高科数学专题复习课件：第四章 4_7解三角形的综合应用 56页

§4.7 　 解三角形的综合应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 2. 方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30° ，北偏西 45° 等 . 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平 视线 叫 仰角，目标视线在水平 视线 叫 俯角 ( 如图 ① ). 1. 仰角和俯角 知识梳理 上方 下方 指 从 方向 顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α ( 如图 ② ). 3. 方位角 正北 1. 三角形的面积公式： 知识 拓展 2. 坡度 ( 又称坡比 ) ：坡面的垂直高度与水平长度之比 . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 从 A 处望 B 处的仰角为 α ，从 B 处望 A 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系为 α ＋ β ＝ 180°.( 　　 ) (2) 俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 [0 ， ].( 　　 ) (3) 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 .( 　　 ) (4) 方位角大小的范围是 [0,2π) ，方向角大小的范围一般是 [0 ， ).( 　　 ) 思考辨析 × × √ √ 1.( 教材改编 ) 如图所示，设 A ， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离为 50 m ， ∠ ACB ＝ 45° ， ∠ CAB ＝ 105° 后，就可以计算出 A ， B 两点的距离为 考点自测 答案 解析 2. 若点 A 在点 C 的北偏东 30° ，点 B 在点 C 的南偏东 60° ，且 AC ＝ BC ，则点 A 在点 B 的 A. 北偏东 15° B . 北偏西 15° C. 北偏东 10° D . 北偏西 10° 答案 解析 如图所示， ∠ ACB ＝ 90° ， 又 AC ＝ BC ， ∴∠ CBA ＝ 45° ，而 β ＝ 30° ， ∴ α ＝ 90° － 45° － 30° ＝ 15° ， ∴ 点 A 在点 B 的北偏西 15 °. 3.( 教材改编 ) 海面上有 A ， B ， C 三个灯塔， AB ＝ 10 n mile ，从 A 望 C 和 B 成 60° 视角，从 B 望 C 和 A 成 75° 视角，则 BC 等于 答案 解析 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ 10 ， A ＝ 60° ， B ＝ 75° ， 4. 如图所示， D ， C ， B 三点在地面的同一直线上， DC ＝ a ，从 C ， D 两点测得 A 点的仰角分别为 60° ， 30 ° ， 则 A 点离地面的高度 AB ＝ ________. 答案 解析 5. 在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30° ，风速 是 20 km /h ；水的流向是正东，流速是 20 km/ h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ____ ，速度的大小为 _____ km/h. 答案 解析 60° 如图， ∠ AOB ＝ 60° ， 由余弦定理知 OC 2 ＝ 20 2 ＋ 20 2 － 800cos 120° ＝ 1 200 ， 题型分类　深度剖析 题型一　求距离、高度问题 例 1 　 (1) 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ， C 的俯角分别为 75° ， 30° ，此时气球的高 AD 是 60 m ，则河流的宽度 BC 等于 答案 解析 如图，在 △ ACD 中， ∠ CAD ＝ 90° － 30° ＝ 60° ， AD ＝ 60 m ， 在 △ ABD 中， ∠ BAD ＝ 90° － 75° ＝ 15° ， (2)(2016· 三明模拟 ) 在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的 俯角 分别 为 30° ， 60° ，则塔高是 ______ m. 答案 解析 如图，设塔 AB 高为 h ， 在 Rt △ CDB 中 ， CD ＝ 200 m ， ∠ BCD ＝ 90° － 60° ＝ 30° ， 在 △ ABC 中， ∠ ABC ＝ ∠ BCD ＝ 30° ， ∠ ACB ＝ 60° － 30° ＝ 30° ， ∴∠ BAC ＝ 120°. 思维 升华 求距离、高度问题应注意 (1) 理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念 . (2) 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 . (3) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 . 跟踪训练 1 　 (1) 一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60° ，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15° ，这时船与灯塔的距离为 _______ km. 答案 解析 如图，由题意， ∠ BAC ＝ 30° ， ∠ ACB ＝ 105° ， ∴ B ＝ 45° ， AC ＝ 60 km ， (2) 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A ， B 两点，从 A ， B 两点分别测得树尖的仰角为 30° ， 45° ，且 A ， B 两点间的距离为 60 m ，则树的高度为 _________ m. 答案 解析 在 △ PAB 中， ∠ PAB ＝ 30° ， ∠ APB ＝ 15° ， AB ＝ 60 ， sin 15° ＝ sin(45° － 30°) ＝ sin 45°cos 30° － cos 45°sin 30° 题型二　求角度问题 例 2 　 如 图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救 . 信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ 的 值为 ________. 答案 解析 在 △ ABC 中， AB ＝ 40 ， AC ＝ 20 ， ∠ BAC ＝ 120° ， 由余弦定理得 由 θ ＝ ∠ ACB ＋ 30° ，得 cos θ ＝ cos( ∠ ACB ＋ 30°) 思维 升华 解决测量角度问题的注意事项： (1) 首先应明确方位角或方向角的含义； (2) 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3) 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的 “ 联袂 ” 使用 . 跟踪训练 2 　如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练 . 已知点 A 到墙面的距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的 大 小 . 若 AB ＝ 15 m ， AC ＝ 25 m ， ∠ BCM ＝ 30° ，则 tan θ 的最大值 是 _____ ( 仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角 ). 答案 解析 如图，过点 P 作 PO ⊥ BC 于点 O ， 连接 AO ，则 ∠ PAO ＝ θ . 在 Rt △ ABC 中， AB ＝ 15 m ， AC ＝ 25 m ， 所以 BC ＝ 20 m. 题型三　三角形与三角函数的综合问题 (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调减区间； 解 答 解 答 可求得 bc ＝ 40. 思维 升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题 . (1) 求 f ( x ) 的单调区间； 解答 (2) 在锐角 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 若 ＝ 0 ， a ＝ 1 ，求 △ ABC 面积的最大值 . 解答 由余弦定理 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 典例 　 (12 分 ) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 . 在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 . 假设该小艇沿直线方向以 v 海里 / 小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 . (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少 ？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 / 小时，试设计航行方案 ( 即确定航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 . 函数 思想在解三角形中的应用 思想与方法系列 10 规范解答 思想方法指 导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决 . 返回 解 　 (1) 设相遇时小艇航行的距离为 S 海里， 则 [ 1 分 ] (2) 设小艇与轮船在 B 处相遇 . 则 v 2 t 2 ＝ 400 ＋ 900 t 2 － 2·20·30 t ·cos(90° － 30°) ， [8 分 ] 此时，在 △ OAB 中，有 OA ＝ OB ＝ AB ＝ 20 . [ 11 分 ] 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30° ，航行速度为 30 海里 / 小时 . [ 12 分 ] 返回 课时作业 1. 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70° ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65° ，那么 B ， C 两点间的距离是 √ 答案 解析 如图所示，易知 ，在 △ ABC 中 ， AB ＝ 20 ， ∠ CAB ＝ 30° ， ∠ ACB ＝ 45° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 在相距 2 km 的 A ， B 两点处测量目标点 C ，若 ∠ CAB ＝ 75° ， ∠ CBA ＝ 60° ，则 A ， C 两点之间的距离为 √ 答案 解析 如图，在 △ ABC 中，由已知可得 ∠ ACB ＝ 45° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60° ，另一灯塔在船的南偏西 75° ，则这艘船的速度是每小时 答案 解析 √ 如图所示，依题意有 ∠ BAC ＝ 60° ， ∠ BAD ＝ 75° ， 所以 ∠ CAD ＝ ∠ CDA ＝ 15° ，从而 CD ＝ CA ＝ 10 ， 在 Rt △ ABC 中，得 AB ＝ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB ， CD 的高度分别为 20 m ， 50 m ， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 A.30° B.45 ° C.60 ° D.75 ° √ 答案 解析 又 CD ＝ 50 ，所以在 △ ACD 中， 又 0°< ∠ CAD <180° ，所以 ∠ CAD ＝ 45° ， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ，测得 ∠ BCD ＝ 15° ， ∠ BDC ＝ 30° ， CD ＝ 30 ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ，则塔高 AB 等于 √ 答案 解析 在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ 180° － 15° － 30° ＝ 135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ，沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B ，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ，则水柱的高度是 A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m √ 答案 解析 设水柱高度是 h m ，水柱底端为 C ， 在 △ ABC 中， ∠ A ＝ 60° ， AC ＝ h ， AB ＝ 100 ， 即 h 2 ＋ 50 h － 5 000 ＝ 0 ，即 ( h － 50)( h ＋ 100) ＝ 0 ，即 h ＝ 50 ， 故水柱的高度是 50 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 江岸边有一炮台高 30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ，而且两条船与炮台底部连线成 30° 角，则两条船相距 ___ __ _ m. 答案 解析 如图， OM ＝ AO tan 45° ＝ 30 (m) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在 △ MON 中，由余弦定理得 8. 如图，一艘船上午 9 ： 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10 ： 00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处，且与它 相距 n mile. 此船的航速是 ______ n mile/h. 答案 解析 32 设航速为 v n mile/h ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的 扇 形 AOB ， C 是该小区的一个出入口，且小区里有一 条 平行 于 AO 的小路 CD . 已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟 ，从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟 . 若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为 ______ 米 . 答案 解析 如图，连接 OC ，在 △ OCD 中 ， OD ＝ 100 ， CD ＝ 150 ， ∠ CDO ＝ 60°. 由余弦定理 得 OC 2 ＝ 100 2 ＋ 150 2 － 2 × 100 × 150 × cos 60° ＝ 17 500 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 在 Rt △ ABC 中， C ＝ 90° ， A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 a ＋ b ＝ cx ，则实数 x 的取值范围是 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° ，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30° ，并测得水平面上的 ∠ BCD ＝ 120° ， CD ＝ 40 m ，求电视塔的高度 . 解 答 如图，设电视塔 AB 高为 x m ， 则在 Rt △ ABC 中，由 ∠ ACB ＝ 45° ，得 BC ＝ x . 在 △ BDC 中，由余弦定理得， BD 2 ＝ BC 2 ＋ CD 2 － 2 BC · CD ·cos 120° ， 所以电视塔高为 40 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求 a 和 sin C 的值； 又由 b － c ＝ 2 ，解得 b ＝ 6 ， c ＝ 4. 由 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，可得 a ＝ 8. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向，距 A 处 ( － 1) 海里的 B 处有一艘走私船 . 在 A 处北偏西 75° 方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命 以 10 海里 / 小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里 / 小时的 速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜 . 问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间 . 解答 如图，设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时 ， 才能 最快截获走私船 ( 在 D 点 ) ， 在 △ ABC 中，由余弦定理，得 BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC ·cos A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴∠ ABC ＝ 45° ，故 B 点在 C 点的正东方向上， ∴∠ CBD ＝ 90° ＋ 30° ＝ 120° ， ∴∠ BCD ＝ 30° ， ∴ 缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶 . 又在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ 120° ， ∠ BCD ＝ 30° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ 缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 .