2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节第1课时椭圆及简单几何性质课件新人教A版 42页

第 5 节　椭　圆 考试要求　 1. 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 知 识 梳 理 1. 椭圆的定义 在平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫做 _______ . 这两定点叫做椭圆的 _______ ，两焦点间的距离叫做椭圆的 _______ . 其数学表达式：集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a ， c 为常数： (1) 若 _______ ，则集合 P 为椭圆； (2) 若 _______ ，则集合 P 为线段； (3) 若 _______ ，则集合 P 为空集 . 椭圆 焦点 焦距 a ＞ c a ＝ c a ＜ c 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 － a ≤ x ≤ a － b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b － a ≤ y ≤ a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) ， B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) ， B 1 ( － b ， 0) ， B 2 ( b ， 0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长为 ______ ；短轴 B 1 B 2 的长为 ______ 焦距 | F 1 F 2 | ＝ ______ 离心率 e ＝ ∈ __________ a ， b ， c 的关系 c 2 ＝ __________ 2 a 2 b 2 c (0 ， 1) a 2 － b 2 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 点 P ( x 0 ， y 0 ) 和椭圆的位置关系 2. 若点 P 在椭圆上， F 为椭圆的一个焦点，则 (1) b ≤ | OP | ≤ a ； (2) a － c ≤ | PF | ≤ a ＋ c . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析 　 (1) 由椭圆的定义知，当该常数大于 | F 1 F 2 | 时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 | F 1 F 2 | 时，其轨迹为线段 F 1 F 2 ，常数小于 | F 1 F 2 | 时，不存在这样的图形 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 2. ( 老教材选修 2 － 1P49T1 改编 ) 若 F 1 ( － 3 ， 0) ， F 2 (3 ， 0) ，点 P 到 F 1 ， F 2 的距离之和为 10 ，则 P 点的轨迹方程是 ________________________. A. a 2 ＝ 2 b 2 B.3 a 2 ＝ 4 b 2 C. a ＝ 2 b D.3 a ＝ 4 b 答案　 B 答案　 A 解析　 设 PF 的中点为 M ，椭圆的右焦点为 F ′ ，连接 OM ， MF ′ ，则 F ( － 2 ， 0) ， F ′(2 ， 0) ， | OM | ＝ 2 ， | PF ′| ＝ 2| OM | ＝ 4. 根据椭圆的定义，得 | PF | ＋ | PF ′| ＝ 6 ，所以 | PF | ＝ 2. 又因为 | FF ′| ＝ 4 ，所以在 Rt △ MFF ′ 中， 第一课时　椭圆及简单几何性质 考点一　椭圆的定义及其应用 【例 1 】 (1) 如图，圆 O 的半径为定长 r ， A 是圆 O 内一个定点， P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是 ( 　　 ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 解析　 (1) 连接 QA . 由已知得 | QA | ＝ | QP |. 所以 | QO | ＋ | QA | ＝ | QO | ＋ | QP | ＝ | OP | ＝ r . 又因为点 A 在圆内，所以 | OA | ＜ | OP | ，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O ， A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 . (2) ∵ PF 1 ⊥ PF 2 ， ∴△ PF 1 F 2 为直角三角形， 由勾股定理得 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 由椭圆定义知 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ， ∴ (| PF 1 | ＋ | PF 2 |) 2 － 2| PF 1 || PF 2 | ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 即 4 a 2 － 36 ＝ 4 c 2 ， ∴ a 2 － c 2 ＝ 9 ，即 b 2 ＝ 9. 又知 b >0 ， ∴ b ＝ 3 ， 又知 △ PF 1 F 2 的周长为 18 ， ∴ 2 a ＋ 2 c ＝ 18 ，即 a ＋ c ＝ 9 ， ① 又知 a 2 － c 2 ＝ 9 ， ∴ a － c ＝ 1 ， ② 规律方法　 1. 椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等 . 2. 与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ，得到 a ， c 的关系 . 答案　 C 考点二　椭圆的标准方程 【例 2 】 (1) 已知 A ( － 1 ， 0) ， B 是圆 F ： x 2 － 2 x ＋ y 2 － 11 ＝ 0( F 为圆心 ) 上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P ，则动点 P 的轨迹方程为 ( 　　 ) 规律方法　 根据条件求椭圆方程的主要方法有： (1) 定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义 . (2) 待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的 a ， b . 当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) ，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出 m ， n 的值即可 . 考点三　椭圆的几何性质　 多维探究 角度 1 　椭圆的长轴、短轴、焦距 A.8 B.7 C.6 D.5 答案　 A 规律方法　 1. 椭圆的长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ，焦距为 2 c . 2. 与椭圆几何性质有关的问题要注意数形结合、分类讨论思想的应用 . 规律方法　 求椭圆离心率的方法 (1) 直接求出 a ， c 的值，利用离心率公式直接求解 . (2) 列出含有 a ， b ， c 的齐次方程 ( 或不等式 ) ，借助于 b 2 ＝ a 2 － c 2 消去 b ，转化为含有 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 考点四　与椭圆定义、性质有关的最值范围问题 多维探究 角度 1 　与椭圆定义有关的最值问题 A.2 B.3 C.4 D.5 解析　 易知 B 为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为 B ′ ，则 B ′(0 ， 1) ，如图，连接 PB ′ ， AB ′ ，根据椭圆的定义得 | PB | ＋ | PB ′| ＝ 2 a ＝ 4 ，所以 | PB | ＝ 4 － | PB ′| ，因此， | PA | ＋ | PB | ＝ | PA | ＋ (4 － | PB ′|) ＝ 4 ＋ | PA | － | PB ′| ≤ 4 ＋ | AB ′| ＝ 4 ＋ 1 ＝ 5 ，当且仅当点 P 在 AB ′ 的延长线上时，等号成立，所以 | PA | ＋ | PB | 的最大值为 5 ，故选 D. 答案　 D 规律方法　 解决与椭圆定义有关的最值问题，注意应用 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ，同时对称和转化思想是解决问题的关键 . 角度 2 　与椭圆有界性有关的最值 ( 范围 ) 问题 规律方法　 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式 . 例如－ a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤ b ，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系，同时注意应用函数思想处理最值问题 . 答案　 D 规律方法　 解决椭圆离心率的最值或范围问题，注意应用椭圆的性质建立不等关系，同时注意椭圆的离心率 e ∈ (0 ， 1).