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- 2021-06-16 发布
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第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
[常用结论与微点提醒]
1.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1;
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.
2.若点P在椭圆上,F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形,r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中;
(1)当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;
(2)S=b2tan =c|y0|,当|y0|=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin=.
5.AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则直线AB的斜率kAB=-.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.
(2)因为e===,所以e越大,则越小,椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(老教材选修2-1P49T1改编)若F1(-3,0),F2(3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是________________________.
解析 因为|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b==4,故点P的轨迹方程为+=1.
答案 +=1
3.(老教材选修2-1P49A6改编)已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.
解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,
所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±,又x>0,所以x=,∴P点坐标为(,1)或(,-1).
答案 (,1)或(,-1)
4.(2019·北京卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
解析 因为椭圆的离心率e==,所以a2=4c2.
又a2=b2+c2,所以3a2=4b2.故选B.
答案 B
5.(2020·东北三省四校调研)过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析 由题意知c2=5,可设椭圆方程为+=1(λ>0),则+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去),
∴所求椭圆的方程为+=1.
答案 A
6.(2019·浙江卷)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________.
解析 设PF的中点为M,椭圆的右焦点为F′,连接OM,MF′,则F(-2,0),F′(2,0),|OM|=2,|PF′|=2|OM|=4.
根据椭圆的定义,
得|PF|+|PF′|=6,
所以|PF|=2.
又因为|FF′|=4,
所以在Rt△MFF′中,
tan ∠MFF′===,
即直线PF的斜率是.
答案
第一课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)(2020·河北九校联考)设F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,周长为18,则椭圆C的方程为________________.
解析 (1)连接QA.
由已知得|QA|=|QP|.
所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.
又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.
(2)∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,
又知△PF1F2的面积为9,∴|PF1|·|PF2|=9,
得|PF1|·|PF2|=18.在Rt△PF1F2中,
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,
即4a2-36=4c2,∴a2-c2=9,即b2=9.
又知b>0,∴b=3,
又知△PF1F2的周长为18,∴2a+2c=18,即a+c=9,①
又知a2-c2=9,∴a-c=1,②
由①②得a=5,c=4,∴所求的椭圆方程为+=1.
答案 (1)A (2)+=1
规律方法 1.椭圆定义的应用主要有:判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a,c的关系.
【训练1】 (2019·福建四校联考)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A
是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
解析 由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.
答案 C
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )
A.+=1 B.-=1
C.-=1 D.+=1
(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)由题意得|PA|=|PB|,∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=2>|AF|=2,∴点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,且a=,c=1,∴b=,∴动点P的轨迹方程为+=1,故选D.
(2)法一 若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由题意,得解得
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
法二 设椭圆的方程为+=1(m>0,n>0,m≠n),
则由题意,知或
解得或
所以椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
答案 (1)D (2)+y2=1或+=1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有:
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与+=1共焦点的椭圆系为+=1(k0).
【训练2】 (1)(2020·亳州模拟)椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,椭圆上两动点P,Q总使PF1QF2为平行四边形,若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2,则椭圆的标准方程可能为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)(2019·岳阳调研)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为________________.
解析 (1)如图,由四边形PF1QF2周长为8,可知4a=8,所以a=2.
当P,Q为短轴端点时,四边形的面积最大,故2bc=2,即bc=.椭圆方程可以是+=1.故选C.
(2)∵椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,
∴可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
∵P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,∴又知a2=b2+c2,解得
∴所求椭圆方程为+=1.
答案 (1)C (2)+=1
考点三 椭圆的几何性质 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3-1】 (2019·泉州质检)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6b>0)上一点,以M为圆心的圆与x轴相切,切点为椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于不同的两点P,Q,若△PMQ为等边三角形,则椭圆C的离心率为________.
解析 (1)不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以焦点在x轴上,且c=2,所以a2
=4+4=8,所以a=2,所以椭圆C的离心率e==.
(2)∵圆M与x轴相切于焦点F,∴不妨设M(c,y),又知点M在椭圆上,则有+=1,解得y=±,∴圆M的半径r=,若△PMQ为等边三角形,则·=c,即b2=2ac,又知b2=a2-c2,∴(a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,又∵0b>0),如图所示,∵△PF1F2为直角三角形,∴PF1⊥F1F2,又|PF1|=|F1F2|=2c,∴|PF2|=2c,∴|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,∴椭圆E的离心率e==-1.故选A.
答案 (1)D (2)A
考点四 与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究
角度1 与椭圆定义有关的最值问题
【例4-1】 (2020·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 易知B为椭圆的一个焦点,设椭圆的另一焦点为B′,则B′(0,1),如图,连接PB′,AB′,根据椭圆的定义得|PB|+|PB′|=2a=4,所以|PB|=4-|PB′|,因此,|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB′|)=4+|PA|-|PB′|≤4+|AB′|=4+1=5,当且仅当点P在AB′的延长线上时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大值为5,故选D.
答案 D
规律方法 解决与椭圆定义有关的最值问题,注意应用|PF1|+|PF2|=2a,同时对称和转化思想是解决问题的关键.
角度2 与椭圆有界性有关的最值(范围)问题
【例4-2】 已知点A(0,2)及椭圆+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值是________.
解析 设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,∴|PA|2=x+(y0-2)2.∵+y=1,∴|PA|2=4(1-y)+(y0-2)2=-3y-4y0+8=-3+.∵-1≤y0≤1,而-1<-<1,∴当y0=-时,|PA|=,即|PA|max=.
答案
规律方法 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如-a≤x≤a,-b≤y≤b
,在求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系,同时注意应用函数思想处理最值问题.
角度3 与离心率有关的最值(范围)问题
【例4-3】 (一题多解)(2020·江西大联考)椭圆G:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上一点,且满足·=0.则椭圆离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析 法一 设点M的坐标为(x0,y0),∵·=0,F1(-c,0),F2(c,0),∴(x0+c)·(x0-c)+y=0,即x+y=c2.①
又知点M在椭圆G上,∴+=1,②
由①②联立结合a2-b2=c2解得x=,由椭圆的性质可得0≤x≤a2,即即所以c2≥b2,又知b2=a2-c2,∴c2≥a2-c2,即2c2≥a2,解得e2≥,又知03,且≥tan=,∴m≥9,
综上,m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).
(3)不妨设椭圆方程为+=1(a>1),
与直线l的方程联立
消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,
由题意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,
解得a≥,
所以e==≤,所以e的最大值为.
答案 (1)-5 (2)A (3)A
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·张家口调研)椭圆+=1的焦点坐标为( )
A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±9,0) D.(0,±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,故焦点坐标为(0,±3).
答案 B
2.(2020·兰州一中月考)若方程+=1表示椭圆,则m的取值范围是( )
A.(-3,5) B.(-5,3)
C.(-3,1)∪(1,5) D.(-5,1)∪(1,3)
解析 由方程表示椭圆知
解得-38=|C1C2|,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,
且2a=16,2c=8,
所以a=8,c=4,b==4,
故所求的轨迹方程为+=1.
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
解析 不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程+=1中,可得A点纵坐标为,故|AB|=3,所以由S=Cr得内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).
答案 D
5.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.不妨设A(0,-b),由F2(1,0),=2,得B.
由点B在椭圆上,得+=1,得a2=3,b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1.
答案 B
二、填空题
6.若椭圆+=1的离心率e=,则k的值为______.
解析 (1)若焦点在x轴上,即k+8>9>0时,a2=k+8,b2=9,e2====,解得k=4.
(2)若焦点在y轴上,即0|MF2|,|F1F2|=2c=2=8,
因为△MF1F2是等腰三角形,
|MF1|>|MF2|,且|MF1|+|MF2|=2a=12,
所以|MF1|>6,|MF2|<6,
所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.
故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上,即在圆(x+4)2+y2=64上.
因为点M在椭圆+=1上,
所以联立方程可得解得
又因为点M在第一象限,所以点M的坐标为(3,).
答案 (3,)
8.(2019·昆明诊断)椭圆+=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1,F2,有|PF1|+|PF2|=2a=10.
则m=|PF1|·|PF2|≤=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25.∴点P的坐标为(-3,0)或(3,0).
答案 (-3,0)或(3,0)
三、解答题
9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解 椭圆方程可化为+=1,m>0.
∵m-=>0,∴m>,
∴a2=m,b2=,c==.
由e=,得=,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为x2+=1,∴a=1,b=,c=.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标为F1,F2,四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1,B2.
10.(2020·福建四地七校调研)已知椭圆E:+=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.
解 (1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为,代入椭圆方程可得+=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=.
(2)由(1)得椭圆E的方程为+=1,易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2).
⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
又x1+x2=2,∴k=,∴x1x2=,
则|AB|=
==2,
∴b2=,则a2=10,
∴椭圆E的标准方程为+=1.
B级 能力提升
11.(2019·德阳诊断)设P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 ∵P为椭圆C:+=1上一点,|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14,
∴|PF1|=6,|PF2|=8,
又∵|F1F2|=2c=2=10,
∴易知△PF1F2是直角三角形,S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=24,
∵△PF1F2的重心为点G,∴S△PF1F2=3S△GPF1,
∴△GPF1的面积为8.
答案 C
12.(2020·合肥模拟)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上,且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设P(x,y),由+=1知A1(-2,0),A2(2,0),∴kPA1=,kPA2=.∴kPA1·kPA2====-.∴kPA1=-.∵kPA2∈[-2,-1],∴kPA1∈.
答案 A
13.(2020·石家庄模拟)已知椭圆+=1,其中α∈,则椭圆形状最圆时的焦距为________.
解析 因为α∈,所以tan α>0,且tan αb>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos 60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号),∴≥,即e≥.又0
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