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- 2021-06-19 发布
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课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性]
[时间：35分钟 分值：80分]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
2．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为( )
A．2 B．－1 C．－ D．1
3．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)f(1)
4． 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B. C. D．1
5．已知f(x)＝则f(x)为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．不能确定奇偶性
6． 设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝( )
A．10 B. C．－10 D．－
7． 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为( )
A.∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.
8．若x∈R，n∈N＋，规定：H＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如：H＝(－3)·(－2)·(－1)＝－6，则函数f(x)＝x·H( )
A．是奇函数不是偶函数
B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
9． 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
10． 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则不等式f(x2－3x＋2)>f(6)成立的x的取值范围是________．
11．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；
②对∀x∈R，f＝f成立；
③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋2)，
则f(2012)＝________.
12．(13分)已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
13．(12分)对任意实数x，给定区间(k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．
(1)当x∈时，求出函数f(x)的解析式；
(2)当x∈(k∈Z)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；
(3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
课时作业(六)A
【基础热身】
1．B [解析] ∵函数f(x)＝ax2＋bx在[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝.∴a＋b＝.
2．D [解析] f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.
3．D [解析] 函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)0，∴f＝2－＋1＝x2＋x＋1＝－f.若x>0，则－x<0，
∴f＝－2－－1＝－x2＋x－1＝－f.∴f为奇函数．
6．B [解析] 由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)＝f＝f，又f(x)为偶函数，则f＝f＝－＝－＝.
7．A [解析] 作出函数f(x)图象的示意图如图，则原不等式等价于log2x＞或log2x<－，解得x>或00，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－2x2－x(x>0)，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
10．(－1,4) [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此不等式f(x2－3x＋2)>f(6)⇔f(|x2－3x＋2|)>f(6)，所以|x2－3x＋2|<6，所以－10，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(图略)知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
【难点突破】
13．[解答] (1)当x∈时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f(x)＝|x|，x∈.
(2)当x∈(k∈Z)时，k为给定区间内的整数，故f(x)＝|x－k|，x∈(k∈Z)．
(3)对任意x∈R，函数f(x)都存在，且存在k∈Z，满足k－≤x≤k＋，f(x)＝|x－k|，由k－≤x≤k＋，得－k－≤－x≤－k＋，此时－k是区间内的整数，因此f(－x)＝|－x－(－k)|＝|－x＋k|＝|x－k|＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
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