【数学】2020届一轮复习北师大版选讲部分（理）作业 15页

‎2020届一轮复习北师大版 选讲部分 （理）作业 一、解答题 ‎1.【2018广东高三一模】在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.‎ ‎（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎2.【2018广东高三一模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，取掉绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可求得不等式的解集；（2）存在，使得成立，‎ 等价于，求得，，根据交集的定义列不等式求解即可.‎ 试题解析：（1）由题意可得，‎ 当时，，得，无解；‎ 当时，，得，即；‎ 当时，，得，‎ 综上，的解集为.‎ ‎3. 【2018山西省高三一模】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】【试题分析】(1)先将的参数方程消参变为直销坐标方程, 把代入上述方程可得到的方程,代入极坐标和直角坐标转化公式可求得的极坐标方程.(2)写出直线的极坐标方程,分别代入的极坐标方程,求得对应,结合可求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）的普通方程为，‎ 把代入上述方程得，，‎ ‎∴的方程为，‎ 令，‎ 所以的极坐标方程为；‎ ‎4. 【2018山西省高三一模】‎ 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值不小于3，求的最大值；‎ ‎（2）若的最小值为3，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 或-4‎ ‎【解析】【试题分析】(1)由,求得的取值范围和最大值.(2)对分成和三类,去绝对值,将变为分段函数,利用最小值为求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）因为，所以，解得，即；‎ ‎（2），‎ 当时，，所以不符合题意，‎ 当时，，即，‎ 所以，解得，‎ 当时，同法可知，解得，‎ 综上，或-4. #‎ ‎5. 【2018安徽芜湖高三一模】已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ 试题解析：（1）不等式可化为：①‎ 当时，①式为，解得；‎ 当时，①式为，解得；‎ 当时，①式为，无解.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）解： ‎ 令 ‎ ‎∴，要使不等式恒成立，只需，即 ‎∴实数取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎6. 【2018山西太原一模】在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：(1)先根据加减消元法得曲线的普通方程，再根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，由得，再利用韦达定理列方程解得实数的值．‎ ‎7. 【2018山西太原一模】已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)根据不等式解集化简绝对值得，解得，再根据不等式恒成立得，即得的取值范围．‎ 试题解析：‎ 解：（1）当时，，‎ ‎①时，，解得；‎ ‎②当时，，解得；‎ ‎③当时，，解得；‎ 综合①②③可知，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，当时，，从而可得，即，且，，因此．‎ ‎8. 【2018山东济南高三一模】在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：（1）由已知得：，消去得，‎ ‎∴化为一般方程为：，‎ 即：：.‎ 曲线：得，，即，整理得，‎ 即：：.‎ ‎14. 【2018河北唐山高三一模】设函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正实数，满足，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) m＝1 (2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝ ‎ 由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．‎ 所以m＝1．‎ ‎15. 【2018江西南昌高三一模】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得C的普通方程，极坐标方程为.‎ ‎（2）由题意可得，，△OMN为直角三角形，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由参数方程，得普通方程，‎ 所以极坐标方程，即.‎ ‎（2）直线与曲线的交点为，得，‎ 又直线与曲线的交点为，得，‎ 且，所以.‎ ‎16. 【2018江西南昌高三一模】已知.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 得；得；得，‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，‎ 又因为，‎ 要使原不等式恒成立，则只需，‎ 当时，无解；当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎17. 【2018辽宁抚顺高三3月模拟】已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为 ‎ 联立得……8分 又，‎ 所以 ‎18. 【2018辽宁抚顺高三3月模拟】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数，，满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）M=4（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】(I)利用绝对值三角不等式求得的最小值,再由单个绝对值的解法求得的取值范围,进而求得的值.(II)，得,对原不等式左边,乘以,转化为基本不等式来证明最小值为.‎ ‎19. 【2018四川德阳高三二诊】在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2） 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.‎ ‎【答案】（1）. .（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案； （2）由（1），，所以 ，即可得到的最大值.‎ 试题解析：（1）由题意得直线的普通方程为：，‎ 所以其极坐标方程为：.‎ 由得：，所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）由题意，，‎ 所以 ，‎ 由于，所以当时，取得最大值：.‎ ‎20. 【2018四川德阳高三二诊】已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意 或，‎ 由此可解不等式；‎ ‎（2）由于关于的不等式的解集非空，函数的最小值为-1，由此解得的范围． ‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，‎ ‎21. 【2018辽宁瓦房店高三一模】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求和的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）和交于两点，求点的一个极坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）把圆，的参数方程转化为普通方程，进而转化为极坐标方程；（2）设，则有，解得，，所以点的极坐标为 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）圆的普通方程为：，则的极坐标方程为：‎ 圆的普通方程为：，则的极坐标方程为： ‎ ‎（Ⅱ）设，则有，解得，，‎ 所以点的极坐标为。#‎ ‎22. 【2018辽宁瓦房店高三一模】选修4-5：不等式选讲 已知函数（）‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且（），求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，化为 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 综上不等式的解集是 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当且仅当时，即时，等号成立 所以，函数的最小值 所以，‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.‎ ‎23. 【2018甘肃兰州高三一模】‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆心的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，‎ 即，∴圆心直角坐标为.‎ ‎（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是 ‎ ，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.‎ 方法2：直线的普通方程为，‎ ‎∴圆心到直线距离是，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.‎ ‎24. 【2018甘肃兰州高三一模】‎ 设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 所以，所以或，‎ 解集为.‎ ‎（2），因为，∴时，恒成立，‎ 又时，当时，，∴只需即可，‎ 所以. ‎