高科数学专题复习课件：第十二章 12_1随机事件的概率 71页

§12.1 　 随机事件的概率 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 概率和频率 知识梳理 ( 1) 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现 的 ， 称事件 A 出现的比例 f n ( A ) ＝ ___ 为 事件 A 出现 的 . (2) 对于给定的随机事件 A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生 的 会 在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并把 这个 称为 随机事件 A 的概率，记作 P ( A ). 频数 频率 频率 常数 2. 事件的关系与运算   定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时 称 事件 B 事件 A ( 或称事件 A 包含于事件 B ) ______ ____ __ __ 相等关系 若 B ⊇ A 且 A ⊇ B _______ 并事件 ( 和事件 ) 若 某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 生 ，称此事件为事件 A 与事件 B 的 ( 或 和 事件 ) A ∪ B ( 或 A ＋ B ) 包含 B ⊇ A ( 或 A ⊆ B ) A ＝ B 并事件 交事件 ( 积事件 ) 若某事件发生 当且仅当 且 ， 则 称此事件为事件 A 与事件 B 的 ( 或 积 事件 ) A ∩ B ( 或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件 ( A ∩ B ＝ ∅ ) ，那么称 事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B ＝ ∅ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件， A ∪ B 为必然事件， 那 么 称事件 A 与事件 B ______________ ____________ 事件 A 发生 事件 B 发生 交事件 互为对立事件 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1 3. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围 ： . (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ . (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ . (4) 概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ . (5) 对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ . 0≤ P ( A )≤1 1 0 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 事件发生频率与概率是相同的 .( 　　 ) (2) 随机事件和随机试验是一回事 .( 　　 ) (3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 .( 　　 ) (4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生 .( 　　 ) (5) 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 .( 　　 ) (6) 两互斥事件的概率和为 1.( 　　 ) 思考辨析 × × √ × √ × 考点自测 1. 从 {1,2,3,4,5} 中随机选取一个数 a ，从 {1,2,3} 中随机选取一个数 b ，则 b > a 的概率 是 答案 解析 基本事件的个数有 5 × 3 ＝ 15 ， 其中满足 b > a 的有 3 种， 2.( 教材改编 ) 将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中 “ 正面向上恰有 5 次 ” 是 答案 解析 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 0 ～ 10 ，都有可能发生 ， 正面 向上 5 次是随机事件 . 3. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2 ，该同学的身高在 [ 160,175 ] ( 单位： cm) 内的概率为 0.5 ，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率 为 答案 解析 A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 因为必然事件发生的概率是 1 ， 所以该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1 － 0.2 － 0.5 ＝ 0.3 ，故选 B. 4. 某射手在一次射击中，射中 10 环， 9 环， 8 环的概率分别为 0.2,0.3,0.1 ，则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率 为 答案 解析 A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9 依题设知，此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1 － (0.2 ＋ 0.3) ＝ 0.5. 5.( 教材改编 ) 袋中装有 9 个白球， 2 个红球，从中任取 3 个球，则 ① 恰有 1 个红球和全是白球； ② 至少有 1 个红球和全是白球； ③ 至少有 1 个红球和至少有 2 个白球； ④ 至少有 1 个白球和至少有 1 个红球 . 在上述事件中，是对立事件的为 ________. 答案 解析 ① 是互斥不对立的事件， ② 是对立事件， ③④ 不是互斥事件 . ② 题型分类　深度剖析 题型一　事件关系的判断 例 1 　 (1 ) 从 1,2,3 ， … ， 7 这 7 个数中任取两个数，其中： ① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ② 至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③ 至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④ 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 . 上述事件中，是对立事件的 是 A. ① B . ②④ C . ③ D . ①③ 答案 解析 ③ 中 “ 至少有一个是奇数 ” 即 “ 两个奇数或一奇一偶 ” ， 而从 1 ～ 7 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件： “ 两个都是奇数 ” 、 “ 一奇一偶 ” 、 “ 两个都是偶数 ” ， 故 “ 至少有一个是奇数 ” 与 “ 两个都是偶数 ” 是对立事件，易知其余都不是对立事件 . (2) 设条件甲： “ 事件 A 与事件 B 是对立事件 ” ，结论乙： “ 概率满足 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1 ” ，则甲是乙 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A ∪ B 为必然事件， 再由概率的加法公式得 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1. 设掷一枚硬币 3 次， 事件 A ： “ 至少出现一次正面 ” ，事件 B ： “ 3 次出现正面 ” ， (3) 在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张 ， 若事件 至多有一张移动卡包含 “ 一张移动卡，一张联通卡 ” ， “ 两张全是联通卡 ” 两个事件，它是 “ 2 张全是移动卡 ” 的对立事件 . 答案 解析 A. 至多有一张移动卡 B . 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D . 至少有一张移动卡 (1) 准确把握互斥事件与对立事件的概念 ① 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生 . ② 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 . (2) 判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件： ① 至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球； ② 至少有 1 个黄球与都是黄球； ③ 恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球； ④ 恰有 1 个白球与都是黄球 . 其中互斥而不对立的事件 共有 A.0 组 B.1 组 C.2 组 D.3 组 答案 解析 ① 中 “ 至少有 1 个白球 ” 与 “ 至少有 1 个黄球 ” 可以同时发生，如恰好 1 个白球和 1 个黄球， ① 中的两个事件不是互斥事件 . ② 中 “ 至少有 1 个黄球 ” 说明可以是 1 个白球和 1 个黄球或 2 个黄球，则两个事件不互斥 . ③ 中 “ 恰有 1 个白球 ” 与 “ 恰有 1 个黄球 ” ，都是指有 1 个白球和 1 个黄球，因此两个事件是同一事件 . ④ 中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选 B. 题型二　 随机事件的频率与概率 例 2 　 (2016· 全国甲卷 ) 某险种的基本保费为 a ( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a (1) 记 A 为事件： “ 一续保人本年度的保费不高于基本保费 ” ，求 P ( A ) 的估计值； 解答 出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 频数 60 50 30 30 20 10 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 故 P ( A ) 的估计值为 0.55. (2) 记 B 为事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160% ” ，求 P ( B ) 的估计值； 解答 事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 故 P ( B ) 的估计值为 0.3. (3) 求续保人本年度的平均保费的估计值 . 解答 由所给数据得 调查的 200 名续保人的平均保费为 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 0.85 a × 0.30 ＋ a × 0.25 ＋ 1.25 a × 0.15 ＋ 1.5 a × 0.15 ＋ 1.75 a × 0.10 ＋ 2 a × 0.05 ＝ 1.192 5 a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5 a . (1) 概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值 . (2) 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (2015· 北京 ) 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中 “√” 表示购买， “×” 表示未购买 . 　　商品 顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 解答 (1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率； 从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了 乙 和 丙， 解答 (2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； 从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中 ， 有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁 ， 另 有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙 ， 其他 顾客最多购买了 2 种商品 . (3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解答 与 (1) 同理，可得 ： 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 . 题型三　 互斥事件、对立事件的概率 命题点 1 　互斥事件的概率 例 3 　 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率 是 ， 得到黑球或黄球的概率 是 ， 得到黄球或绿球的概率也 是 ， 试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？ 解答 方法一 　从袋中选取一个球，记事件 “ 摸到红球 ”“ 摸到黑球 ”“ 摸到黄球 ”“ 摸到绿球 ” 分别为 A ， B ， C ， D ，则有 所以黄球和绿球共 5 个，而绿球有 3 个，所以黄球有 5 － 3 ＝ 2( 个 ). 所以 黑球有 12 － 4 － 3 － 2 ＝ 3( 个 ). 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 命题点 2 　对立事件的概率 例 4 　 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个 . 设 1 张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为 A ， B ， C ，求： (1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； 解答 (2)1 张奖券的中奖概率 ； 解答 1 张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖 . 设 “ 1 张奖券中奖 ” 这个事件为 M ，则 M ＝ A ∪ B ∪ C . ∵ A ， B ， C 两两互斥， ∴ P ( M ) ＝ P ( A ∪ B ∪ C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 . 解答 设 “ 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖 ” 为事件 N ， 则 事件 N 与 “ 1 张奖券中特等奖或中一等奖 ” 为对立事件， 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1) 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2) 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即 “ 正难则反 ”. 它常用来求 “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 型事件的概率 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 解答 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求： (1) 至多 2 人排队等候的概率； (2) 至少 3 人排队等候的概率 . 记 “ 无人排队等候 ” 为事件 A ， “ 1 人排队等候 ” 为事件 B ， “ 2 人排队等候 ” 为事件 C ， “ 3 人排队等候 ” 为事件 D ， “ 4 人排队等候 ” 为事件 E ， “ 5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F ，则事件 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 彼此互斥 . (1) 记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G ，则 G ＝ A ＋ B ＋ C ， 所以 P ( G ) ＝ P ( A ＋ B ＋ C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) ＝ 0.1 ＋ 0.16 ＋ 0.3 ＝ 0.56. (2) 方法一 　记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ， 则 H ＝ D ＋ E ＋ F ， 所以 P ( H ) ＝ P ( D ＋ E ＋ F ) ＝ P ( D ) ＋ P ( E ) ＋ P ( F ) ＝ 0.3 ＋ 0.1 ＋ 0.04 ＝ 0.44. 方法二 　记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ，则其对立事件为事件 G ， 所以 P ( H ) ＝ 1 － P ( G ) ＝ 0.44. 典例 　 (12 分 ) 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 用 正难则反思想求互斥事件的概率 思想与方法系列 25 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数； (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 .( 将频率视为概率 ) 思想方法指导 规范解答 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用 “ 正难则反 ” 思想求解 . 解 　 (1) 由已知得 25 ＋ y ＋ 10 ＝ 55 ， x ＋ 30 ＝ 45 ， 所以 x ＝ 15 ， y ＝ 20 . [ 2 分 ] 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 ， 所 收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本 ， 顾客 一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为 ＝ 1.9( 分钟 ). [ 6 分 ] ( 2) 记 A 为事件 “ 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟 ” ， A 1 ， A 2 分别表示事件 “ 该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟 ” ， “ 该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟 ” ， 课时作业 1.(2016· 天津 ) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率 是 ， 甲获胜的概率 是 ， 则甲不输的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 事件 “ 甲不输 ” 包含 “ 和棋 ” 和 “ 甲获胜 ” 这两个互斥事件， 2.( 教材改编 ) 袋中装有 3 个白球， 4 个黑球，从中任取 3 个球，则 ① 恰有 1 个白球和全是白球； ② 至少有 1 个白球和全是黑球； ③ 至少有 1 个白球和至少有 2 个白球； ④ 至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球 . 在上述事件中，是对立事件的 为 A. ① B . ② C . ③ D . ④ √ 答案 解析 至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生 . ∴② 中两事件是对立事件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率 是 ， 都是白子的概率 是 ， 则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率 是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 “ 从中取出 2 粒都是黑子 ” 为事件 A ， “ 从中取出 2 粒都是白子 ” 为事件 B ， “ 任意取出 2 粒恰好是同一色 ” 为事件 C ， 则 C ＝ A ∪ B ，且事件 A 与 B 互斥 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 襄阳模拟 ) 有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向 . 事件 “ 甲向南 ” 与事件 “ 乙向南 ” 是 A. 互斥但非对立事件 B . 对立事件 C. 相互独立事件 D . 以上都不对 √ 答案 解析 由于每人一个方向，故 “ 甲向南 ” 意味着 “ 乙向南 ” 是不可能的， 故是互斥事件，但不是对立事件，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2016· 蚌埠模拟 ) 从一篮子鸡蛋中任取 1 个，如果其重量小于 30 克的概率为 0.3 ，重量在 [ 30,40 ] 克的概率为 0.5 ，那么重量不小于 30 克的概率 为 A.0.8 B.0.5 C.0.7 D.0.3 √ 答案 解析 由互斥事件概率公式知重量大于 40 克的概率为 1 － 0.3 － 0.5 ＝ 0.2 ， 又 ∵ 0.5 ＋ 0.2 ＝ 0.7 ， ∴ 重量不小于 30 克的概率为 0.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 从存放的号码分别为 1,2,3 ， … ， 10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 取到号码为奇数的卡片的次数为 13 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 18 ＋ 11 ＝ 53 ， 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的卡片的频率 是 A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 7. 在 200 件产品中，有 192 件一级品， 8 件二级品，则下列事件： ① 在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品； ② 在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品； ③ 在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品 . 其中 ________ 是必然事件； ________ 是不可能事件； ________ 是随机事件 . 答案 ③ ② ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40% ，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果 . 经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 　 966 　 191 　 925 　 271 　 932 　 812 　 458 　 569 　 683 431 　 257 　 393 　 027 　 556 　 488 　 730 　 113 　 537 　 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ________. 答案 解析 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393 ， 以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 若随机事件 A ， B 互斥， A ， B 发生的概率均不等于 0 ，且 P ( A ) ＝ 2 － a ， P ( B ) ＝ 4 a － 5 ，则实数 a 的取值范围是 _________. 由题意可知 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为 0.58 ，摸出红球或黑球的概率为 0.62 ，那么摸出红球的概率为 ________. 0.2 答案 解析 记事件 A ， B ， C 分别是摸出红球，白球和黑球， 则 A ， B ， C 互为互斥事件且 P ( A ＋ B ) ＝ 0.58 ， P ( A ＋ C ) ＝ 0.62 ， 所以 P ( C ) ＝ 1 － P ( A ＋ B ) ＝ 0.42 ， P ( B ) ＝ 1 － P ( A ＋ C ) ＝ 0.38 ， P ( A ) ＝ 1 － P ( C ) － P ( B ) ＝ 1 － 0.38 － 0.42 ＝ 0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额 ( 元 ) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数 ( 辆 ) 500 130 100 150 120 (1) 若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 设 A 表示事件 “ 赔付金额为 3 000 元 ” ， B 表示事件 “ 赔付金额为 4 000 元 ” ，以频率估计概率得 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和 4 000 元， 所以其概率为 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 0.15 ＋ 0.12 ＝ 0.27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 在样本车辆中，车主是新司机的占 10% ，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20% ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 C 表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4 000 元 ” ， 由频率估计概率得 P ( C ) ＝ 0.24. 由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.1 × 1 000 ＝ 100( 辆 ) ， 而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.2 × 120 ＝ 24( 辆 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12.(2016· 北京 )A ， B ， C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表 ( 单位：小时 ) ： (1) 试估计 C 班的学生人数； 由题意及分层抽样可知， C 班学生人数约为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙 . 假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 设事件 A i 为 “ 甲是现有样本中 A 班的第 i 个人 ” ， i ＝ 1,2 ， … ， 5 ， 事件 C j 为 “ 乙是现有样本中 C 班的第 j 个人 ” ， j ＝ 1,2 ， … ， 8. 设事件 E 为 “ 该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长 ” ，由题意知， E ＝ A 1 C 1 ∪ A 1 C 2 ∪ A 2 C 1 ∪ A 2 C 2 ∪ A 2 C 3 ∪ A 3 C 1 ∪ A 3 C 2 ∪ A 3 C 3 ∪ A 4 C 1 ∪ A 4 C 2 ∪ A 4 C 3 ∪ A 5 C 1 ∪ A 5 C 2 ∪ A 5 C 3 ∪ A 5 C 4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (3) 再从 A ， B ， C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25( 单位：小时 ). 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ 1 ，表格中数据的平均数记为 μ 0 ，试判断 μ 0 和 μ 1 的大小 .( 结论不要求证明 ) μ 1 ＜ μ 0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个绿球 . 从中随机取出 1 球，求： (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率； (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法一 　 ( 利用互斥事件求概率 ) 记事件 A 1 ＝ { 任取 1 球为红球 } ， A 2 ＝ { 任取 1 球为黑球 } ， A 3 ＝ { 任取 1 球为白球 } ， A 4 ＝ { 任取 1 球为绿球 } ， 根据题意知，事件 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 取出 1 球为红球或黑球的概率为 (2) 取出 1 球为红球或黑球或白球的 概率为 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) ＝ P ( A 1 ) ＋ P ( A 2 ) ＋ P ( A 3 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法二 　 ( 利用对立事件求概率 ) (1) 由方法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A 1 ∪ A 2 的对立事件为 A 3 ∪ A 4 ， (2) 因为 A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 的对立事件为 A 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13