2006年福建省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 8页

‎2006年福建省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设a，b，c∈R，则复数‎(a+bi)(c+di)‎为实数的充要条件是（ ）‎ A.ad-bc=0‎ B.ac-bd=0‎ C.ac+bd=0‎ D.‎ad+bc=0‎ ‎2. 在等差数列‎{an}‎中，已知a‎1‎＝‎2‎，a‎2‎‎+‎a‎3‎＝‎13‎，则a‎4‎‎+a‎5‎+‎a‎6‎等于（ ）‎ A.‎40‎ B.‎42‎ C.‎43‎ D.‎‎45‎ ‎3. 已知α∈(π‎2‎, π)‎，sinα=‎‎3‎‎5‎，则tan(α+π‎4‎)‎等于（ ）‎ A.‎1‎‎7‎ B.‎7‎ C.‎-‎‎1‎‎7‎ D.‎‎-7‎ ‎4. 已知全集U=R，且A={x||x-1|>2}‎，B={x|x‎2‎-6x+8<0}‎，则‎(‎∁‎UA)∩B等于（ ）‎ A.‎(2, 3)‎ B.‎[2, 3]‎ C.‎(2, 3]‎ D.‎‎(-2, 3]‎ ‎5. 已知正方体外接球的体积是‎32‎‎3‎π，那么正方体的棱长等于‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎2‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎6. 在一个口袋中装有‎5‎个白球和‎3‎个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出‎3‎个球，至少摸到‎2‎个黑球的概率等于（ ）‎ A.‎2‎‎7‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎3‎‎7‎ D.‎‎9‎‎28‎ ‎7. 对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）‎ A.若m⊥α，m⊥n，则n // α B.若m // α，n // α，则m // n C.若m⊂α，n // α，则m // n D.若m、n与α所成的角相等，则m // n ‎8. 函数y=log‎2‎xx-1‎(x>1)‎的反函数是（ ）‎ A.y=‎2‎x‎2‎x‎-1‎(x>0)‎ B.y=‎2‎x‎2‎x‎-1‎(x<0)‎ C.y=‎2‎x‎-1‎‎2‎x(x>0)‎ D.‎y=‎2‎x‎-1‎‎2‎x(x<0)‎ ‎9. 已知函数f(x)‎＝‎2sinωx(ω>0)‎在区间‎[-π‎3‎,π‎4‎]‎上的最小值是‎-2‎，则ω的最小值等于（ ）‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎10. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的右焦点为F，若过点F且倾斜角为‎60‎‎∘‎的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（        ）‎ A.‎(1, 2]‎ B.‎(1, 2)‎ C.‎[2, +∞)‎ D.‎‎(2, +∞)‎ ‎11. ‎|OA‎→‎|‎＝‎1‎，‎|OB‎→‎|=‎‎3‎，OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎，点C在‎∠AOB内，且‎∠AOC＝‎30‎‎∘‎，设OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎(m、n∈R)‎，则mn等于（ ）‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎ ‎12. 对于直角坐标平面内的任意两点A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，定义它们之间的一种“距离”：‎||AB||‎＝‎|x‎2‎-x‎1‎|+|y‎2‎-y‎1‎|‎．给出下列三个命题：‎ ‎①若点C在线段AB上，则‎||AC||+||CB||‎＝‎||AB||‎；‎ ‎②在‎△ABC中，若‎∠C＝‎90‎‎∘‎，则‎||AC|‎|‎‎2‎+||CB|‎‎|‎‎2‎＝‎||AB|‎‎|‎‎2‎；‎ ‎ 8 / 8‎ ‎③在‎△ABC中，‎||AC||+||CB||>||AB||‎．‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 在二项式‎(x‎2‎-‎‎1‎x‎)‎‎5‎的展开式中，含x‎4‎的项的系数是________．‎ ‎14. 已知直线x-y-1=0‎与抛物线y=ax‎2‎相切，则a=‎________．‎ ‎15. 一个均匀小正方体的‎6‎个面中，三个面上标以数‎0‎，两个面上标以数‎1‎，一个面上标以数‎2‎．将这个小正方体抛掷‎2‎次，则向上的数之积的数学期望是________．‎ ‎16. 如图，连接‎△ABC的各边中点得到一个新的‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎，又连接‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的各边中点得到‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎，如此无限继续下去，得到一系列三角形：‎△ABC，‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎，‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A(0, 0)‎，B(3, 0)‎，C(2, 2)‎，则点M的坐标是________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 已知函数f(x)=sin‎2‎x+‎3‎sinxcosx+2cos‎2‎x，x∈R．‎ ‎（1）求函数f(x)‎的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（2）函数f(x)‎的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)‎的图象经过怎样的变换得到？‎ ‎18.‎ 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2‎，AB=AD=‎‎2‎．‎ ‎(1)‎求证：AO⊥‎平面BCD；‎ ‎(2)‎求异面直线AB与CD所成角的大小；‎ ‎(3)‎求点E到平面ACD的距离．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎19. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=‎1‎‎128000‎x‎3‎-‎3‎‎80‎x+8(0=BA‎→‎‎.‎CD‎→‎‎|BA‎→‎||CD‎→‎|‎=‎‎2‎‎4‎，‎ ‎∴ 异面直线AB与CD所成角的大小为arccos‎2‎‎4‎．‎ ‎(3)‎解：设平面ACD的法向量为n‎→‎‎=(x,y,z)‎，‎ 则n‎→‎‎.AD‎→‎=(x,y,z)⋅(-1,0,-1)=0，‎n‎→‎‎.AC‎→‎=(x,y,z)⋅(0‎3‎,-1)=0，‎ ‎∴ ‎x+z=0，‎‎3‎y-z=0.‎ 令y=1‎，得n‎→‎‎=(-‎3‎,1,‎3‎)‎是平面ACD的一个法向量．‎ 又EC‎→‎‎=(-‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎,0)‎，‎ ‎∴ 点E到平面ACD的距离h=‎|EC‎→‎.n‎→‎|‎‎|n‎→‎|‎=‎3‎‎7‎=‎‎21‎‎7‎．‎ ‎19.解：‎(1)‎当x=40‎时，汽车从甲地到乙地行驶了‎100‎‎40‎‎=2.5‎小时，‎ 要耗油‎(‎1‎‎128000‎×‎40‎‎3‎-‎3‎‎80‎×40+8)×2.5=17.5‎（升）．‎ 答：当汽车以‎40‎千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油‎17.5‎升．‎ ‎(2)‎当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了‎100‎x小时，设耗油量为h(x)‎升，‎ 依题意得h(x)=(‎1‎‎128000‎x‎3‎-‎3‎‎80‎x+8)⋅‎‎100‎x ‎=‎1‎‎1280‎x‎2‎+‎800‎x-‎15‎‎4‎(00‎，h(x)‎是增函数．‎ 所以当x=80‎时，h(x)‎取到极小值h(80)=11.25‎．‎ 因为h(x)‎在‎(0, 120]‎上只有一个极小值，‎ 所以它是最小值．‎ 答：当汽车以‎80‎千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，‎ ‎ 8 / 8‎ 最少为‎11.25‎升．‎ ‎20.解：（1）∵ a‎2‎‎=2‎，b‎2‎‎=1‎，‎ ‎∴ c=1‎，F(-1, 0)‎，l:x=-2‎．‎ ‎∵ 圆过点O、F，‎ ‎∴ 圆心M在直线x=-‎‎1‎‎2‎上．‎ 设M(-‎1‎‎2‎，t)‎，则圆半径r=|(-‎1‎‎2‎)-(-2)|=‎‎3‎‎2‎．‎ 由‎|OM|=r，得‎(-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎t‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 解得t=±‎‎2‎．‎ ‎∴ 所求圆的方程为‎(x+‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+(y±‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎9‎‎4‎．‎ ‎（2）设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)‎，‎ 代入x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎，整理得‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4k‎2‎x+2k‎2‎-2=0‎．‎ ‎∵ 直线AB过椭圆的左焦点F，∴ 方程有两个不等实根．‎ 记A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，AB中点N(x‎0‎, y‎0‎)‎，‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎，x‎0‎‎=-‎‎2‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎，‎y‎0‎‎=k(x‎0‎+1)=‎k‎2k‎2‎+1‎ ‎∴ AB的垂直平分线NG的方程为y-y‎0‎=-‎1‎k(x-x‎0‎)‎．‎ 令y=0‎，得xG‎=x‎0‎+ky‎0‎=-‎2‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎+k‎2‎‎2k‎2‎+1‎=-k‎2‎‎2k‎2‎+1‎=-‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎4k‎2‎+2‎．‎ ‎∵ k≠0‎，∴ ‎-‎1‎‎2‎4‎时，f(x)‎在‎[t, t+1]‎上单调递减，h(t)=f(t)=-t‎2‎+8t．‎ 综上，‎h(t)=‎‎-t‎2‎+6t+7，t<3，‎‎16,3≤t≤4，‎‎-t‎2‎+8t，t>4.‎ ‎(2)‎函数y=f(x)‎的图象与y=g(x)‎的图象有且只有三个不同的交点，即函数m(x)=g(x)-f(x)‎的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．‎ ‎∵ m(x)=x‎2‎-8x+6lnx+m，‎ ‎∴ m‎'‎‎(x)=2x-8+‎6‎x=‎2x‎2‎-8x+6‎x=‎2(x-1)(x-3)‎x(x>0)‎.‎ 当x∈(0, 1)‎时，m‎'‎‎(x)>0‎，m(x)‎是增函数；‎ 当x∈(1, 3)‎时，m‎'‎‎(x)<0‎，m(x)‎是减函数；‎ 当x∈(3, +∞)‎时，m‎'‎‎(x)>0‎，m(x)‎是增函数；‎ 当x=1‎或x=3‎时，m‎'‎‎(x)=0‎，‎ ‎∴ m(x‎)‎最大值=m(1)=m-7‎，m(x‎)‎最小值=m(3)=m+6ln3-15‎．‎ ‎∵ 当x充分接近‎0‎时，m(x)<0‎，当x充分大时，m(x)>0‎，‎ ‎∴ 要使m(x)‎的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，‎ ‎ 8 / 8‎ 须有m(x‎)‎最大值=m-7>0，‎m(x‎)‎最小值=m+6ln3-15<0，‎ 即‎7n‎2‎-‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴ n‎2‎‎-‎1‎‎3‎