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- 2021-06-19 发布
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2019-2020学年山西省晋中市平遥县第二中学高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1.下列关于算法的说法正确的有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义;
④算法执行后一定产生明确的结果.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据算法的定义知,②③④三种说法正确.
【考点】算法的定义.
2.已知之间的一组数据如下:
0
1
2
3
4
5
1
3
5
5
7
9
则关于的回归直线必经过点( )
A.(2,2) B.(1,3) C.(2.5,5) D.(4,6)
【答案】C
【解析】由表格求出,得到样本中心点,则答案可求.
【详解】
由表格可得,,.
由线性回归直线方程必过样本中心点可得,
线性回归直线方程必过(,5).
故选:C.
【点睛】
本题考查线性回归方程,明确线性回归直线方程
必过样本中心点是关键,是基础题.
3.函数的单调减区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意先求函数的定义域,根据复合函数的单调性的判断方法,求出函数的单调减区间.
【详解】
函数f(x)的定义域为:{x|﹣5<x<1},
设g(x)=5﹣4x﹣x2,它的对称轴为:x=﹣2,
在x∈(﹣5,﹣2)上是增函数,函数y是减函数,
所以函数f(x)的单调减区间为:(﹣5,﹣2)
故选:C.
【点睛】
本题考查对数函数的定义域,复合函数的单调性,是中档题.注意同增异减,以及函数的定义域.
4.则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用对数函数的单调性可得0<log0.50.6<1,,,从而可得结论.
【详解】
∵0<log0.50.6<1,,
b<0<a<1<c
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了对数式的大小比较,一般方法是:结合对数函数的单调性,先引入“0”,区分出对数值的大小,然后再引入“1”比较指数式及值为正数的对数式与1比较大小.
5.总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48
22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11
A.23 B.21 C.35 D.32
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,于是将两个数字构成的编号依次写出,然后读取出在01,02,…,39,40编号内编号(重复的算一次),依次选取5个不重复的即可得到。
【详解】
解随机数表第1行的第6列和第7列数字为6,4
所以从这两个数字开始,由左向右依次选取两个数字如下
64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45,…
其中落在编号01,02,…,39,40内的有:16,26,24,23,21, …
故第5个编号为21.
故选B。
【点睛】
本题考查了抽样中的随机抽样法,理清本题中随机抽样的规则是解题的关键,依次写出落在规定范围内的不重复的编号,从而解决问题。
6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B. C.3 D.
【答案】B
【解析】试题分析:根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可.
解:∵,
∴
=
=,.
故选B.
【考点】极差、方差与标准差.
7.阅读如图所示的程序框图,若运行该程序框图后,输出的值为4,则输入的实数的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】模拟执行程序得程序框图的功能是计算并输出y 的值,由题意分段列出方程,即可解得x的值.
【详解】
模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出y 的值,
由于运行该程序后输出的y的值为4,可得:,或,
解得:x=0,
故选:A.
【点睛】
本题考查解决程序框图的选择结构时,关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件,属于基础题.
8.执行如图所示的程序框图,则输出的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】模拟运行过程,依次计算S,直到退出循环为止.
【详解】
由图,模拟执行程序得程序框图的功能是计算时的n的值,.
模拟程序的运行,可得
S=0,n=1,
执行循环体,S=﹣1,不满足条件S2,n=2,
执行循环体,S=1,不满足条件S2,n=3,
执行循环体, S,不满足条件S2,n=4,
执行循环体,S=2,
满足条件S2,退出循环,输出n的值为4.
故选:D.
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
9.用秦九韶算法求多项式在的值时,的值为( )
A. B.220 C. D.3392
【答案】B
【解析】,
故选B。
点睛:本题考查秦九韶算法的应用。秦九韶算法首先将多项式整理为指数幂从高到低的形式,得,由公式,,,,可以解得答案。
10.将三进制数字化为六进制数,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】先将2022(3)转化为“十进制”数,再转化为6进制数是142(6),从而可求a+b+c的值.
【详解】
“五进制”数为2022(3)转化为“十进制”数为:2×33+0×32+2×31+2=62.
将十进制数62转化为6进制数:
62÷6=10…2,
10÷6=1…4,
1÷6=0…1,
∴将十进制62化为6进制数是142(6),
则a+b+c=7,
故选:C.
【点睛】
本题考查进位制,本题解题的关键是理解进位制之间的转化原则,注意数字的运算不要出错,本题是一个基础题.
11.已知函数f(x)=,若f(x)≥1,则x的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.[1,+∞)
C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
【答案】D
【解析】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f(x)⩾1成立,
所以将原不等式转化为:或,
从而得x⩾1或x⩽−1.
本题选择D选项.
点睛:(1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑;
(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.
12.已知函数,若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是( )
A. B.(0,1) C.(0,2) D.(1,2)
【答案】B
【解析】利用数形结合和函数的单调性求出函数的值域即可得出结果.
【详解】
如图所示:
①当x≥2时,由函数f(x)单调递减可得:0<f(x)1;
②当0<x<2时,由函数f(x)=(x﹣1)3单调递增可得:﹣1<f(x)<1.
由图象可知:满足关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根的实数k的取值范围是:
k∈(0,1),
故选:B.
【点睛】
本题考查函数与方程的应用,熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键.
二、填空题
13.已知,则______
【答案】0或1.
【解析】根据两个集合相等,知两个集合的元素完全相同,再验证两个集合是否满足互异性即可.
【详解】
由题意,则A=B,∴
即a=0或a=1.
当a=0时,满足题意;
当a=1时,满足题意;
故答案为:0或1.
【点睛】
本题考查集合的元素相等的内容,解题的关键是集合的互异性要满足.
14.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5号,6-10号…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是____。若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取_____人.
【答案】37 20
【解析】
由系统抽样知识可知,将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段,且分段的间隔相等.在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.由题意,第5组抽出的号码为22,因为2+(5-1)×5=22,则第1组抽出的号码应该为2,第8组抽出的号码应该为2+(8-1)×5=37.由分层抽样知识可知,40岁以下年龄段的职工占50%,按比例应抽取40×50%=20(人).
15.已知三个数12(16),25(7),33(4),将它们按由小到大的顺序排列为_______.
【答案】
【解析】将三个数都化为十进制数.
12(16)=1×16+2=18,25(7)=2×7+5=19,33(4)=3×4+3=15,
所以33(4)<12(16)<25(7).填33(4)<12(16)<25(7)
16.在样本的频率分布直方图中共有个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积的,且样本容量为3200,则中间一组的频数为__________.
【答案】400.
【解析】根据中间一个小矩形的面积等于其余(n﹣1)个小矩形面积之和的,设出中间一个小矩形的面积是x,则其余(n﹣1)个小矩形面积之和为7x,得到中间一个的频率的值,用概率乘以样本容量得到结果.
【详解】
∵在样本的频率分布直方图中共有n个小矩形,
中间一个小矩形的面积等于其余(n﹣1)个小矩形面积之和的,
设中间一个小矩形的面积是x,则其余(n﹣1)个小矩形面积之和为7x,
∵x+7x=1,
∴x
∵样本容量为3200,
∴中间一组的频数是3200400,
故答案为:400.
【点睛】
本题考查频率分布表,考查频率分步直方图小正方形的面积等于这组数据的频率,注意小正方形的面积之间的关系不要弄混,本题是一个基础题.
三、解答题
17.(1)用辗转相除法求1995与228的最大公约数.
(2)用更相减损术求319与261的最大公约数.
【答案】(1)57;(2)29.
【解析】
(1)用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的,以此类推,当整除时,就得到要求的最大公约数.
(2)用较大的数字减较小的数字,得到差,然后再用上一式中的减数和得到差中较大的减较小的,以此类推,当减数和差相等时,可得最大公约数.
【详解】
(1)∵1995÷228=8…171
228÷171=1…57
171÷57=3
∴228与1995的最大公约数是57
(2)319﹣261=58,261﹣58=203,
203﹣58=145,145﹣58=87,87﹣58=29,58﹣29=29,
所以319与261的最大公约数是29.
【点睛】
本题考查了辗转相除法与更相减损术,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
18.画出程序框图,要求输入自变量的值,输出函数值,并写出用基本语句编写的程序.
【答案】见解析
【解析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题,我们根据题目已知中分段函数的解析式,然后根据分类标准,设置两个判断框的并设置出判断框中的条件,再由函数各段的解析式,确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作,由此即可画出流程图,再编写满足题意的程序.
【详解】
由题意得到算法如下:
第一步,输入x;
第二步,判断条件x≥0是否成立,若成立,则y=,并输出y,结束算法;
否则,执行第三步;
第三步,判断条件x≤﹣1是否成立,若成立,则计算y=﹣x,并输出y,
结束算法;
否则,计算y=2x﹣3,并输出y,结束算法.
程序框图为:
程序为如下:
【点睛】
本题考查了设计程序框图解决实际问题.主要考查编写程序解决分段函数问题.
19.为了估计某校某次数学考试的情况,现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生,其数学成绩(百分制)均在内,将这些成绩分成六组…,得到如图所示的部分频率分布直方图.
(1)求抽出的60名学生中数学成绩在内的人数;
(2)若规定成绩不小于85分为优秀,则根据频率分布直方图,估计该校参加考试的学生数学成绩为优秀的人数;
(3)试估计抽出的60名学生的数学成绩的中位数.
【答案】(1)15;(2)135;(3)76.
【解析】(1)根据频率的和等于1求出成绩在[70,80)内的频率,计算对应的频数即可;
(2)计算不小于85分的频数即可;
(3)根据中位数平分频率分布直方图的面积,求出即可.
【详解】
(1)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,频率的和等于1,
成绩在[70,80)内的频率1﹣(0.005+0.01+0.02+0.035+0.005)×10=0.25.
人数为0.25×60=15人;
(2)估计该校的优秀人数为不小于85分的频率再乘以样本总量600,即
600×(0.005)×10=135人;
(3)分数在[70,80)内的频率为0.25,
∵分数在[40,70)内的频率为:(0.005+0.010+0.020)×10=0.35<0.5,
∴中位数在(70,80]内,
∵中位数要平分直方图的面积,
∴中位数为:7076.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题,是基础题目.
20.某技校开展技能大赛,甲、乙两班各选取5名学生加工某种零件,在4个小时内每名学生加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示,已知甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21,乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数.
(1)求的值;
(2)分别求出甲、乙两班学生在4个小时内加工的合格零件数的方差和,并由此比较两班学生的加工水平的稳定性.
【答案】(1);(2),乙班学生加工水平比甲班稳定.
【解析】(1)根据题意结合平均数公式计算即可求出m,n的值;
(2)根据方差公式计算出甲乙两班的方差,然后根据方差的大小进行比较.
【详解】
(1)甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21,
即,解得m=8.
乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数,
即,又0,解得n=9.
(2)甲班的方差为,
由(1)可得,
∴乙班的方差为.
∵方差,
∴两班加工的合格零件数的平均数相同,乙班更稳定些.
【点睛】
本题主要考查茎叶图的应用,要求熟练掌握平均数和方差的定义和公式,考查学生的计算能力.
21.已知函数.
(1)判断的奇偶性与单调性;
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)奇函数,增函数;(2).
【解析】(1)运用奇偶性的定义和单调性的定义,即可判断;
(2)运用(1)的结论,f(x2﹣2x+2)+f(﹣5)<0即为f(x2﹣2x+2)<﹣f(﹣5)=f(5),得x2﹣2x+2<5,解出即可.
【详解】
(1)∵f(﹣x)f(x),∴f(x)是奇函数.
∵f(x)1,在R上任取x1,x2,且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2),
∵x1<x2,∴,,
即有f(x1)<f(x2),则f(x)在R上是增函数.
(2)由(1)得f(x)是奇函数,
且f(x)在R上是增函数.
则f(x2﹣2x+2)+f(﹣5)<0即为f(x2﹣2x+2)<﹣f(﹣5)=f(5),
得x2﹣2x+2<5,即有x2﹣2x﹣3<0,
解得﹣1<x<3,则不等式解集为(﹣1,3).
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查不等式的解法,属于中档题.
22.某公司在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度;
(2)根据频率分布直方图,估计投入4万元广告费用之后,销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入(单位:万元)
1
2
3
4
5
销售收益(单位:百万元)
2
3
2
7
表中的数据显示,与之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算关于的回归方程.
附公式:,.
【答案】(1)2;(2);(3).
【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可计算图中各小长方形的宽度;
(Ⅱ)以各组的区间中点值代表该组的取值,即可计算销售收益的平均值;
(Ⅲ)求出回归系数,即可得出结论.
【详解】
(Ⅰ)设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,故;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是,
其中点分别为,对应的频率分别为,
故可估计平均值为;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知空白栏中填5.
由题意可知,,,
,
,
根据公式,可求得,,
即回归直线的方程为.
【点睛】
本题考查回归方程,考查频率分布直方图,考查学生的读图、计算能力,属于中档题.