其中为圆柱底面半径,为母线长。‎ 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形中心角为,S=, S=,其 中为圆锥底面半径,为母线长。‎ 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为,S=,S=. ‎ 例1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为,圆柱侧面积为S,求圆锥的侧面积。‎ 解:设圆锥的母线长为,因为圆柱的侧面积为S,圆柱的底面半径为,即,根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为,由题意得圆锥的高为,又圆柱的底面半径为,根据勾股定理,圆锥的母线长,根据圆锥的侧面积公式得 变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ 分析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为,正三棱柱的高为2,则底面等边三角形的边长为4,所以该正三棱柱的表面积为 ‎2. 教学柱锥台的体积计算公式:‎ ‎① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿子)原理,教材P30)‎ ‎② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式?‎ ‎ →给出柱体体积计算公式: (S为底面面积,h为柱体的高)→‎ ‎③ 讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系?‎ ‎④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式?‎ ‎ →给出锥体的体积计算公式: S为底面面积,h为高)‎ ‎⑤ 讨论:台体的上底面积S’,下底面积S,高h,由此如何计算切割前的锥体的高?‎ ‎ → 如何计算台体的体积?‎ ‎⑥ 给出台体的体积公式: (S,分别上、下底面积,h为高)‎ ‎ → (r、R分别为圆台上底、下底半径)‎ ‎⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?‎ 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下底相同时,台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 ‎ ‎ 讨论:侧面积公式是否也正确? 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?‎ 公式记忆:‎ 例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ 分析:由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径2,则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为,所以这个几何体的体积为 答案:A 变式训练: 如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( )‎ A.1 B. C. D.‎ 活动:让学生将三视图还原为实物图,讨论和交流该几何体的结构特征。‎ 分析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,图中所示为该三棱锥的直观图,并且侧棱则该三棱锥的高是PA,底面三角形是直角三角形,所以这个几何体的体积为 答案:D ‎(七)反馈测评 ‎1.三棱锥的中截面是,则三棱锥与三棱锥的体积之比是( )‎ A.1:2 B.1:‎4 ‎ C.1:6 D.1:8‎ 分析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为1:4,将三棱锥转化为三棱锥,这样三棱锥与三棱锥的高相等,底面积之比为1:4,于是其体积之比为1:4。‎ 答案:B ‎【板书设计】‎ 一、柱体、锥体、台体的表面积与体积 二、例题 例1‎ 变式1‎ 例2‎ 变式2‎ ‎ 【作业布置】‎ ‎ 导学案课后练习与提高 ‎1.3.1‎柱体、锥体、台体的表面积与体积 课前预习学案 一、预习目标 ‎1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。‎ ‎2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。‎ 二、预习内容 ‎1.棱柱的侧面展开图是由 ,棱锥的侧面展开图是由 ,梭台的侧面展开图是由 ,圆柱的侧面展开图是 ,圆锥的侧面展开图是 ,圆台的侧面展开图是 。‎ ‎2.几何体的表面积是指 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、‎ ‎ 、 、 。‎ ‎3.几何体的体积是指 ,一个几何体的体积等于 。‎ 三、提出疑惑 ‎1.利用斜二测画法叙述正确的是( )‎ ‎1.一个长方体的三个面的面积分别为,则这个长方体的体积为( )‎ A.6 B. C.3 D.‎ ‎2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是,则母线长为( )‎ A.2 B. C. D.8‎ ‎3.长、宽、高分别为的长方体的表面积S= 。‎ ‎4.圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为,则这个圆台的体积V= 。‎ 课内探究学案 一、学习目标 ‎1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。‎ ‎2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。‎ ‎3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。‎ 学习重点:运用公式解决问题 学习难点:理解计算公式的由来.‎ 二、学习过程 ‎(一)台体、柱体面积问题探究:‎ 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)‎ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)‎ ‎(二)台体、柱体体积探究:‎ 讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式?‎ 方法:组内讨论,自我展示.‎ ‎(二)精讲点拨、有效训练 ‎1. 教学表面积计算公式的推导:‎ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)‎ 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线), S=2,S=2,其中为圆柱底面半径,为母线长。‎ 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形中心角为,S=, S=,其 中为圆锥底面半径,为母线长。‎ 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为,S=,S=. ‎ 例1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为,圆柱侧面积为S,求圆锥的侧面积。‎ 变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 教学柱锥台的体积计算公式:‎ 给出台体的体积公式: (S,分别上、下底面积,h为高)‎ ‎ → (r、R分别为圆台上底、下底半径)‎ 探究:比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?‎ 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下底相同时,台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 ‎ ‎ 讨论:侧面积公式是否也正确? 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?‎ 公式记忆:‎ 例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ 变式训练: 如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( )‎ A.1 B. C. D.‎ 三、反思总结 S=2,S=2,其中为圆柱底面半径,为母线长。‎ S=, S=,其中为圆锥底面半径,为母线长。‎ S=,S=.‎ 四、当堂检测 ‎1.三棱锥的中截面是,则三棱锥与三棱锥的体积之比是( )‎ A.1:2 B.1:‎4 ‎ C.1:6 D.1:8‎ 课后练习与提高 ‎1.如图所示,圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的 表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为,则这个正三棱锥的体积是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.若圆柱的高扩大为原来的4倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的 倍;若圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的4倍,则圆柱的体积扩大为原来的 倍。‎ ‎5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是 。‎ ‎6.右图是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、‎ 的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?‎ 参考答案:1.C 2.D 3.B 4. 4 16 5. S/2‎ ‎6. 解:设正方体的棱长淡,则正方体的体积为 三棱锥的底面是,即为,G、F又分别为AD、AA1的中点,所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高,H又是AB的中点,所以所以锯掉的部分的体积为 又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的