2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） (2) 11页

‎2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）‎ 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里）‎ ‎1．已知，，则是的（）条件．‎ ‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】解：∵，可得，设集合为，‎ 又∵，可得，设集合为，‎ 则，可得是的充分不必要条件．‎ ‎2．下列函数中，在区间上为增函数的是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：项、在上为增函数，符合题目要求．‎ 故选．‎ ‎3．将函数的图像沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵左移个单位，函数变为，‎ ‎∵是偶函数，取为，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，取，‎ - 11 -‎ 得，即一个可能取值为．‎ 故选．‎ ‎4．在二项式的展开式中，含的项的系数是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：的展开项，令，可得，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎5．将名学生分到两个班级，每班至少人，不同的方法有（）种．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：名学生中有名学生分在一个班的种数为，‎ 有名学生分在一个班有种结果，‎ ‎∴种，共有种结果．‎ 故选．‎ ‎6．右图是求样本，，，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ - 11 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：该程序的作用是求样本，，平均数，‎ ‎∵“输出”的前一步是“”，‎ ‎∴循环体的功能是累加个样本的值，应为．‎ 故选．‎ ‎7．将正整数，，，，，，随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：将正整数，，，，，，随机分成两组，使得每组至少有一个数，共有分法：种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下种，‎ ‎①，，，；，，．‎ ‎②，，，；，，．‎ ‎③，，；，，，．‎ ‎④，，,；，，．‎ ‎∴两组中各数之和相等的概率．‎ 故选．‎ - 11 -‎ ‎8．已知集合，其中，且，则中所有元素之和是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：根据集合的形式，可以把，，，看做四位二进制数，四位二进制共可以表示至，‎ ‎∵，‎ ‎∴可表示至的数字，由等差数列求和可得．‎ 故选．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）‎ ‎9．在中，若，，，__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：∵，，‎ ‎，，‎ 由正弦定理，‎ ‎∴．‎ ‎10．在等比数列中，若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设等比数列中公比为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎11．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．‎ ‎【答案】‎ - 11 -‎ ‎【解析】解：∵‎ ‎．‎ ‎12．设函数，对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：∵对任意实数，关于的方程总有实数根，‎ 即对任意实数函数的图像与直线总有交点，‎ 奇函数的值域为，‎ 在同一坐标系中画出与的图像，‎ 由图可得，当时，函数的值域为，‎ ‎∴．‎ ‎13．若，其中，则实数__________．‎ ‎__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】解：由题意的展开式的通项为，令得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ - 11 -‎ 在展开式中令得，‎ 即．‎ ‎14．设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．‎ ‎（）若，则__________．‎ ‎（）的最大值是__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】解：由题意可得，当时，如图，，‎ 如图，当取得最大值时，最大，最大值为．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分分）‎ 设的内角，，所对的边分别为，，，且，．‎ - 11 -‎ ‎（）若，求角的度数．‎ ‎（）求面积的最大值．‎ ‎【答案】（）．‎ ‎（）．‎ ‎【解析】（）∵，，‎ 由正弦定理，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立，‎ ‎，‎ ‎∴的面积的最大值为．‎ ‎16．（本小题满分分）‎ 已知函数．‎ ‎（）求函数的定义域及其单调减区间．‎ ‎（）求函数的值域．‎ ‎【答案】（）定义域为，单调递减区间为．‎ ‎（）．‎ ‎【解析】解：（）∵‎ - 11 -‎ ‎，‎ ‎∵‎ ‎，即单调递减区间为，‎ ‎∵中，，‎ 定义域为．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴．‎ ‎17．（本小题满分分）‎ 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．求：‎ ‎（）这名学生在途中遇到次红灯次数的概率．‎ ‎（）这名学生在首次停车前经过了个路口的概率．‎ ‎（）这名学生至少遇到一次红灯的概率．‎ ‎【答案】（）．（）．（）．‎ ‎【解析】解：（）设事件为在途中遇到次红灯，．‎ ‎（）设首次停车前经过个路口，为事件，‎ 说明前个交通岗都是绿灯，‎ ‎．‎ ‎（）设至少遇到一次红灯为事件，‎ - 11 -‎ 则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为，，，，，．‎ ‎（）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次,求取出的两个球编号之和为的概率．‎ ‎（）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求恰有次抽到号球的概率．‎ ‎（）若一次从袋中随机抽取个球，求球的最大编号为的概率．‎ ‎【答案】（）．（）．（）．‎ ‎【解析】解：（）设先后两次从袋中取出球的编号为，，‎ 则两次取球的编号的一切可能结果有种，‎ 其中和为的结果有，，，，，共种，‎ 则所求概率为．‎ ‎（）每次从袋中随机抽取个球，抽到编号为的球的概率，‎ ‎∴次抽取中，恰有次抽到号球的概率为．‎ ‎（）若个球中最大编号为，说明一定抽到，剩下两个在，，中任选个，‎ 所求概率，‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 设，不等式的解集记为集合．‎ ‎（）若，求的值．‎ ‎（）当时，求集合．‎ ‎（）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）依题意，当时，不等式恒成立，‎ 当时，原不等式化为，即，符合题意，‎ - 11 -‎ 当时，由（）知时，符合题意，‎ 当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 此时一定有成立，解得，‎ 综上，若，．‎ ‎20．（本小题满分分）‎ 已知每项均为正整数的数列，，，，，，其中等于的项有个，设，．‎ ‎（）设数列，，，，求，，，，．‎ ‎（）若数列满足，求函数的最小值．‎ ‎【答案】（）；；；；．‎ ‎（）．‎ ‎【解析】解：（）根据题目中定义，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（）∵，由“数列含有项”及的含义知，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 又∵设整数，‎ 当时，必有，‎ ‎∴，‎ ‎∴最小值为，‎ - 11 -‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∵．，‎ ‎∴最小值为．‎ - 11 -‎