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- 2021-06-19 发布
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4.2 实际问题的函数建模
[A 基础达标]
1.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套
C.4 000套 D.5 000套
解析:选D.因为利润 =12x-(6x+30 000),
所以 =6x-30 000,由 ≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
2.马先生于两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为1 000元,设这种手机每年降价20 ,那么两年前这部手机的价格为( )
A.1 535.5元 B.1 440元
C.1 620元 D.1 562.5元
解析:选D.设这部手机两年前的价格为a,则有a(1-0.2)2=1 000,解得a=1 562.5元.
3.国家规定出版印刷行业税收如下:年收入在280万元及以下的税率为p ,超过280万元的部分按(p+2) 征税,有一公司的实际缴税比率为(p+0.25) ,则该公司的年收入是( )
A.560万元
B.420万元
C.350万元
D.320万元
解析:选D.由题意可知该公司年收入大于280万元,设为x万元.
=(p+0.25) ,解得x=320.
4.某企业产值连续三年持续增长,这三年年增长率分别为P1、P2、P3,则这三年的年平均增长率为( )
A.(P1+P2+P3)
B.
C.-1
D.1+(P1+P2+P3)
解析:选C.设这三年的年平均增长率为x,企业产值的基数为a,则a(1+x)3=a(1+P1)(1+P2)(1+P3).所以x=-1.
5.某生产厂家生产某种产品的总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( )
A.52 B.52.5
C.53 D.52或53
解析:选D.因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),
所以f(x)=105x-x2=-+,
所以x=52或53时,f(x)有最大值.
6.工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y=a·0.5x+b,
4
现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份该产品的产量为________万件.
解析:由题意有
解得所以y=-2×0.5x+2,所以当x=3时,y=-2×0.53+2=1.75,即3月份此厂的产量为1.75万件.
答案:1.75
7.有一段长为40 m的篱笆,如果利用已有的一面墙作为一边,围成一块矩形的菜地,已知墙的长度为16 m,当菜地的长宽各为________时,菜地的面积最大.
解析:设矩形与墙所对的边为x m,则其邻边为 m,且0≤x≤16,
所以面积S=x×=-(x2-40x)
=-(x-20)2+200,
因为0≤x≤16,所以x=16时,菜地面积最大.
即矩形的长为16 m,宽为12 m时,菜地面积最大.
答案:16 m,12 m
8.一个旅社有100间客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现了这样一个规律:如果客房定价为每天每间160元时,入住率为55 ;每间定价为140元时,入住率为65 ;每间定价为120元时,入住率为75 ;每间定价为100元时,入住率为85 .要使每天收入达到最高,每间每天应定价为________.
解析:每间每天定价为160元时,收入为
160×100×55 =8 800元;
每间每天定价为140元时,收入为140×100×65 =9 100元;
每间每天定价为120元时,收入为120×100×75 =9 000元;
每间每天定价为100元时,收入为100×100×85 =8 500元;
所以当每间每天定价为140元时,收入最高.
答案:140元
9.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为y cm,椅子的高度为x cm,则y应是x的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围);
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌,它们是否配套?为什么?
解:(1)根据题意,课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设函数解析式为y= x+b( ≠0).将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,
得所以
4
所以y与x的函数解析式是y=1.6x+11.
(2)把x=42代入(1)中所求的函数解析式中,有y=1.6×42+11=78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的.
10.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级;
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?
解:(1)当声强为10-6W/m2时,由公式Y=10lg得Y=10lg=10lg 106=60(分贝).
(2)当Y=0时,由公式Y=10lg得
10lg=0,
所以=1,即I=10-12 W/m2,则最低声强为10-12 W/m2.
(3)当声强为5×10-7 W/m2时,声强级为
Y=10lg=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),
因为50+10lg 5>50,所以这两位同学会影响其他同学休息.
[B 能力提升]
1.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表:
表1 市场供给表
单价(元/ g)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供给量(1 000 g)
50
60
70
75
80
90
表2 市场需求表
单价(元/ g)
4
3.4
2.9
2.6
2.4
2
需求量(1 000 g)
50
60
65
70
75
80
根据上面提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内( )
A.(2.3,2.4) B.(2.4,2.6)
C.(2.6,2.8) D.(2.8,2.9)
解析:选C.当供给量与需求量均为70时,供给单价和需求单价相差最小为0.2,其他的均大于0.2,所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡,故选C.
2.某企业生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为________.
解析:设去年年末生产总值为a,则今年年末生产总值为a(1+p)12,所以年平均增长率为=(1+p)12-1.
答案:(1+p)12-1
3.某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势,中期价格开始下跌,后期价格在原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+7;③f(x)=logq(x+p),其中p,
4
q均为常数且q>1.(注:x表示上市时间,f(x)表示价格,记x=0表示4月1号,x=1表示5月1号,…,以此类推,x∈[0,5])
(1)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化态势,请你选择,并简要说明理由;
(2)对(1)中所选的函数f(x),若f(2)=11,f(3)=10,记g(x)=,经过多年的统计发现,当函数g(x)取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号?
解:(1)据题意,该种水果的价格变化趋势是先增加后减少,基本符合开口向下的二次函数的变化趋势,故应该选择②f(x)=px2+qx+7.
(2)由f(2)=11,f(3)=10,
解得f(x)=-x2+4x+7.
g(x)===-.
所以g(x)=-,此函数在[0,2]上是增加的,在[2,5]上是减少的,
所以当x=2时,g(x)最大.
所以明年拓展外销市场的时间应为6月1号.
4.(选做题)某公司对营销人员有如下规定:①年销售额x(万元)在8万元以下,没有奖金;②年销售额x(万元),x∈[8,64]时,奖金为y万元,且y=logax,y∈[3, 6],且年销售额越大,奖金越多;③年销售额x(万元)超过64万元,按年销售额的10 发奖金.
(1)求奖金y关于x的函数解析式;
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元),求年销售额x在什么范围内.
解:(1)依题意知y=logax在x∈[8,64]上为增函数,
由题意得所以a=2,
所以y=
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时,要使y∈[4,10],
则4≤log2x≤10,所以16≤x≤1 024,所以16≤x≤64.
当x>64时,要使y∈[4,10],
则x∈[4,10],即40≤x≤100,
所以64<x≤100.
综上,当年销售额x在[16,100](万元)内时,年奖金y∈[4,10](万元).
4
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