高中数学第二章平面解析几何章末整合课件新人教B版选择性必修第一册 68页

章末整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一、用待定系数法求直线或圆的方程 例 1 过三点 A (1,3), B (4,2), C (1, - 7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点 , 则 |MN|= ( 　　 ) 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 答案 : C 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 例 2 若一条直线经过两条直线 x+ 3 y- 10 = 0 和 3 x-y= 0 的交点 , 且原点到它的距离为 1, 求该直线的方程 . 解 : 设过两条直线交点的直线方程为 x+ 3 y- 10 + λ (3 x-y ) = 0, 即 (1 + 3 λ ) x+ (3 - λ ) y- 10 = 0 . 因为原点到所求直线的距离为 1, 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 1 . 求直线的方程、圆的方程的方法主要有两种 : 直接法和待定系数法 , 其中待定系数法应用最广泛 , 它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程 , 然后根据题目条件确定其中的参数值 , 最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程 . 2 . 选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的 . 一般情况下 , 与截距有关的 , 可设直线的斜截式方程或截距式方程 ; 与斜率有关的 , 可设直线的斜截式或点斜式方程等 . 与圆心和半径相关时 , 常设圆的标准方程 , 其他情况下设圆的一般方程 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 1 求经过点 A ( - 2, - 4) 且与直线 l : x+ 3 y= 26 相切于点 B (8,6) 的圆 C 的一般方程 . 解 : 设圆 C 的一般方程为 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0, 因为点 A ( - 2, - 4), B (8,6) 在圆 C 上 , CB ⊥ l , 故圆 C 的一般方程为 x 2 +y 2 - 11 x+ 3 y- 30 = 0 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题二、用图示法解决圆中的最值或范围 问题 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 1 . 数形结合思想 , 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来 , 即把代数中的 “ 数 ” 与几何中的 “ 形 ” 结合起来认识问题 , 理解问题并解决问题的思维方法 . 数形结合一般包括两个方面 , 即以 “ 形 ” 助 “ 数 ”, 以 “ 数 ” 解 “ 形 ” . 2 . 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题 , 如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成 “ 形 ”, 因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 2 (1) 已知 B (3,4), 求圆 x 2 +y 2 = 4 上的点与 B 的最大距离和最小距离 . 解 : 如图所示 , 设直线 BO 与圆交于 P , Q 两点 , P' 是圆上任意一点 . 则 |BP'|+|P'O| ≥ |BO|=|OP|+|BP| , ∴ |BP'| ≥ |BP|. ∴ P 是圆上与 B 距离最近的点 . ∵ |BP'| ≤ |BO|+|OP'|=|BO|+|OQ|=|BQ| , ∴ Q 是圆上与 B 距离最远的点 . ∴ |BP|= 3, |BQ|= 7 . ∴ 圆上的点与 B 的最大距离为 7, 最小距离为 3 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (2) 已知 P ( x , y ) 为圆 x 2 +y 2 - 6 x- 4 y+ 12 = 0 上的点 . 求 x 2 +y 2 的最大值和最小值 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题三、对称问题 例 5 已知直线 l : y= 3 x+ 3, 求 : (1) 点 P (4,5) 关于 l 的对称点的坐标 ; (2) 直线 l 1 : y=x- 2 关于 l 的对称直线的方程 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 例 6 已知圆 C : x 2 +y 2 +Dx- 6 y+ 1 = 0 上有两点 P , Q 关于直线 x-y+ 4 = 0 对称 . (1) 求圆 C 的半径 ; (2) 若 OP ⊥ OQ , 其中 O 为坐标原点 , 求直线 PQ 的方程 ; (3) 直线 l :(2 m- 1) x- ( m- 1) y+ 8 m- 6 = 0 被圆 C 截得弦长最短时 , 求 m 的值 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 所以 x 1 · x 2 +y 1 · y 2 = 0 . 所以 x 1 · x 2 + ( -x 1 +b )( -x 2 +b ) = 0 . 所以 2 x 1 · x 2 -b ( x 1 +x 2 ) +b 2 = 0 . 则 b 2 - 6 b+ 1 +b (4 -b ) +b 2 = 0, 即 b 2 - 2 b+ 1 = 0, 解得 b= 1 . 经检验满足 Δ= 4(4 -b ) 2 - 4×2×( b 2 - 6 b+ 1) > 0 . 所以直线 PQ 的方程为 y=-x+ 1 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 1 . 中心对称 (1) 两点关于点对称 : 设 P 1 ( x 1 , y 1 ), P ( a , b ), 则 P 1 ( x 1 , y 1 ) 关于 P ( a , b ) 对称的点为 P 2 (2 a-x 1 ,2 b-y 1 ), 即 P 为线段 P 1 P 2 的中点 ; 特别地 , P ( x , y ) 关于原点对称的点为 P' ( -x , -y ) . (2) 两条直线关于点对称 : 设直线 l 1 , l 2 关于点 P 对称 , 这时其中一条直线上任一点关于 P 对称的点都在另外一条直线上 , 并且 l 1 ∥ l 2 , P 到 l 1 , l 2 的距离相等 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 2 . 轴对称 (1) 两点关于直线对称 : 设 P 1 , P 2 关于直线 l 对称 , 则直线 P 1 P 2 与 l 垂直 , 且 P 1 P 2 的中点在 l 上 , 解决这类问题的关键是由 “ 垂直 ” 和 “ 平分 ” 列方程 . (2) 两条直线关于直线对称 : 设 l 1 , l 2 关于直线 l 对称 . ① 当三条直线 l 1 , l 2 , l 共点时 , l 上任意一点到 l 1 , l 2 的距离相等 , 并且 l 1 , l 2 中一条直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条直线上 ; ② 当 l 1 ∥ l 2 ∥ l 时 , l 1 到 l 的距离等于 l 2 到 l 的距离 . 3 . 涉及圆的对称问题 , 主要把握住圆心 ; 涉及的计算公式 , 同直线中的计算公式 . 特别地 , 直线 f ( x , y ) = 0 关于直线 y=x+a 的对称直线方程为 f ( y-a , x+a ) = 0, 直线 f ( x , y ) = 0 关于直线 y=-x+a 的对称直线方程为 f ( a-y , a-x ) = 0, 可以很方便地求解很多对称问题 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 解析 : (1) 设两圆的圆心分别为 A , B , 因此原题可转化为在直线 y=x 上找一个点 P , 使 |PB|-|PA| 最大 , 即只需作点 B 关于直线 y=x 的对称点 B' , 显然 B' 的坐标是 (0,2), 从而可知原点即为要求的点 . 故 |PN|-|PM| 的 最 ( 2) 圆方程可化为 ( x+ 2) 2 + ( y- 4) 2 = 20 -a , 则圆心为 ( - 2,4), 且 20 -a> 0, 即 a< 20 . 又圆关于 y= 2 x+b 成轴对称 , 所以点 ( - 2,4) 在直线 y= 2 x+b 上 , 所以 b= 8, 所以 a-b< 12 . 答案 : (1)D 　 (2)( -∞ ,12) 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题四、求轨迹方程问题 例 7 已知 A (0,7), B (0, - 7), C (12,2), 以 C 为一个焦点作过 A , B 的椭圆 , 求椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程 . 分析 先根据椭圆的定义列出关系式 , 再将其坐标化即可 . 解 : ∵ |AC|= 13, |BC|= 15, |AB|= 14, 又 |AF|+|AC|=|BF|+|BC| , ∴ |AF|-|BF|=|BC|-|AC|= 2, 故点 F 的轨迹是以 A , B 为焦点 , 实轴长为 2 的双曲线的一支 . 又 c= 7, a= 1, b 2 = 48 , 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 例 8 设 A ( -c ,0), B ( c ,0)( c> 0) 为两定点 , 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a ( a> 0), 求 P 点的轨迹 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法 技巧 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 4 (1) 设 A 为圆 ( x- 1) 2 +y 2 = 1 上的动点 , PA 是圆的切线 , 且 |PA|= 1, 则 P 点的轨迹方程是 ( 　　 ) A.( x- 1) 2 +y 2 = 4 B.( x- 1) 2 +y 2 = 2 C. y 2 = 2 x D. y 2 =- 2 x 解析 : 作图可知圆心 (1,0) 到 P 点距离 为 , 所以 P 在以 (1,0) 为圆心 , 以 为半径 长的圆上 , 其轨迹方程为 ( x- 1) 2 +y 2 = 2 . 答案 : B 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (2) 过双曲线 x 2 -y 2 = 1 上一点 Q 引直线 x+y= 2 的垂线 , 垂足为 N. 求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程 . 解 : 设动点 P 的坐标为 ( x , y ), 点 Q 的坐标为 ( x 1 , y 1 ), 则点 N 的坐标为 (2 x-x 1 ,2 y-y 1 ) . 因为 点 N 在直线 x+y= 2 上 , 所以 2 x-x 1 + 2 y-y 1 = 2 . ① 又因为 PQ 垂直于直线 x+y= 2, 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题五、离心率问题 例 9 已知中心在坐标原点的双曲线 C 与抛物线 x 2 = 2 py ( p> 0) 有相同的焦点 F , 点 A 是两曲线的交点 , 且 AF ⊥ y 轴 , 则双曲线的离心率为 ( 　　 ) 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 答案 : B 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 答案 : D 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法 技巧 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 5 (1)2019 年 1 月 3 日 10 点 26 分 ( 北京时间 ),“ 嫦娥四号 ” 探测器成功着陆月球背面东经 177 . 6 度、南纬 45 . 5 度附近的预选着陆区 , 并通过 “ 鹊桥 ” 中继星传回了月背影像图 , 揭开了古老月背的神秘面纱 . 如图所示 , 假设 “ 嫦娥四号 ” 卫星沿地月转移轨道飞向月球后 , 在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行 , 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行 . 若用 e 1 和 e 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的离心率 , 则 ( 　　 ) A. e 1 >e 2 B. e 1 a 2 , c 1 >c 2 , 且 a 1 -c 1 =a 2 -c 2 . 令 a 1 -c 1 =a 2 -c 2 =t , t> 0, ∴ a 1 =t+c 1 , a 2 =t+c 2 , 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (2) 如图所示 . 根据余弦定理 |AF| 2 =|BF| 2 +|AB| 2 - 2 |AB| · |BF| cos ∠ ABF , 即 |BF| 2 - 16 |BF|+ 64 = 0, 得 |BF|= 8 . 又 |OF| 2 =|BF| 2 +|OB| 2 - 2 |OB| · |BF| cos ∠ ABF , 得 |OF|= 5 . 根据椭圆的对称性 |AF|+|BF|= 2 a= 14, 得 a= 7 . 又 |OF|=c= 5, 故离心率 e = . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (3) 由圆 x 2 +y 2 =a 2 +b 2 , 得 x 2 +y 2 =c 2 , ∴ 圆过焦点 F 1 和 F 2 . ∴∠ F 1 PF 2 = 90 ° . 又 2 ∠ PF 1 F 2 = ∠ PF 2 F 1 , ∴∠ PF 1 F 2 = 30 ° , ∠ PF 2 F 1 = 60 ° . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题六、圆锥曲线中的定点、定值、最值或探索类问题 1 . 定点问题 例 11 已知 A ( - 2,0), B (2,0), 点 C 是动点 , 且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为 - . (1) 求动点 C 的轨迹方程 ; (2) 设直线 l 与 (1) 中轨迹相切于点 P , 与直线 x= 4 相交于点 Q , 判断以 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上一定点 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1) 引进参数法 : 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 , 再研究变化的量与参数何时没有关系 , 找到定点 . (2) 特殊到一般法 : 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 , 再证明该定点与变量无关 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 6 已知抛物线 C 的顶点在原点 , 焦点在坐标轴上 , 点 A (1,2) 为抛物线 C 上一点 . (1) 求抛物线 C 的方程 ; (2) 若点 B (1, - 2) 在抛物线 C 上 , 过点 B 作抛物线 C 的两条弦 BP 与 BQ , 若 k BP · k BQ =- 2, 求证 : 直线 PQ 过定点 . (1) 解 : 若抛物线的焦点在 x 轴上 , 设抛物线方程为 y 2 =ax , 代入点 A (1,2), 可得 a= 4, 所以抛物线方程为 y 2 = 4 x. 若抛物线的焦点在 y 轴上 , 设抛物线方程为 x 2 =my , 代入点 A (1,2), 可 得 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (2) 证明 : 因为点 B (1, - 2) 在抛物线 C 上 , 所以由 (1) 可得抛物线 C 的方程是 y 2 = 4 x. 易知直线 BP , BQ 的斜率均存在 , 设直线 BP 的方程为 y+ 2 =k ( x- 1), 将直线 BP 的方程代入 y 2 = 4 x , 消去 y , 得 k 2 x 2 - (2 k 2 + 4 k+ 4) x+ ( k+ 2) 2 = 0 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 2 . 定值 问题 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 圆锥曲线中定值问题的两大解法 ① 从特殊入手 , 求出定值 , 再证明这个值与变量无关 ; ② 引起变量法 : 其解题流程为 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 7 已知直线 l 过抛物线 C : x 2 = 2 py ( p> 0) 的焦点 , 且垂直于抛物线的对称轴 , l 与抛物线两交点间的距离为 2 . (1) 求抛物线 C 的方程 ; (2) 若点 P (2,2), 过点 ( - 2,4) 的直线 m 与抛物线 C 相交于 A , B 两点 , 设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k 1 和 k 2 . 求证 : k 1 k 2 为定值 , 并求出此定值 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (1) 解 : 由题意可知 ,2 p= 2, 解得 p= 1, 则抛物线的方程为 x 2 = 2 y. (2) 证明 : 由题易知直线 m 的斜率存在 , 设直线 m 的方程为 y- 4 =k ( x+ 2), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 联立抛物线 x 2 = 2 y 与直线 y- 4 =k ( x+ 2) 的方程消去 y 得 x 2 - 2 kx- 4 k- 8 = 0, 其中 Δ= 4( k 2 + 4 k+ 8) > 0 恒成立 , 可得 x 1 +x 2 = 2 k , x 1 x 2 =- 4 k- 8, 则 k 1 k 2 =- 1 . 因此 k 1 k 2 为定值 , 且该定值为 - 1 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 3 . 最值问题 例 13 已知点 A (4, - 2), F 为抛物线 y 2 = 8 x 的焦点 , 点 M 在抛物线上移动 , 当 |MA|+|MF| 取最小值时 , 点 M 的坐标为 ( 　　 ) 解析 : 如图 , 过点 M 作抛物线的准线 l 的垂线 , 垂足为 E. 由抛物线的定义知 |MF|=|ME|. 当点 M 在抛物线上移动时 , |ME|+|MA| 的值在变化 , 显然当 M 移到 M' 时 , A , M' , E' 三点共线 , |M'E'|+|M'A| 最小 , 此时 AM' ∥ Ox. 把 y=- 2 代入 y 2 = 8 x , 得 x = 答案 : D 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 例 14 已知 F 1 , F 2 为椭圆 x 2 + = 1 的两个焦点 , AB 是过焦点 F 1 的一条动弦 , 求 △ ABF 2 面积的最大值 . 分析 △ ABF 2 的面积是由直线 AB 的斜率 k 确定的 , 因此可构建以 k 为自变量的目标函数 , 用代数的方法求函数的最大值 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 与圆锥曲线有关的最值问题 , 大都是些综合性问题 , 解法灵活 , 技巧性强 , 涉及代数、三角、几何诸方面的知识 , 这类问题的求解策略与方法如下 : (1) 平面几何法 . 平面几何法求最值问题 , 主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解 . (2) 目标函数法 . 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题 , 是常规方法 , 其关键是选取适当的变量建立目标函数 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 8 (1) 长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y 2 = 2 x 上移动 , M 为 AB 的中点 , 则 M 点到 y 轴的最短距离为 　　　　　 .   专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 答案 : 1 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 (2) 如图 , 点 P (0, - 1) 是椭圆 C 1 : ( a>b> 0) 的一个顶点 , C 1 的长轴是圆 C 2 : x 2 +y 2 = 4 的直径 , l 1 , l 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线 , 其中 l 1 交圆 C 2 于 A , B 两点 , l 2 交椭圆 C 1 于另一点 D . ① 求椭圆 C 1 的方程 ; ② 求 △ ABD 面积取最大值时直线 l 1 的方程 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 4 . 探索性问题 ( 1) 求椭圆 C 的标准方程 ; (2) 在 x 轴上是否存在一点 T , 使得当 l 变化时 , 总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称 ? 若存在 , 请求出点 T 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 方法技巧 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种 . 若探究条件 , 则可先假设条件成立 , 再验证结论是否成立 , 成立则存在 , 否则不存在 ; 若探究结论 , 则应先求出结论的表达式 , 再针对其表达式进行讨论 , 往往涉及对参数的讨论 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 变式训练 9 已知动点 P 到定点 F (1,0) 和到直线 x= 2 的距离之比 为 , 设动点 P 的轨迹为曲线 E , 过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A , B 两点 , 直线 l : y=mx+n 与曲线 E 交于 C , D 两点 , 与 AB 相交于一点 ( 交点位于线段 AB 上 , 且与 A , B 不重合 ) . (1) 求曲线 E 的方程 ; (2) 当直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 1 相切时 , 四边形 ACBD 的面积是否有最大值 ? 若有 , 求出其最大值及对应的直线 l 的方程 ; 若没有 , 请说明理由 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六