2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6节双曲线课件新人教A版 41页

第 6 节　双曲线 考试要求　 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质 ( 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 ). 知 识 梳 理 1. 双曲线的定义 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 (| F 1 F 2 | ＝ 2 c ＞ 0) 的距离差的绝对值等于常数 ( 小于 | F 1 F 2 | 且大于零 ) 的点的轨迹叫双曲线 . 这两个 ________ 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距 . 其数学表达式：集合 P ＝ { M ||| MF 1 | － | MF 2 || ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ， c 为常数且 a >0 ， c >0 ： (1) 若 ________ ，则集合 P 为双曲线； (2) 若 a = c ，则集合 P 为 _____________ ； (3) 若 ________ ，则集合 P 为空集 . 定点 a < c 两条射线 a > c 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图　形 性 质 范围 x ≥ a 或 x ≤ － a ， y ∈ R _____________________ 对称性 对称轴： __________ ；对称中心： _______ 顶点 ___________________ A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) 渐近线 ____________ 离心率 e ＝ _______ ， e ∈ (1 ，＋ ∞ ) 实虚轴 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴，它的长度 | A 1 A 2 | ＝ 2 a ；线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴，它的长度 | B 1 B 2 | ＝ 2 b ； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 a ， b ， c 的关系 c 2 ＝ _________ x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a 坐标轴 原点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) a 2 ＋ b 2 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析 　 (1) 因为 || MF 1 | － | MF 2 || ＝ 8 ＝ | F 1 F 2 | ，表示的轨迹为两条射线 . (2) 由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部 . (3) 当 m ＞ 0 ， n ＞ 0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m ＜ 0 ， n ＜ 0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 2. ( 老教材选修 2 － 1P62A6 改编 ) 经过点 A (3 ，－ 1) ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ________________________________. 答案　 (1)C 　 (2)B 规律方法　 1. 利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2. 在 “ 焦点三角形 ” 中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合 || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a ，运用平方的方法，建立与 | PF 1 | ， | PF 2 | 的联系 . (2) 如图所示，设动圆 M 与圆 C 1 及圆 C 2 分别外切于 A 和 B . 根据两圆外切的条件， 得 | MC 1 | － | AC 1 | ＝ | MA | ， | MC 2 | － | BC 2 | ＝ | MB | ， 因为 | MA | ＝ | MB | ，所以 | MC 1 | － | AC 1 | ＝ | MC 2 | － | BC 2 | ， 即 | MC 2 | － | MC 1 | ＝ | BC 2 | － | AC 1 | ＝ 2 ， 所以点 M 到两定点 C 1 ， C 2 的距离的差是常数且小于 | C 1 C 2 | ＝ 6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 ( 点 M 与 C 2 的距离大，与 C 1 的距离小 ) ， 其中 a ＝ 1 ， c ＝ 3 ，则 b 2 ＝ 8. 考点二　双曲线的标准方程 【例 2 】 (1) ( 一题多解 )(2020· 东北三省四校联考 ) 经过点 (2 ， 1) ，且渐近线与圆 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 相切的双曲线的标准方程为 ( 　　 ) 法二　 设双曲线的方程为 mx 2 － ny 2 ＝ 1( mn >0) ， 将 (2 ， 1) 代入方程可得， 4 m － n ＝ 1. ① (2) ∵ | PF 1 | ， | F 1 F 2 | ， | PF 2 | 成等差数列， ∴ | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 4 c . ∵ 点 P 位于第一象限， ∴ | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 a ， ∴ | PF 1 | ＝ 2 c ＋ a ， | PF 2 | ＝ 2 c － a ， 答案　 C 答案　 A (2) 如图所示，由双曲线定义可知 | AF 2 | － | AF 1 | ＝ 2 a . 由双曲线定义可知 | BF 1 | － | BF 2 | ＝ 2 a ， 所以 | BF 1 | ＝ 2 a ＋ | BF 2 | ，又知 | BF 1 | ＝ 2 a ＋ | BA | ， 所以 △ BAF 2 为等边三角形，边长为 4 a ， 规律方法　 1. 双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系 . 2. 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1) 若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解 . (2) 若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决 . (3) ( 角度 3)(2019· 长沙统一考试改编 ) 已知 F 1 ， F 2 分别是双曲线 C ： y 2 － x 2 ＝ 1 的上、下焦点， P 是其一条渐近线上的一点，且以 F 1 F 2 为直径的圆经过点 P ，则 △ PF 1 F 2 的面积为 ________.