• 1.79 MB
  • 2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6节双曲线课件新人教A版

  • 41页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第 6 节 双曲线 考试要求  了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质 ( 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 ). 知 识 梳 理 1. 双曲线的定义 平面内与两个定点 F 1 , F 2 (| F 1 F 2 | = 2 c > 0) 的距离差的绝对值等于常数 ( 小于 | F 1 F 2 | 且大于零 ) 的点的轨迹叫双曲线 . 这两个 ________ 叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距 . 其数学表达式:集合 P = { M ||| MF 1 | - | MF 2 || = 2 a } , | F 1 F 2 | = 2 c ,其中 a , c 为常数且 a >0 , c >0 : (1) 若 ________ ,则集合 P 为双曲线; (2) 若 a = c ,则集合 P 为 _____________ ; (3) 若 ________ ,则集合 P 为空集 . 定点 a < c 两条射线 a > c 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图 形 性 质 范围 x ≥ a 或 x ≤ - a , y ∈ R _____________________ 对称性 对称轴: __________ ;对称中心: _______ 顶点 ___________________ A 1 (0 ,- a ) , A 2 (0 , a ) 渐近线 ____________ 离心率 e = _______ , e ∈ (1 ,+ ∞ ) 实虚轴 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴,它的长度 | A 1 A 2 | = 2 a ;线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴,它的长度 | B 1 B 2 | = 2 b ; a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长 a , b , c 的关系 c 2 = _________ x ∈ R , y ≤ - a 或 y ≥ a 坐标轴 原点 A 1 ( - a , 0) , A 2 ( a , 0) a 2 + b 2 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析   (1) 因为 || MF 1 | - | MF 2 || = 8 = | F 1 F 2 | ,表示的轨迹为两条射线 . (2) 由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部 . (3) 当 m > 0 , n > 0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线,而 m < 0 , n < 0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线 . 答案  (1) ×   (2) ×   (3) ×   (4) √   (5) √ 2. ( 老教材选修 2 - 1P62A6 改编 ) 经过点 A (3 ,- 1) ,且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ________________________________. 答案  (1)C   (2)B 规律方法  1. 利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; 2. 在 “ 焦点三角形 ” 中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合 || PF 1 | - | PF 2 || = 2 a ,运用平方的方法,建立与 | PF 1 | , | PF 2 | 的联系 . (2) 如图所示,设动圆 M 与圆 C 1 及圆 C 2 分别外切于 A 和 B . 根据两圆外切的条件, 得 | MC 1 | - | AC 1 | = | MA | , | MC 2 | - | BC 2 | = | MB | , 因为 | MA | = | MB | ,所以 | MC 1 | - | AC 1 | = | MC 2 | - | BC 2 | , 即 | MC 2 | - | MC 1 | = | BC 2 | - | AC 1 | = 2 , 所以点 M 到两定点 C 1 , C 2 的距离的差是常数且小于 | C 1 C 2 | = 6. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 ( 点 M 与 C 2 的距离大,与 C 1 的距离小 ) , 其中 a = 1 , c = 3 ,则 b 2 = 8. 考点二 双曲线的标准方程 【例 2 】 (1) ( 一题多解 )(2020· 东北三省四校联考 ) 经过点 (2 , 1) ,且渐近线与圆 x 2 + ( y - 2) 2 = 1 相切的双曲线的标准方程为 (    ) 法二  设双曲线的方程为 mx 2 - ny 2 = 1( mn >0) , 将 (2 , 1) 代入方程可得, 4 m - n = 1. ① (2) ∵ | PF 1 | , | F 1 F 2 | , | PF 2 | 成等差数列, ∴ | PF 1 | + | PF 2 | = 4 c . ∵ 点 P 位于第一象限, ∴ | PF 1 | - | PF 2 | = 2 a , ∴ | PF 1 | = 2 c + a , | PF 2 | = 2 c - a , 答案  C 答案  A (2) 如图所示,由双曲线定义可知 | AF 2 | - | AF 1 | = 2 a . 由双曲线定义可知 | BF 1 | - | BF 2 | = 2 a , 所以 | BF 1 | = 2 a + | BF 2 | ,又知 | BF 1 | = 2 a + | BA | , 所以 △ BAF 2 为等边三角形,边长为 4 a , 规律方法  1. 双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽,如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识,在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系 . 2. 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1) 若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解 . (2) 若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决 . (3) ( 角度 3)(2019· 长沙统一考试改编 ) 已知 F 1 , F 2 分别是双曲线 C : y 2 - x 2 = 1 的上、下焦点, P 是其一条渐近线上的一点,且以 F 1 F 2 为直径的圆经过点 P ,则 △ PF 1 F 2 的面积为 ________.