高科数学专题复习课件：第一章 1_2命题及其关系、充分条件与必要条件 50页

§ 1.2 　 命题及其关系、充分条件与必要条件 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 四种命题及相互关系 知识梳理 若 q ，则 p 若 綈 p ，则 綈 q 若 綈 q ， 则 綈 p 2. 四种命题的真假关系 (1) 两个命题互为逆否命题，它们 有 的 真假性； (2) 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系 . 3. 充分条件与必要条件 (1) 如果 p ⇒ q ，则 p 是 q 的 条件 ，同时 q 是 p 的 条件 ； (2) 如果 p ⇒ q ，但 q ⇏ p ，则 p 是 q 的 条件 ； (3) 如果 p ⇒ q ，且 q ⇒ p ，则 p 是 q 的 条件 ； (4) 如果 q ⇒ p ，且 p ⇏ q ，则 p 是 q 的 条件 ； (5) 如果 p ⇏ q ，且 q ⇏ p ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 相同 充分 必要 充分不必要 充要 必要不充分 从集合角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 A ＝ { x | p ( x )} ， B ＝ { x | q ( x )} ，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 (1) 若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件； (2) 若 A ⊇ B ，则 p 是 q 的必要条件； (3) 若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件； (4) 若 A  B ，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5) 若 A  B ，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6) 若 A B 且 A 肟 B ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) “ x 2 ＋ 2 x － 3<0 ” 是命题 .( 　　 ) (2) 命题 “ 若 p ，则 q ” 的否命题是 “ 若 p ，则 綈 q ”. ( 　　 ) (3) 若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题 .( 　　 ) (4) 当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件 .( 　　 ) (5) 当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立 .( 　　 ) (6) 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 綈 p 是 綈 q 的必要不充分条件 .( 　　 ) 思考辨析 × × √ √ √ √ 1. 下列命题中为真命题的 是 A. 命题 “ 若 x > y ，则 x >| y | ” 的逆命题 B. 命题 “ 若 x >1 ，则 x 2 >1 ” 的否命题 C. 命题 “ 若 x ＝ 1 ，则 x 2 ＋ x － 2 ＝ 0 ” 的否命题 D. 命题 “ 若 x 2 >0 ，则 x >1 ” 的逆否命题 考点自测 答案 解析 对于 A ，其逆命题是若 x >| y | ，则 x > y ，是真命题， 这是因为 x >| y | ≥ y ，必有 x > y . 2.( 教材改编 ) 命题 “ 若 x 2 > y 2 ，则 x > y ” 的逆否命题 是 A. 若 x < y ，则 x 2 < y 2 B . 若 x ≤ y ，则 x 2 ≤ y 2 C. 若 x > y ，则 x 2 > y 2 D . 若 x ≥ y ，则 x 2 ≥ y 2 答案 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题 “ 若 x 2 > y 2 ， 则 x > y ” 的逆否命题是 “ 若 x ≤ y ， 则 x 2 ≤ y 2 ”. 3.( 教材改编 ) “ ( x － 1)( x ＋ 2) ＝ 0 ” 是 “ x ＝ 1 ” 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 由 ( x － 1)( x ＋ 2) ＝ 0 可得 x ＝ 1 或 x ＝－ 2 ， ∵ {1}  {1 ，－ 2} ， ∴“ ( x － 1)( x ＋ 2) ＝ 0 ” 是 “ x ＝ 1 ” 的必要不充分条件 . 4.(2016· 北京 ) 设 a ， b 是向量，则 “ | a | ＝ | b | ” 是 “ | a ＋ b | ＝ | a － b | ” 的 A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 若 | a | ＝ | b | 成立，则以 a ， b 为邻边构成的四边形为菱形， a ＋ b ， a － b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等， 所以 | a ＋ b | ＝ | a － b | 不一定成立； 反之，若 | a ＋ b | ＝ | a － b | 成立，则以 a ， b 为邻边构成的四边形为矩形， 而矩形的邻边不一定相等，所以 | a | ＝ | b | 不一定成立， 所以 “ | a | ＝ | b | ” 是 “ | a ＋ b | ＝ | a － b | ” 的既不充分也不必要条件 . 5. 在下列三个结论中，正确的是 ________.( 写出所有正确结论的序号 ) ① 若 A 是 B 的必要不充分条件，则 綈 B 也是 綈 A 的必要不充分条件； ③“ x ≠ 1 ” 是 “ x 2 ≠ 1 ” 的充分不必要条件 . 易知 ①② 正确 . 对于 ③ ，若 x ＝－ 1 ， 则 x 2 ＝ 1 ，充分性不成立，故 ③ 错误 . 答案 解析 ①② 题型分类　深度剖析 题型一　命题及其关系 例 1 　 (2016· 宿州模拟 ) 下列命题： ①“ 若 a 2 < b 2 ，则 a < b ” 的否命题； ②“ 全等三角形面积相等 ” 的逆命题； ③“ 若 a >1 ，则 ax 2 － 2 ax ＋ a ＋ 3>0 的解集为 R ” 的逆否命题； ④“ 若 x ( x ≠ 0) 为有理数，则 x 为无理数 ” 的逆否命题 . 其中正确的命题 是 A. ③④ B . ①③ C . ①② D . ②④ 答案 解析 对于 ① ，否命题为 “ 若 a 2 ≥ b 2 ，则 a ≥ b ” ，为假命题； 对于 ② ，逆命题为 “ 面积相等的三角形是全等三角形 ” ，是假命题； 对于 ③ ，当 a >1 时， Δ ＝－ 12 a <0 ，原命题正确，从而其逆否命题正确，故 ③ 正确； 对于 ④ ，原命题正确，从而其逆否命题正确，故 ④ 正确 . 故选 A. 思维 升华 (1) 写一个命题的其他三种命题时，需注意： ① 对于不是 “ 若 p ，则 q ” 形式的命题，需先改写； ② 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提 . (2) 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例 . (3) 根据 “ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 ” 这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 . 跟踪训练 1 　 (1) 命题 “ 若 x >0 ，则 x 2 >0 ” 的否命题 是 A. 若 x >0 ，则 x 2 ≤ 0 B . 若 x 2 >0 ，则 x >0 C. 若 x ≤ 0 ，则 x 2 ≤ 0 D . 若 x 2 ≤ 0 ，则 x ≤ 0 答案 (2) 某食品的广告词为 “ 幸福的人们都拥有 ” ，这句话的等价命题 是 A. 不拥有的人们会幸福 B. 幸福的人们不都拥有 C . 拥有的人们不 幸福 D . 不拥有的人们不幸福 答案 题型二　充分必要条件的判定 例 2 　 (1)(2015· 四川 ) 设 a ， b 都是不等于 1 的正数，则 “ 3 a ＞ 3 b ＞ 3 ” 是 “ log a 3 ＜ log b 3 ” 的 A. 充要条件 B . 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 ∵ 3 a >3 b >3 ， ∴ a > b >1 ，此时 log a 33 b >3 ， 故 “ 3 a >3 b >3 ” 是 “ log a 31 或 x < － 3 ，条件 q ： 5 x － 6> x 2 ，则 綈 p 是 綈 q 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 由 5 x － 6> x 2 ，得 2< x <3 ， 即 q ： 2< x <3. 所以 q ⇒ p ， p ⇏ q ，所以 綈 p ⇒ 綈 q ， 綈 q ⇏ 綈 p ， 所以 綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件，故选 A. 思维 升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1) 定义法：根据 p ⇒ q ， q ⇒ p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题 . (2) 集合法：根据 p ， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 . (3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题 . 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 四川 ) 设 p ：实数 x ， y 满足 x >1 且 y >1 ， q ：实数 x ， y 满足 x ＋ y >2 ，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 当 x >1 ， y >1 时， x ＋ y >2 一定成立，即 p ⇒ q ， 当 x ＋ y >2 时，可以 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 ，即 q ⇏ p ， 故 p 是 q 的充分不必要条件 . (2) 已知 p ： x ＋ y ≠ － 2 ， q ： x ， y 不都是－ 1 ，则 p 是 q 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 ( 等价法 ) 因为 p ： x ＋ y ≠ － 2 ， q ： x ≠ － 1 或 y ≠ － 1 ， 所以 綈 p ： x ＋ y ＝－ 2 ， 綈 q ： x ＝－ 1 且 y ＝－ 1 ， 因为 綈 q ⇒ 綈 p 但 綈 p ⇏ 綈 q ， 所以 綈 q 是 綈 p 的充分不必要条件， 即 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A. 题型三　充分必要条件的应用 例 3 　 已知 P ＝ { x | x 2 － 8 x － 20 ≤ 0} ，非空集合 S ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m }. 若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，求 m 的取值范围 . 解答 由 x 2 － 8 x － 20 ≤ 0 ，得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10} ， 由 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，知 S ⊆ P . ∴ 当 0 ≤ m ≤ 3 时， x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件 ， 即 所求 m 的取值范围是 [0,3]. 引申探究 1. 本例条件不变，问是否存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件 . 解答 若 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件，则 P ＝ S ， 即不存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件 . 2. 本例条件不变，若 x ∈ 綈 P 是 x ∈ 綈 S 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 . 解答 由例题知 P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10} ， ∵ 綈 P 是 綈 S 的必要不充分条件 ， ∴ P ⇒ S 且 S ⇏ P . ∴ [ － 2,10]  [ 1 － m, 1 ＋ m ]. ∴ m ≥ 9 ，即 m 的取值范围是 [9 ，＋ ∞ ). 思维 升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上 . 解题时需注意： (1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 ( 或不等式组 ) 求解 . (2) 要注意区间端点值的检验 . 跟踪训练 3 　 (1) 已知命题 p ： a ≤ x ≤ a ＋ 1 ，命题 q ： x 2 － 4 x <0 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 令 M ＝ { x | a ≤ x ≤ a ＋ 1} ， N ＝ { x | x 2 － 4 x <0} ＝ { x |0< x <4}. ∵ p 是 q 的充分不必要条件， ∴ M  N ， (0,3) (2) 已知条件 p ： 2 x 2 － 3 x ＋ 1 ≤ 0 ，条件 q ： x 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ a ( a ＋ 1) ≤ 0. 若 綈 p 是 綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 命题 p 为 { x | ≤ x ≤ 1} ，命题 q 为 { x | a ≤ x ≤ a ＋ 1}. 綈 p 对应的集合 A ＝ { x | x >1 或 x < } ， 綈 q 对应的集合 B ＝ { x | x > a ＋ 1 或 x < a }. ∵ 綈 p 是 綈 q 的必要不充分条件， 典例 　 (1)(2016· 湖北七校联考 ) 已知 p ， q 是两个命题，那么 “ p ∧ q 是真命题 ” 是 “ 綈 p 是假命题 ” 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充分 必要条件 D . 既不充分也不必要条件 (2) 已知条件 p ： x 2 ＋ 2 x － 3>0 ；条件 q ： x > a ，且 綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p ，则 a 的取值范围 是 A. [ 1 ，＋ ∞ ) B .( － ∞ ， 1 ] C. [ － 1 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ，－ 3 ] 等价 转化思想在充要条件中的应用 思想与方法系列 1 答案 解析 思想方法指 导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成 简单 的 、 熟悉的问题，在解题中经常用到 . 本题 可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化 . 返回 (1) 因为 “ p ∧ q 是真命题 ” 等价于 “ p ， q 都为真命题 ” ， 且 “ 綈 p 是假命题 ” 等价于 “ p 是真命题 ” ， 所以 “ p ∧ q 是真命题 ” 是 “ 綈 p 是假命题 ” 的充分不必要条件 . (2) 由 x 2 ＋ 2 x － 3>0 ，得 x < － 3 或 x >1 ， 由 綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p ， 可知 綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件 . ∴ { x | x > a }  { x | x < － 3 或 x >1} ， ∴ a ≥ 1. 返回 课时作业 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 命题 “ 如果 x ≥ a 2 ＋ b 2 ，那么 x ≥ 2 ab ” 的逆否命题 是 A. 如果 x < a 2 ＋ b 2 ，那么 x <2 ab B. 如果 x ≥ 2 ab ，那么 x ≥ a 2 ＋ b 2 C. 如果 x <2 ab ，那么 x < a 2 ＋ b 2 D. 如果 x ≥ a 2 ＋ b 2 ，那么 x ＜ 2 ab √ 答案 解析 命题 “ 若 p ，则 q ” 的逆否命题是 “ 若 綈 q ，则 綈 p ” ， “≥” 的否定是 “ < ”. 故答案 C 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 给出命题：若函数 y ＝ f ( x ) 是幂函数，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象不过第四象限 . 在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中，真命题的个数 是 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 答案 解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为 “ 若函数 y ＝ f ( x ) 的图象不过第四象限 ， 则 函数 y ＝ f ( x ) 是幂函数 ” ， 显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题 . 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(2015· 重庆 ) “ x ＞ 1 ” 是 “ ” 的 A. 充要条件 B . 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 由 x ＞ 1 ⇒ x ＋ 2 ＞ 3 ⇒ ， ⇒ x ＋ 2 ＞ 1 ⇒ x ＞－ 1 ， 故 “ x ＞ 1 ” 是 “ ” 成立的充分不必要条件 . 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(2016· 山东 ) 已知直线 a ， b 分别在两个不同的平面 α ， β 内，则 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 α 和平面 β 相交； 若平面 α 和平面 β 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交 ， 故 选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 已知集合 A ＝ { x ∈ R | < 2 x <8} ， B ＝ { x ∈ R | － 1< x < m ＋ 1} ，若 x ∈ B 成立的一个充分不必要条件是 x ∈ A ，则实数 m 的取值范围 是 A.{ m | m ≥ 2} B .{ m | m ≤ 2} C.{ m | m >2} D .{ m | － 2< m <2} √ 答案 解析 A ＝ { x ∈ R | < 2 x <8} ＝ { x | － 1< x <3} ， ∵ x ∈ B 成立的一个充分不必要条件是 x ∈ A ， ∴ A  B ， ∴ m ＋ 1>3 ， 即 m >2 ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 设 U 为全集， A ， B 是集合，则 “ 存在集合 C 使得 A ⊆ C ， B ⊆ ∁ U C ” 是 “ A ∩ B ＝ ∅ ” 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 由 Venn 图易知充分性成立 . 反之， A ∩ B ＝ ∅ 时，由 Venn 图 ( 如图 ) 可知 ， 存在 A ＝ C ，同时满足 A ⊆ C ， B ⊆ ∁ U C . 故 “ 存在集合 C 使得 A ⊆ C ， B ⊆ ∁ U C ” 是 “ A ∩ B ＝ ∅ ” 的充要条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A. p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 B. p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若 p 成立，设 a 1 ， a 2 ， … ， a n 的公比为 q ， ( a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ … ＋ a n － 1 a n ) 2 ＝ ( a 1 a 2 ) 2 (1 ＋ q 2 ＋ … ＋ q 2 n － 4 ) 2 ， 故 q 成立，故 p 是 q 的充分条件 . 取 a 1 ＝ a 2 ＝ … ＝ a n ＝ 0 ，则 q 成立，而 p 不成立，故 p 不是 q 的必要条件，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 设 a ， b 为正数，则 “ a － b >1 ” 是 “ a 2 － b 2 >1 ” 的 _______ __ _ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分也不必要 ” ) 答案 解析 ∵ a － b >1 ，即 a > b ＋ 1. 又 ∵ a ， b 为正数， ∴ a 2 >( b ＋ 1) 2 ＝ b 2 ＋ 1 ＋ 2 b > b 2 ＋ 1 ，即 a 2 － b 2 >1 成立 ， 反之 ，当 a ＝ ， b ＝ 1 时，满足 a 2 － b 2 >1 ，但 a － b >1 不成立 . 所以 “ a － b >1 ” 是 “ a 2 － b 2 >1 ” 的充分不必要条件 . 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 有三个命题： ①“ 若 x ＋ y ＝ 0 ，则 x ， y 互为相反数 ” 的逆命题 ； ② “ 若 a > b ，则 a 2 > b 2 ” 的逆否命题 ； ③ “ 若 x ≤ － 3 ，则 x 2 ＋ x － 6>0 ” 的否命题 . 其中真命题的序号为 ____. 答案 解析 ① 命题 ① 为 “ 若 x ， y 互为相反数，则 x ＋ y ＝ 0 ” 是真命题； 因为命题 “ 若 a > b ，则 a 2 > b 2 ” 是假命题，故命题 ② 是假命题； 命题 ③ 为 “ 若 x > － 3 ，则 x 2 ＋ x － 6 ≤ 0 ” ，因为 x 2 ＋ x － 6 ≤ 0 ⇔ － 3 ≤ x ≤ 2 ，故命题 ③ 是假命题 . 综上知只有命题 ① 是真命题 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则 “ f ( x ) 为 [0,1] 上的增函数 ” 是 “ f ( x ) 为 [3,4] 上的减函数 ” 的 ________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分也不必要 ” ) 答案 解析 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若当 x ∈ [ 0,1 ] 时， f ( x ) 是增函数， 又 ∵ y ＝ f ( x ) 是偶函数， ∴ 当 x ∈ [ － 1,0] 时， f ( x ) 是减函数 . 当 x ∈ [3,4] 时， x － 4 ∈ [ － 1,0] ， ∵ T ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ f ( x － 4). 故 x ∈ [3,4] 时， f ( x ) 是减函数，充分性成立 . 反之，若 x ∈ [3,4] 时， f ( x ) 是减函数 ，此时 x － 4 ∈ [ － 1,0] ， ∵ T ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ f ( x － 4) ，则 当 x ∈ [ － 1,0] 时， f ( x ) 是减函数 . ∵ y ＝ f ( x ) 是偶函数， ∴ 当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) 是增函数，必要性也成立 . 故 “ f ( x ) 为 [0,1] 上的增函数 ” 是 “ f ( x ) 为 [3,4] 上的减函数 ” 的充要条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 若 x < m － 1 或 x > m ＋ 1 是 x 2 － 2 x － 3>0 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 ________. 答案 解析 [0 , 2] 由已知易得 { x | x 2 － 2 x － 3>0}  { x | x < m － 1 或 x > m ＋ 1} ， 又 { x | x 2 － 2 x － 3>0} ＝ { x | x < － 1 或 x >3} ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 若 “ 数列 a n ＝ n 2 － 2 λn ( n ∈ N * ) 是递增数列 ” 为假命题，则 λ 的取值范围是 ___________. 答案 解析 若数列 a n ＝ n 2 － 2 λn ( n ∈ N * ) 为递增数列，则有 a n ＋ 1 － a n >0 ， 即 2 n ＋ 1>2 λ 对任意的 n ∈ N * 都成立，于是可得 3>2 λ ，即 λ < . 故所求 λ 的取值范围是 [ ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 *14. 下列四个结论中： ①“ λ ＝ 0 ” 是 “ λ a ＝ 0 ” 的充分不必要条件 ； ② 在 △ ABC 中， “ AB 2 ＋ AC 2 ＝ BC 2 ” 是 “△ ABC 为直角三角形 ” 的充要条件 ； ③ 若 a ， b ∈ R ，则 “ a 2 ＋ b 2 ≠ 0 ” 是 “ a ， b 全不为零 ” 的充要条件 ； ④ 若 a ， b ∈ R ，则 “ a 2 ＋ b 2 ≠ 0 ” 是 “ a ， b 不全为零 ” 的充要条件 . 其中 正确 的是 ________. 答案 解析 ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 λ ＝ 0 可以推出 λ a ＝ 0 ，但是由 λ a ＝ 0 不一定推出 λ ＝ 0 成立，所以 ① 正确； 由 AB 2 ＋ AC 2 ＝ BC 2 可以推出 △ ABC 是直角三角形，但是由 △ ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以 ② 不正确； 由 a 2 ＋ b 2 ≠ 0 可以推出 a ， b 不全为零， 反之，由 a ， b 不全为零可以推出 a 2 ＋ b 2 ≠ 0 ， 所以 “ a 2 ＋ b 2 ≠ 0 ” 是 “ a ， b 不全为零 ” 的充要条件，而不是 “ a ， b 全不为零 ” 的充要条件， ③ 不正确， ④ 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 由 x ＋ m 2 ≥ 1 ，得 x ≥ 1 － m 2 ， ∴ B ＝ { x | x ≥ 1 － m 2 }. ∵“ x ∈ A ” 是 “ x ∈ B ” 的充分条件 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15