【数学】江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题 （解析版） 10页

www.ks5u.com 江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.集合{直线}, 集合{抛物线}, 则集合元素的个数为（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 0个、1个或2个 ‎【答案】A ‎【解析】解：∵集合M＝{直线}，集合N＝{抛物线}，‎ ‎， ∴集合元素的个数为0． 故选：A．‎ ‎2.给定映射，其中则时不同的映射的个数是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，当的象为1时，若的象为1，则的象为1或2；若的象为2，则的象为1或2，故则时不同的映射的个数是4个， 故选：C．‎ ‎3.函数的单调增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的单调增区间，即在时的增区间， 再根据一次函数的性质可得，在时的增区间为， 故选：B．‎ ‎4.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ ‎，，故选B.‎ ‎5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数的定义域为， ∴由，得，则． ∴函数的定义域为． 故选：C．‎ ‎6.函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，当时，，当时，，函数值域是，选B.‎ ‎7.已知函数，（其中），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴， ，则， 故选：A．‎ ‎8.已知函数，且过点，则函数的图像必过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数，且过点，‎ ‎，则函数，‎ 令，求得， 可得函数的图象必过， 故选：D．‎ ‎9.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．‎ ‎10.函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵的定义域为R， ∴恒成立， 即判别式，得，即实数的取值范围是， 故选：C．‎ ‎11.已知函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数，则， 则， 则有，‎ 若，则， 故选：C．‎ ‎12.已知函数，且，，集合，则（ ）‎ A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】A ‎【解析】∵函数，且，，故有且，∴，即，且，即，∴，又，∴为的一个零点，由根与系数的关系可得，另一个零点为，∴有，∴，∴恒成立．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） ‎ ‎13.已知，则______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，故，‎ 所以，故，填.‎ ‎14.已知函数 是偶函数，则实数的值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】函数偶函数，的定义域为R， 即有， ， 可得， 即有恒成立，所以恒成立，解得．故答案为：．‎ ‎15.已知是R上增函数，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，是R上的增函数， 则有，解可得，即的取值范围为； 故答案为：．‎ ‎16.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：‎ ‎①同学甲发现：函数是偶函数；‎ ‎②同学乙发现：对于任意的都有；‎ ‎③同学丙发现：对于任意的，都有；‎ ‎④同学丁发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.‎ 其中所有正确研究成果的序号是__________．‎ ‎【答案】②③.‎ ‎【解析】①定义域关于原点对称，，是奇函数，①错误； ‎ ‎②，②正确； ③由于，‎ 且，则③正确； ④，由于单调递减，单调递增，所以单调递减，，④错误； 故答案为②③．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.已知全集集合，或， ，‎ ‎（1）求; ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 解：（1），或，‎ ‎，‎ ‎（2）由已知或，‎ 则， 当，时，，满足， ‎ 当时，只需，即 ,综上可知.‎ ‎18.计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ 解：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎19.已知幂函数在上单调递增.‎ ‎（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；‎ ‎（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.‎ 解：(1)∵ ∴k=1 ∴‎ ‎ (2) ①，即 ‎ ‎ ‎ ∴又(舍)‎ ‎②∴‎ ‎20.进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展.同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量（单位：）与过滤时间 (单位：)间的关系为(均为非零常数，为自然对数的底数)其中为时的污染物数量.若过滤后还剩余的污染物.‎ ‎（1）求常数的值.‎ ‎（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到.参考数据：）‎ 解：（1）由题意可知， 故，两边取对数可得：，即． （2）令，故，即， ，． ∴污染物减少到40%至少需要42小时．‎ ‎21.已知函数（）在区间上有最大值和最小值，设．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ 解：（1），因为，所以在区间 上是增函数，故，解得．‎ ‎（2）由已知可得，所以可化为，‎ 化为，令，则，因，故，‎ 记，因为，故， 所以的取值范围是．‎ ‎22.定义对于函数， 若在定义域内存在实数， 满足，则称为“局部奇函数”.‎ ‎（1）已知二次函数,试判断是否为定义域上的“局部奇函数”若是，求出满足的的值； 若不是， 请说明理由；‎ ‎（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.‎ 解：（1） 当，方程即，有解，所以为 “局部奇函数”.‎ ‎（2）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解.令,则，设，则 在上为减函数，在上为增函数，（要证明），所以当时，，所以，即.‎