2020高中数学 课时分层作业6 三角形中的几何计算 新人教A版必修5 5页

课时分层作业(六)　三角形中的几何计算 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)‎ A．60°或120°　　　　　 B．120°‎ C．60° D．30°‎ C　[S△ABC＝·BC·CA·sin C＝3，‎ ‎∴sin C＝，∵C∈(0°，90°)，‎ ‎∴C＝60°.]‎ ‎2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为(　　) 【导学号：91432083】‎ A．45° B．60°‎ C．120° D．150°‎ A　[4S＝b2＋c2－a2＝2bccos A，‎ ‎∴4·bcsin A＝2bccos A，∴tan A＝1，‎ 又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.]‎ ‎3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)‎ A．40 B．20 C．40 D．20 A　[设另两边长为8x,5x，‎ 则cos 60°＝＝，‎ 解得x＝2.两边长是16与10，‎ 三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.]‎ ‎4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　　)‎ ‎【导学号：91432084】‎ A. B. C. D．3 - 5 -‎ A　[面积S＝＝bcsin A＝·1·c·，∴c＝4，‎ ‎∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2·1·4·＝13，‎ ‎∴＝＝.]‎ ‎5．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　)‎ A．8 B．16‎ C．18 D．32‎ B　[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65，‎ 即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65， ①‎ 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17， ②‎ 又cos A＋cos B＝0.‎ ‎①＋②得AB2＋AD2＝41，‎ 又AB＋AD＝9，‎ ‎∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5.‎ ‎∴cos A＝，‎ A∈，∴sin A＝，‎ ‎∴这个平行四边形的面积S＝5·4·＝16.]‎ 二、填空题 ‎6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________. ‎ ‎【导学号：91432085】‎ 　[画出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝.]‎ ‎7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为________．‎ ‎49　[由bcsin A＝220得c＝55，‎ 又a2＝b2＋c2－2bccos A＝2 401，‎ 所以a＝49.]‎ ‎8．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，则△ABC的面积为________. ‎ ‎【导学号：91432086】‎ 　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，‎ - 5 -‎ 即49＝a2＋25－2×5×acos 120°，‎ 整理得a2＋‎5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)，‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝×3×5sin 120°＝.]‎ 三、解答题 ‎9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin‎2C，求证：a2＋b2＝‎5c2.‎ ‎[证明]　由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin‎2C，‎ ‎∴(1－sin‎2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin‎2C，‎ ‎∴1－sin‎2A－sin2B＝1－5sin‎2C，‎ ‎∴sin‎2A＋sin2B＝5sin‎2C.‎ 由正弦定理得，所以2＋2＝52，‎ 即a2＋b2＝‎5c2.‎ ‎10．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.‎ ‎(1)求C和BD；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积. ‎ ‎【导学号：91432087】‎ ‎[解]　(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C， ①‎ BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C． ②‎ 由①，②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.‎ ‎(2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C ‎＝·sin 60°＝2.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．已知锐角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．4 D．－4‎ A　[由题意S△ABC＝||||sin A＝，‎ 得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，‎ - 5 -‎ ‎∴cos A＝，∴·＝||||cos A＝2.]‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)‎ ‎ 【导学号：91432088】‎ A. B. C. D. A　[由正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin C·sin Bcos A＝sin B，又因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，所以sin(A＋C)＝sin B＝.因为a>b，所以B＝.]‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为________．‎ 　[由正弦定理得1＋·＝，‎ 即＝，‎ ‎∴cos A＝，A∈，A＝，sin A＝，‎ 由＝得sin C＝，‎ 又c0，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsin A＝.‎ 法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝.‎ 又由a>b，知A>B，所以cos B＝.‎ 故sin C＝sin(A＋B)＝sin ‎＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.‎ 所以△ABC的面积为absin C＝.‎ - 5 -‎