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- 2021-06-17 发布
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四川省广安市邻水县邻水实验学校2019-2020
高一下学期第二次阶段检测数学试卷
注意:(1)全卷共22题,满分150分,考试时间120分钟;
(2)试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷, Ⅰ卷选择题均为单选题;Ⅱ卷填空题答案均应以最简形式出现,解答题必须有必要的文字说明,解答步骤和推导过程;
(3)答题卡请勿折叠,请勿污损定位标记,个人信息请清晰填写。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一.选择题(每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知α满足,则cos2α=( )
A. B. C. D.
2.若不等式ax2﹣2x+3>0的解集是(﹣3,1),则a取的值为( )
A.3 B.﹣1 C.0 D.1
3.已知数列{an} 为等差数列,且a1+a8+a15=π,则cos(a4+a12)的值为( )
A. B. C. D.
4.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于( )
A.﹣6(1﹣3﹣10) B.
C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为( )
A. B. C.或 D.或
6.可行域的面积是( )
A.3 B.9 C.18 D.36
7.已知a>0,b>0,,则a+b的最小值为( )
A. B. C.2 D.4
8.如图,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子三尺远,问折断处离地面的高?( )
A.4.55尺 B.5.45尺 C.4.2尺 D.5.8尺
9.已知函数.则f(1)+f(2)+…+f(2020)的值等于( )
A.2018 B.1009 C.1010 D.2020
10.设函数f(x)=,数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(2,3) C.,3) D.(1,2)
11.关于x的不等式sin2x+acosx﹣a2≤1+cosx对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣1,) B.[﹣1,]
C.(﹣∞,﹣1]∪[,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)
12.“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右,由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积,进而求π.当时刘微就是利用这种方法,把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间,这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限的来逼近无穷的.为此,刘微把它概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.这种方法极其重要,对后世产生了巨大影响,在欧洲,这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”,若用正二十四边形来估算圆周率π,则π的近似值是( )(精确到0.01)(参考数据sin15°≈0.2588)
A.3.05 B.3.10 C.3.11 D.3.14
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二.填空题(每小题5分,共计20分)
13.已知tan(α﹣β)=,tan(α+)=,则tan(β+)= .
14.已知△ABC是锐角三角形,若A=2B,则的取值范围是 .
15.若x+2y=1,则2x+4y的最小值是 ;
16.已知数列{an}满足a1=1,an=logn+1(n+2)(n≥2,n∈N*).定义:使乘积a1•a2•a3…ak为正整数的k(k∈N*)叫做“和谐数”,则在区间[1,2020]内所有的“和谐数”的和= .
三.解答题(17题10分,其余每小题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(1)已知,求1+sinθcosθ﹣cos2θ的值;
(2)求值:.
18.已知函数
(Ⅰ)求f(x)最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)<m+2在x∈[0,]上恒成立,求实数m的取值范围.
19.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(﹣1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.
21.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨,二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨,二级子棉2吨;每吨甲种棉纱的利润是600元,每吨乙种棉纱的利润是900元;工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨,二级子棉不超过250吨.问甲、乙两种棉纱各生产多少吨,才能使利润总额最大?并求最大利润总额.
22.已知正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn=an2+an﹣2(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值,并求{an}的通项公式;
(2)设bn=2n•an,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)设(n∈N*),试确定λ的取值范围,使得对任意n∈N*,有cn+1>cn恒成立.
数学答案
一.选择题
1.A; 2.B; 3.A; 4.C; 5.D; 6.B; 7.D; 8.A; 9.C; 10.B; 11.C; 12.C
二.填空题
13.; 14.; 15.; 16.1080
三.解答题(共6小题)
17.解:(1)∵,
∴1+sinθcosθ﹣cos2θ=
===;
(2)
=
=
===.
18.解:(I)∵函数
∴
∴
由,
即,
故f(x)的递减区间:
(II)由上恒成立,
得f(x)max<m+2,
由,有,
则
故,
则,
即,
19.解:(1)根据{an}为等差数列,d≠0.
前n项和为Sn,且S10=110,即110=10a1+45d,…①
∵a1,a2,a4成等比数列.可得:a22=a1•a4.
∴(a1+d)2=a1•(a1+3d)…②
由①②解得:,
∴数列{an}的通项公式为an=2n
(2)由bn=,即bn==.
那么:数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn=(1﹣++…+)=(1﹣)
20.解:如图所示,设缉私船追上走私船需t小时,
则有CD=,BD=10t.在△ABC中,
∵AB=﹣1,AC=2,
∠BAC=45°+75°=120°.
根据余弦定理可求得BC=.
∠CBD=90°+30°=120°.
在△BCD中,根据正弦定理可得
sin∠BCD=,
∵∠CBD=120°,∴∠BCD=30°,∠BDC=30°,
∴BD=BC=,则有
10t=,t=(小时)
所以缉私船沿北偏东60°方向,需 小时才能追上走私船.
21.解:设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨,利润总额为z元,
那么
z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域.
作直线l:600x+900y=0,即直线l:2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大,此时z=600x+900y取最大值.
解方程组,解得M的坐标为(,).
因此,当x=,y=时,z取得最大值.此时.
答:应生产甲种棉纱吨,乙种棉纱吨,能使利润总额达到最大,最大利润总额为13万元.
22.解:(1)由已知,2Sn=an2+an﹣2(n∈N*)①
得:a1=2,a2=3,a3=4,
又2Sn+1=an+12+an+1﹣2②
由②﹣①得; (an+1﹣an﹣1)(an+1+an)=0,(an>0)
即an+1﹣an=1(n≥2,n∈N*),且a2﹣a1=1.
∴数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列.
∴an=n+1.
(2)由(Ⅰ)知bn=(n+1)•2n它的前n项和为Tn,
Tn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n﹣1+(n+1)•2n①
2Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+(n+1)•2n+1 ②
①﹣②:﹣Tn=2•21+22+23+24+…+2n﹣(n+1)•2n+1
=
=﹣n•2n+1
∴Tn=n•2n+1
(3)∵an=n+1,∴cn=4n+(﹣1)n﹣1λ•2n+1,
要使cn+1>cn恒成立,
∴cn+1﹣cn=4n+1﹣4n+(﹣1)nλ•2n+2﹣(﹣1)n﹣1λ•2n+1>0恒成立
∴3•4n﹣3λ•(﹣1)n﹣12n+1>0恒成立,
∴(﹣1)n﹣1λ<2n﹣1恒成立.
(ⅰ)当n为奇数时,即λ<2n﹣1恒成立
当且仅当n=1时,2n﹣1有最小值为1,
∴λ<1.
(ⅱ)当n为偶数时,即λ>﹣2n﹣1恒成立
当且仅当n=2时,﹣2n﹣1有最大值﹣2,
∴λ>﹣2.
综上:﹣2<λ<1.