2020高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2 3页

1 函数的概念 一、考点突破 1. 理解函数的概念，了解函数构成的要素； 2. 会求一些简单函数的定义域，函数值，知道两函数相等的条件。 二、重难点提示 重点：函数的三要素：定义域、值域和对应关系； 难点：一些简单函数的定义域的求法。 1. 函数的定义 设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有惟一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记做 y＝f（x），x∈A。 2. 函数的定义域、值域 在函数 y＝f（x），x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是 集合 B 的子集。两个函数的定义域和对应法则完全一致时，则认为两个函数相等。 3. 常见函数定义域的求法 （1）分式函数中分母不等于零。 （2）偶次根式函数被开方式大于或等于 0。 （3）一次函数、二次函数的定义域为 R。 【重要提示】在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点。 4. 函数解析式的求法 求函数解析式的常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法。 例题 1 有以下判断： ①f（x）＝ |x| x 与 g（x）＝ 表示同一函数； ②函数 y＝f（x）的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个； ③f（x）＝x2－2x＋1 与 g（t）＝t2－2t＋1 是同一函数； ④若 f（x）＝|x－1|－|x|，则 ＝0； 其中正确判断的序号是________。 思路分析：对于（1），由于函数 f（x）＝ |x| x 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，而函数 g （x）＝ 的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于（2），若 x＝1 不是 y＝f    <− ≥ 0,1 0,1 x x ))2 1(( ff    <− ≥ 0,1 0,1 x x 2 （x）定义域的值，则直线 x＝1 与 y＝f（x）的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f（x）定义 域内的值，由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f（x）的图象只有一个交点，即 y＝f（x）的 图象与直线 x＝1 最多有一个交点；对于（3），f（x）与 g（t）的定义域、值域和对应关系 均相同，所以 f（x）和 g（t）表示同一函数；对于（4），由于 ＝|1 2－1 |－|1 2 |＝ 0，所以 ＝f（0）＝1。 综上可知，正确的判断是（2）（3）。 答案：（2）（3） 例题 2 给出下列两个条件： （1）f（ x＋1）＝x＋2 x； （2）f（x）为二次函数，且 f（0）＝3，f（x＋2）－f（x）＝4x＋2，请试着分别求 出 f（x）的解析式。 思路分析：（1）将 x +1 当作一个整体，利用换元法设其为 t，求出 f(t)关于 t 的函 数关系式，就是 f(x)的解析式。 （2）设二次函数 f（x）＝ax2＋bx＋c，先求出 c，再代入到 f(x+2)-f(x)=4x+2 中，根 据一次项系数与常数项分别相等，列出关于 a,b 的方程即可分别求出 a,b. 答案：解：（1）令 t＝ x＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2， 则 f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1， ∴f（x）＝x2－1（x≥1）； （2）设 f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0），又 f（0）＝c＝3， ∴f（x）＝ax2＋bx＋3， ∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋3）＝4ax＋4a＋2b＝ 4x＋2， ∴Error!，∴Error!， ∴f（x）＝x2－x＋3。 【方法提炼】 1. 函数三要素 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这三要素不是独立的，值域可由定义域和对 应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同时，函数才是同一函数。 特别值得说明的是，对应关系是就结果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只 要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是 否相同），而不是指形式上的，即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解 析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断。 2. 函数定义域的求解方法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不 等式组，然后求出它们的解集。 复合函数求定义域的方法 （1）若 的定义域为 ，求出 中 的解 的范围，即 )2 1(f ))2 1(( ff )(xf ( )bax ,∈ )]([ xgf bxga << )( x 3 为 的定义域； （2）若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为 的 定义域。 （3）若 的定义域为 ，求 的定义域，可先由 定义域 求得 的定义域，再由 的定义域求 的定义域。 【满分训练】 求下列函数的定义域： （1）已知函数 ，求函数 f（x）的定义域； （2）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域； （3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域； （4）函数 定义域是 ，求 的定义域。 思路分析：（1）要使该函数有意义，应满足 ，即 ， ∴函数的定义域为 ； （2） 的定义域为 ， ， ， 故函数 的定义域为 ； （3）由 ，得 ； 令 ，则 ， ， 故 的定义域为 ； （4）先求 的定义域 的定义域是 ， ， ， 即 的定义域是 ，再求 的定义域为 ， ， ∴ 的定义域是 。 总结：已知 f（x）的定义域是[a，b]，求 f[g（x）]的定义域，是指求满足 a≤g（x） ≤b 的 x 的取值范围，而已知 f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是 x∈[a，b]。 3. 函数解析式的求法 （1）配凑法：由已知条件 f（g（x））＝F（x），可将 F（x）改写成关于 g（x）的表达 式，然后以 x 替代 g（x），便得到 f（x）的解析式； （2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法； （3）换元法：已知复合函数 f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取 值范围； （4）消去法：已知关于 f（x）与 或 f（-x）的表达式，可根据已知条件再构造 出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f（x）。 )]([ xgf ( )][ xgf ( )bax ,∈ bxa << )(xg )(xf )]([ xgf ( )bax ,∈ )]([ xhf ( )][ xgf ( )xf )(xf ))(( xhf ( ) ( )01xf x x x += − ( )f x [ ]15− ， (3 5)f x − 2( 2 2)f x x− + [ ]0 3， ( )f x ( )1y f x= + [ ]2,3− ( )2 1y f x= − 1 0 0 x x x + ≠ − > 1 0 x x ≠ −  < ( ) ( ), 1 1,0−∞ − ∪ − ( )f x [ ]15− ， 1 3 5 5x∴− −≤ ≤ 4 10 3 3x∴ ≤ ≤ (3 5)f x − 4 10 3 3     ， 0 3x≤ ≤ 21 2 2 5x x− +≤ ≤ 2 2 2u x x= − + 2( 2 2) ( )f x x f u− + = 1 5u≤ ≤ ( )f x [ ]15， ( )f x ( )1f x + [ ]2,3− 2 3x∴− ≤ ≤ 1 +1 4x∴− ≤ ≤ ( )f x [ ]1,4− ( )f h x   1 2 1 4x− ≤ − ≤ 50 2x∴ ≤ ≤ ( )2 1f x − 50, 2      )1( xf