高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-4-1-1　函数奇偶性的概念§4  函数的奇偶性与简单的幂函数   40页

§4 　函数的奇偶性与简单的幂函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.1 　函数的奇偶性 第 1 课时　函数奇偶性的概念 必备知识 · 自主学习 导思 1. 函数除了具有单调性外 , 还有其他性质吗 ? 2. 奇函数、偶函数分别有怎样的对称性 ? 　函数的奇偶性 (1) 奇偶性 : 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地 , 设函数 f(x) 的定义域是 A, 如果对任意的 x∈A, 有 -x∈A 结论 f(-x)=_____ f(-x)= ______ 图象 特点 关于 ____ 对称 关于 _____ 对称 f(x) -f(x) y 轴 原点 (2) 本质 : 奇偶性是描述函数图象对称性的性质 . (3) 应用 : 研究具有奇偶性的函数性质时 , 先研究它在非负区间上的性质 , 再利用对称性可知它在非正区间上的性质 . 【 思考 】 具有奇偶性的函数 , 其定义域有何特点 ? 　 提示 : 定义域关于原点对称 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 对于函数 y=f(x), 若存在 x, 使 f(-x)=-f(x), 则函数 y=f(x) 一定是奇函数 . ( 　　 ) (2) 若函数的定义域关于原点对称 , 则这个函数不是奇函数就是偶函数 . ( 　　 ) (3) 奇函数的图象一定过 (0,0). ( 　　 ) 提示 : (1) × . 奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意 x. (2) × . 函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数 . (3) × . 奇函数的图象不一定过原点 , 例如函数 y= . 2. 下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B.B 选项的图象关于 y 轴对称 , 是偶函数 , 其余选项都不具有奇偶性 . 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 下列函数为奇函数的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x 2 +14 【 解析 】 选 C.A 、 D 两项 , 函数均为偶函数 ,B 项中函数为非奇非偶函数 , 而 C 项中函数为奇函数 . 关键能力 · 合作学习 类型一　函数奇偶性的判断 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 函数 f(x)= 的奇偶性是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 2. 函数 f(x)= 的奇偶性是 ( 　　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 3. 函数 f(x)= 的奇偶性是 ( 　　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 【 解析 】 1. 选 D. 由 得 x 2 =1, 即 x= ± 1. 因此函数的定义域为 {-1,1}, 关于 原点对称 . 又 f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以 f(x) 既是奇函数又是偶函数 . 2. 选 A. 方法一 : 函数 f(x) 的定义域为 R, 且对任意 x∈R, 有 f(-x)= 即 f(-x)= 于是有 f(-x)=-f(x). 所以 f(x) 为奇函数 . 方法二 : 作出函数 f(x) 的图象 , 如图所示 : 因为 f(x) 的图象关于原点对称 , 故函数 f(x) 为奇函数 . 3. 选 C. 由 知 x>1, 定义域不关于原点对称 , 故 f(x) 为非奇非偶函数 . 【 解题策略 】 　判断函数奇偶性的方法 (1) 定义法 : 根据函数奇偶性的定义进行判断 . 步骤如下 : ① 判断函数 f(x) 的定义域是否关于原点对称 . 若不对称 , 则函数 f(x) 为非奇非偶函数 , 若对称 , 则进行下一步 . ② 验证 .f(-x)=-f(x) 或 f(-x)=f(x). ③ 下结论 . 若 f(-x)=-f(x), 则 f(x) 为奇函数 ; 若 f(-x)=f(x), 则 f(x) 为偶函数 ; 若 f(-x)≠-f(x), 且 f(-x)≠f(x), 则 f(x) 为非奇非偶函数 . (2) 图象法 :f(x) 是奇 ( 偶 ) 函数的等价条件是 f(x) 的图象关于原点 (y 轴 ) 对称 . 【 补偿训练 】 下列函数中是偶函数的有 　　　　 .( 填序号 )  ①f(x)=x 3 ;②f(x)=|x|+1;③f(x)= ; ④f(x)=x+ ;⑤f(x)=x 2 ,x∈[-1,2]. 【 解析 】 对于 ① ,f(-x)=-x 3 =-f(x), 则为奇函数 ; 对于 ② ,f(-x)=|-x|+1=|x|+1= f(x), 则为偶函数 ; 对于 ③ , 定义域为 {x|x≠0}, 关于原点对称 ,f(-x)= =f(x), 则为偶函数 ; 对于 ④ , 定义域为 {x|x≠0}, 关于原点对称 , f(-x)=-x- =-f(x), 则为奇函数 ; 对于 ⑤ , 定义域为 [-1,2], 不关于原点对称 , 不具有奇偶性 , 则为非奇非偶函数 . 答案 : ②③ 类型二　奇偶函数的图象问题 ( 直观想象 ) 【 典例 】 已知函数 y=f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且当 x≤0 时 ,f(x)=x 2 +2x. 现已画出函数 f(x) 在 y 轴左侧的图象 , 如图所示 . (1) 请补出完整函数 y=f(x) 的图象 . (2) 根据图象写出函数 y=f(x) 的递增区间 . (3) 根据图象写出使 y=f(x)<0 的 x 的取值范围 . 【 思路导引 】 根据偶函数的图象关于 y 轴对称 , 补全函数图象 , 增函数的图象是上升的 , 求出单调递增区间 ,f(x)<0 是指的函数图象位于 x 轴下方的部分 . 【 解析 】 (1) 由题意作出函数图象如图 : (2) 据图可知 , 单调递增区间为 (-1,0),(1,+ ∞ ). (3) 据图可知 , 使 f(x)<0 的 x 的取值范围为 (-2,0)∪(0,2). 【 解题策略 】 　巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1) 确定函数的奇偶性 . (2) 作出函数在 (0,+∞)( 或 (-∞,0)) 上对应的图象 . (3) 根据奇 ( 偶 ) 函数关于原点 (y 轴 ) 对称得出在 (-∞,0)( 或 (0,+∞)) 上对应的函数图象 . 【 跟踪训练 】 　已知奇函数 f(x) 的定义域为 [-5,5], 且在区间 [0,5] 上的图象如图所示 . (1) 画出在区间 [-5,0] 上的图象 . (2) 写出使 f(x)<0 的 x 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 因为函数 f(x) 是奇函数 , 所以 y=f(x) 在 [-5,5] 上的图象关于原点对称 . 由 y=f(x) 在 [0,5] 上的图象 , 可知它在 [-5,0] 上的图象 , 如图所示 . (2) 由图象知 , 使 f(x)<0 的 x 的取值范围为 (-2,0)∪(2,5). 类型三　利用函数奇偶性求值 ( 数学运算、逻辑推理 ) 　角度 1 　利用函数的奇偶性求参数  【 典例 】 若函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 是偶函数 , 定义域为 [a-1,2a], 则 a= 　　　　 ,b= 　　　　 .  【 思路导引 】 根据 f(x) 是偶函数 , 得到定义域关于原点对称 , 求出 a 的值 , 再根据函数图象关于 y 轴对称 , 求出 b 的值 . 【 解析 】 因为偶函数的定义域关于原点对称 , 所以 a-1=-2a, 解得 a= . 又函数 f(x)= x 2 +bx+b+1 为二次函数 , 结合偶函数图象的特点 , 易得 b=0. 答案 : 　 0 　角度 2 　利用函数的奇偶性求函数值  【 典例 】 已知 f(x)=x 7 -ax 5 +bx 3 +cx+2, 若 f(-3)=-3, 则 f(3)= 　　　　 .  【 思路导引 】 根据 f(x) 的解析式发现 f(x) 为非奇非偶函数 , 设一个新函数 g(x), 根据新函数的奇偶性求出 f(3) 的值 . 【 解析 】 令 g(x)=x 7 -ax 5 +bx 3 +cx, 则 g(x) 是奇函数 , 所以 f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2, 又 f(-3)=-3, 所以 g(3)=5. 又 f(3)=g(3)+2, 所以 f(3)=5+2=7. 答案 : 7 【 解题策略 】 　已知函数的某一个自变量值 , 求对应的函数值时 , 常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值 . 【 题组训练 】 1. 已知函数 f(x)=x 2 +(2-m)x+m 2 +12 为偶函数 , 则 m 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.3 C.2 D.1 【 解析 】 选 C. 因为函数 f(x)=x 2 +(2-m)x+m 2 +12 为偶函数 , 所以 f(x)=f(-x), 即 x 2 +(2-m)x+m 2 +12=(-x) 2 -(2-m)x+m 2 +12, 即 4-2m=0, 所以 m=2. 2. 若 f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数 , 则实数 a= 　　　　 .  【 解析 】 方法一 :f(x)=(x+a)(x-4)=x 2 +(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x 2 -(a-4)x-4a, 两式恒相等 , 则 a-4=0, 即 a=4. 方法二 :f(x)=(x+a)(x-4)=x 2 +(a-4)x-4a, 要使函数为偶函数 , 只需多项式的奇次项系数为 0, 即 a-4=0, 则 a=4. 答案 : 4 3. 已知 y=f(x) 是奇函数 , 当 x<0 时 ,f(x)=x 2 +ax, 且 f(3)=6, 则 a 的值为 　　　　 .  【 解析 】 因为 f(x) 是奇函数 , 所以 f(-3)=-f(3)=-6, 所以 (-3) 2 +a×(-3)=-6, 解得 a=5. 答案 : 5 课堂检测 · 素养达标 1. 已知 f(x) 为定义在 R 上的奇函数 , 且 f(1)=2, 下列一定在函数 f(x) 图象上的点是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1,-2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(2,1) 【 解析 】 选 B. 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且 f(1)=2, 所以 f(-1)=-2, 所以 (-1,-2) 一定在函数 f(x) 的图象上 . 2. 设 f(x) 是定义在 R 上的一个函数 , 则函数 F(x)=f(x)-f(-x) 在 R 上一定 ( 　　 ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 【 解析 】 选 A.F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x), 符合奇函数的定义 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 如图 , 给出奇函数 y=f(x) 的局部图象 , 则 f(-2)+ f(-1) 的值为 ( 　　 ) A.1 B.0 C.-2 D.2 【 解析 】 选 C. 由题图知 f(1)= ,f(2)= , 又 f(x) 为奇函数 , 所以 f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=- - =-2. 4. 奇函数 f(x) 在区间 [3,6] 上单调递增 , 在区间 [3,6] 上的最大值为 8, 最小值为 -2, 则 f(6)+f(-3) 的值为 ( 　　 ) A.10 B.-10 C.9 D.15 【 解析 】 选 A. 根据题意 , 函数 f(x) 在区间 [3,6] 上单调递增 , 在区间 [3,6] 上的最大值为 8, 最小值为 -2, 则 f(6)=8,f(3)=-2, 又由函数 f(x) 为奇函数 , 得 f(-3)= -f(3)=2, 则 f(6)+f(-3)=10. 5. 已知函数 f(x)= 是定义在 (-1,1) 上的奇函数 , 则常数 m,n 的值分 别为 　　　　 .  【 解析 】 由题意知 f(0)=0, 故得 m=0. 由 f(x) 是奇函数知 f(-x)=-f(x), 即 所以 x 2 -nx+1=x 2 +nx+1, 所以 n=0. 答案 : 0,0