高科数学专题复习课件：6_2　等差数列及其前n项和 67页

§6.2 　等差数列及其前 n 项和 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 一般地，如果一个 数列 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的 ， 通常用 字母 表示 . 1. 等差数列的定义 知识梳理 如果等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，那么它的通项公式 是 . 2. 等差数列的通项公式 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同 一 个 常数 公差 d a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d 由三个数 a ， A ， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 . 这时， A 叫做 a 与 b 的 . 3. 等差中项 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m ＋ ( n ， m ∈ N * ). (2) 若 { a n } 为等差数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ， 则 . (3) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 { a 2 n } 也是等差数列，公差 为 . 4. 等差数列的常用性质 等差中项 ( n － m ) d a k ＋ a l ＝ a m ＋ a n 2 d (4) 若 { a n } ， { b n } 是等差数列，则 { pa n ＋ qb n } 也是等差数列 . (5) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 a k ， a k ＋ m ， a k ＋ 2 m ， … ( k ， m ∈ N * ) 是公差 为 的 等差数列 . (6) 数列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 构成等差数列 . 5. 等差数列的前 n 项和公式 md na 1 ＋ 6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 7. 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 { a n } 中， a 1 >0 ， d <0 ，则 S n 存在 最 值 ；若 a 1 <0 ， d >0 ，则 S n 存在 最 值 . 大 小 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法： a n ＋ 1 － a n ＝ d ( d 是常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (2) 等差中项法： 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (3) 通项公式： a n ＝ pn ＋ q ( p ， q 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (4) 前 n 项和公式： S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 . ( 　　 ) (2) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的 . ( 　　 ) (3) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 . ( 　　 ) (4) 已知等差数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 3 － 2 n ，则它的公差为－ 2 . ( 　　 ) 思考辨析 × √ √ × 1. 在等差数列 { a n } 中，若 a 2 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ，则 a 6 等于 A. － 1 B.0 C.1 D.6 考点自测 答案 解析 由等差数列的性质，得 a 6 ＝ 2 a 4 － a 2 ＝ 2 × 2 － 4 ＝ 0 ，故选 B. 2.( 教材改编 ) 设数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ，若 a 6 ＝ 2 且 S 5 ＝ 30 ，则 S 8 等于 A.31 B.32 C.33 D.34 答案 解析 3.(2016· 全国乙卷 ) 已知等差数列 { a n } 前 9 项的和为 27 ， a 10 ＝ 8 ，则 a 100 等于 A.100 B.99 C.98 D.97 答案 解析 ∴ a 100 ＝ a 10 ＋ 90 d ＝ 98 ，故选 C. 4. 设数列 { a n } 是等差数列，若 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 12 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 等于 A.14 B.21 C.28 D.35 答案 解析 ∵ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 3 a 4 ＝ 12 ， ∴ a 4 ＝ 4 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ＝ 7 a 4 ＝ 28. 5. 若等差数列 { a n } 满足 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 >0 ， a 7 ＋ a 10 <0 ，则当 n ＝ _____ 时， { a n } 的前 n 项和最大 . 答案 解析 8 因为数列 { a n } 是等差数列，且 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 3 a 8 ＞ 0 ，所以 a 8 ＞ 0 . 又 a 7 ＋ a 10 ＝ a 8 ＋ a 9 ＜ 0 ，所以 a 9 ＜ 0 . 故 当 n ＝ 8 时，其前 n 项和最大 . 题型分类　深度剖析 题型一　等差数列基本量的运算 例 1 　 (1) 在数列 { a n } 中，若 a 1 ＝－ 2 ，且对任意的 n ∈ N * 有 2 a n ＋ 1 ＝ 1 ＋ 2 a n ，则数列 { a n } 前 10 项的和 为 答案 解析 (2)(2016· 北京 ) 已知 { a n } 为等差数列， S n 为其前 n 项和 . 若 a 1 ＝ 6 ， a 3 ＋ a 5 ＝ 0 ，则 S 6 ＝ ________. 答案 解析 6 ∵ a 3 ＋ a 5 ＝ 2 a 4 ＝ 0 ， ∴ a 4 ＝ 0. 又 a 1 ＝ 6 ， ∴ a 4 ＝ a 1 ＋ 3 d ＝ 0 ， ∴ d ＝－ 2. 思维 升华 等差数列运算问题的通性通法 (1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a 1 和公差 d ，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解 . ( 2) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ， S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 . 跟踪训练 1 　 (1) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 2 ＝ 3 ， a 6 ＝ 11 ，则 S 7 等于 A.13 B.35 C.49 D.63 答案 解析 ∵ a 1 ＋ a 7 ＝ a 2 ＋ a 6 ＝ 3 ＋ 11 ＝ 14 ， (2)(2016· 江苏 ) 已知 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项和 . 若 a 1 ＋ ＝－ 3 ， S 5 ＝ 10 ，则 a 9 的值是 ________. 答案 解析 20 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，由题意可得 则 a 9 ＝ a 1 ＋ 8 d ＝－ 4 ＋ 8 × 3 ＝ 20. 题型二　等差数列的判定与证明 证明 (2) 求数列 { a n } 中的最大项和最小项，并说明理由 . 解答 所以当 n ＝ 3 时， a n 取得最小值－ 1 ，当 n ＝ 4 时， a n 取得最大值 3. 引申 探究 解 答 思维 升华 等差数列的四个判定方法 (1) 定义法：证明对任意正整数 n 都有 a n ＋ 1 － a n 等于同一个常数 . (2) 等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 后，可递推得出 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＝ a n － a n － 1 ＝ a n － 1 － a n － 2 ＝ … ＝ a 2 － a 1 ，根据定义得出数列 { a n } 为等差数列 . (3) 通项公式法：得出 a n ＝ pn ＋ q 后，得 a n ＋ 1 － a n ＝ p 对任意正整数 n 恒成立，根据定义判定数列 { a n } 为等差数列 . (4) 前 n 项和公式法：得出 S n ＝ An 2 ＋ Bn 后，根据 S n ， a n 的关系，得出 a n ，再使用定义法证明数列 { a n } 为等差数列 . 答案 解析 (2) 数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ＋ 2. ① 设 b n ＝ a n ＋ 1 － a n ，证明 { b n } 是等差数列； 证明 由 a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ＋ 2 ， 得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＋ 2 ， 即 b n ＋ 1 ＝ b n ＋ 2. 又 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ 1 ， 所以 { b n } 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 . ② 求 { a n } 的通项公式 . 解答 由 ① 得 b n ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1 ， 即 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n － 1. 所以 a n ＋ 1 － a 1 ＝ n 2 ，即 a n ＋ 1 ＝ n 2 ＋ a 1 . 又 a 1 ＝ 1 ，所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n 2 － 2 n ＋ 2. 题型三　等差数列性质的应用 命题点 1 　等差数列项的性质 例 3 　 (1)(2015· 广东 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝ 25 ，则 a 2 ＋ a 8 ＝ ________. 答案 解析 因为 { a n } 是等差数列 ， 所以 a 3 ＋ a 7 ＝ a 4 ＋ a 6 ＝ a 2 ＋ a 8 ＝ 2 a 5 ， a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝ 5 a 5 ＝ 25 ，所以 a 5 ＝ 5 ，故 a 2 ＋ a 8 ＝ 2 a 5 ＝ 10. 10 (2) 已知 { a n } ， { b n } 都是等差数列，若 a 1 ＋ b 10 ＝ 9 ， a 3 ＋ b 8 ＝ 15 ，则 a 5 ＋ b 6 ＝ ________. 答案 解析 因为 { a n } ， { b n } 都是等差数列 ， 所以 2 a 3 ＝ a 1 ＋ a 5 ， 2 b 8 ＝ b 10 ＋ b 6 ， 所以 2( a 3 ＋ b 8 ) ＝ ( a 1 ＋ b 10 ) ＋ ( a 5 ＋ b 6 ) ，即 2 × 15 ＝ 9 ＋ ( a 5 ＋ b 6 ) ， 解 得 a 5 ＋ b 6 ＝ 21. 21 命题点 2 　等差数列前 n 项和的性质 例 4 　 (1) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 3 ＝－ 12 ， S 9 ＝ 45 ，则 S 12 ＝ ________. 答案 解析 114 因为 { a n } 是等差数列，所以 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 ， S 12 － S 9 成等差数列，所以 2( S 6 － S 3 ) ＝ S 3 ＋ ( S 9 － S 6 ) ， 即 2( S 6 ＋ 12) ＝－ 12 ＋ (45 － S 6 ) ，解得 S 6 ＝ 3. 又 2( S 9 － S 6 ) ＝ ( S 6 － S 3 ) ＋ ( S 12 － S 9 ) ， 即 2 × (45 － 3) ＝ (3 ＋ 12) ＋ ( S 12 － 45) ，解得 S 12 ＝ 114. 答案 解析 ＝－ 2 018 ＋ 2 017 ＝－ 1. ∴ S 2 018 ＝－ 2 018. 思维 升华 跟踪训练 3 　 ( 1) 在等差数列 { a n } 中，已知 a 4 ＋ a 8 ＝ 16 ，则该数列前 11 项和 S 11 等于 A.58 B.88 C.143 D.176 答案 解析 答案 解析 典例 1 　 (1) 在等差数列 { a n } 中， 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ＋ 3( a 7 ＋ a 9 ) ＝ 54 ，则此数列前 10 项的和 S 10 等于 A.45 B.60 C.75 D.90 答案 解析 公差 不为 0 的等差数列，求其前 n 项和与最值在高考中时常出现 . 题型有小题，也有大题，难度不大 . 等差数列 的前 n 项和及其最 值 高频 小考点 6 考点分析 (2) 在等差数列 { a n } 中， S 10 ＝ 100 ， S 100 ＝ 10 ，则 S 110 ＝ ________. 答案 解析 － 110 方法一　 设数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 所以 a 11 ＋ a 100 ＝－ 2 ， 典例 2 　在等差数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 20 ，前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝ S 15 ，求当 n 取何值时， S n 取得最大值，并求出它的最大值 . 规范解答 解 ∵ a 1 ＝ 20 ， S 10 ＝ S 15 ， 得 a 13 ＝ 0. 即当 n ≤ 12 时， a n ＞ 0 ，当 n ≥ 14 时， a n ＜ 0. ∴ 当 n ＝ 12 或 n ＝ 13 时， S n 取得最大值， ∵ n ∈ N * ， ∴ 当 n ＝ 12 或 n ＝ 13 时， S n 有最大值，且最大值为 S 12 ＝ S 13 ＝ 130. 方法三 　由 S 10 ＝ S 15 ，得 a 11 ＋ a 12 ＋ a 13 ＋ a 14 ＋ a 15 ＝ 0. ∴ 5 a 13 ＝ 0 ，即 a 13 ＝ 0. ∴ 当 n ＝ 12 或 n ＝ 13 时， S n 有最大值，且最大值为 S 12 ＝ S 13 ＝ 130. 课时作业 1.(2016· 重庆一诊 ) 在数列 { a n } 中， a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， a 2 ＝ 5 ，则 { a n } 的前 4 项和 为 A.9 B.22 C.24 D.32 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ，知 { a n } 为等差数列且公差 d ＝ 2 ， ∴ 由 a 2 ＝ 5 ，得 a 1 ＝ 3 ， a 3 ＝ 7 ， a 4 ＝ 9 ， ∴ 前 4 项和为 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 24 ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等 . 问各得几何？ ” 其意思为： “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列 . 问五人各得多少钱？ ” ( “ 钱 ” 是古代的一种重量单位 ) 这个问题中，甲所得为 √ 答案 解析 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.( 2017· 佛山 调研 ) 已知等差数列 { a n } 满足 a 2 ＝ 3 ， S n － S n － 3 ＝ 51( n >3) ， S n ＝ 100 ，则 n 的值 为 A.8 B.9 C.10 D.11 √ 答案 解析 由 S n － S n － 3 ＝ 51 ，得 a n － 2 ＋ a n － 1 ＋ a n ＝ 51 ， 所以 a n － 1 ＝ 17 ，又 a 2 ＝ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 在等差数列 { a n } 中， a 9 ＝ a 12 ＋ 6 ，则数列 { a n } 的前 11 项和 S 11 等于 A.24 B.48 C.66 D.132 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得 a 1 ＋ 5 d ＝ 12 ， ∴ a 1 ＝ 12 － 5 d . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 ＝ a n － ， 且 a 1 ＝ 5 ，设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则使得 S n 取得最大值的序号 n 的 值为 A.7 B.8 C.7 或 8 D.8 或 9 √ 答案 解析 由题意可知数列 { a n } 是首项为 5 ，公差为 － 的 等差数列 ， 所以 a n ＝ 5 － ( n － 1) ＝ ， 该 数列前 7 项是正数项，第 8 项是 0 ，从第 9 项开始是负数项 ， 所以 S n 取得最大值时， n ＝ 7 或 n ＝ 8 ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *6. 设等差数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n >0( n ∈ N * ) ，其前 n 项和为 S n ，若数列 { } 也为等差数列， 则 的 最大值 是 A.310 B.212 C.180 D.121 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设数列 { a n } 的公差为 d ， 化简可得 d ＝ 2 a 1 ＝ 2 ， 所以 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 2 ＝ 2 n － 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＝ a n － 1 ＋ ( n ≥ 2) ，则数列 { a n } 的前 9 项和等于 ________. 答案 解析 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 设数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n － 10( n ∈ N * ) ，则 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 15 | ＝ ________. 答案 解析 130 由 a n ＝ 2 n － 10( n ∈ N * ) 知 { a n } 是以－ 8 为首项， 2 为公差的等差数列 ， 又 由 a n ＝ 2 n － 10 ≥ 0 ，得 n ≥ 5 ， ∴ 当 n ≤ 5 时， a n ≤ 0 ，当 n ＞ 5 时， a n ＞ 0 ， ∴ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 15 | ＝－ ( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ) ＋ ( a 5 ＋ a 6 ＋ … ＋ a 15 ) ＝ 20 ＋ 110 ＝ 130. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ { a n } ， { b n } 为等差数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a 3 ＝－ 3. (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 设等差数列 { a n } 的公差为 d ， 则 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d . 由 a 1 ＝ 1 ， a 3 ＝－ 3 ，可得 1 ＋ 2 d ＝－ 3 ，解得 d ＝－ 2. 从而 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × ( － 2) ＝ 3 － 2 n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若数列 { a n } 的前 k 项和 S k ＝－ 35 ，求 k 的值 . 解答 由 (1) 可知 a n ＝ 3 － 2 n ， 由 S k ＝－ 35 ，可得 2 k － k 2 ＝－ 35 ， 即 k 2 － 2 k － 35 ＝ 0 ，解得 k ＝ 7 或 k ＝－ 5. 又 k ∈ N * ，故 k ＝ 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 当 n ≥ 2 时，由 a n ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 当 n ≥ 2 时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知数列 { a n } 的各项均为正数，前 n 项和为 S n ，且满足 2 S n ＝ ＋ n － 4( n ∈ N * ). (1) 求证：数列 { a n } 为等差数列； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得 a 1 ＝ 3( a 1 ＝－ 1 舍去 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因此 a n － 1 ＝ a n － 1 或 a n － 1 ＝－ a n － 1 . 若 a n － 1 ＝－ a n － 1 ，则 a n ＋ a n － 1 ＝ 1. 而 a 1 ＝ 3 ， 所以 a 2 ＝－ 2 ，这与数列 { a n } 的各项均为正数相矛盾， 所以 a n － 1 ＝ a n － 1 ，即 a n － a n － 1 ＝ 1 ， 因此数列 { a n } 是首项为 3 ，公差为 1 的等差数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 由 (1) 知 a 1 ＝ 3 ， d ＝ 1 ， 所以数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 3 ＋ ( n － 1) × 1 ＝ n ＋ 2 ， 即 a n ＝ n ＋ 2.