2020高中数学 专题强化训练3 导数及其应用 新人教A版选修1-1 6页

专题强化训练(三) 导数及其应用 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ ‎1．一物体作直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝－2t2＋8t，则这一物体在t＝1 s时的加速度为 (　　)‎ A．‎4 m/s2　　　　　 B．－‎4 m/s2‎ C．‎6 m/s2 D．－‎6 m/s2‎ B　[由导数的概念可求得速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v(t)＝－4t＋8，它在t＝1时的导数就是这一物体在t＝1时的加速度a，所以a＝v′(1)，又v′(t)＝－4，所以a＝－4.]‎ ‎2．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上 (　　)‎ A．是增函数 B．是减函数 C．是常函数 D．既不是增函数也不是减函数 A　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(‎2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．]‎ ‎3．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)‎ ‎ 【导学号：97792176】‎ A．0,1，－1 B． C．－ D．，－ B　[f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝.‎ 令f′(x)＝0得x＝或x＝－(舍去)，‎ 当x>时，f′(x)>0，当00时，令g(x)＝mx＋m－1，‎ 只需g(0)≥0，得m≥1.‎ 即实数m的取值范围为[1，＋∞)．‎ 三、解答题 ‎9．已知函数g(x)＝1－.‎ ‎(1)求g(x)的单调区间；‎ ‎(2)当0，得x>1；‎ 令g′(x)<0，得0g(y)，‎ 即1－>1－，‎ 所以<，即<.‎ ‎10．如图33，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r(r>0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD 6‎ ‎＝2x，梯形面积为S.‎ 图33‎ ‎(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；‎ ‎(2)求面积S的最大值．‎ ‎[解]　(1)依题意，设AB的中点为O，以O为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，‎ 设C的坐标为(x，y)，则x，y满足方程＋＝1(y>0)，‎ 解得y＝2(00；当0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝(　　)‎ A.　 　 　B. 　 　 　C.　 　 　D. C　[f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去)．当1≤x<3时，f′(x)<0，当30，故x＝3为极小值点，也是最小值点．∵f(3)＝b－‎27a，f(1)＝b－‎3a，f(4)＝b，∴f(x)的最小值为f(3)＝b－‎27a，最大值为f(4)＝b，∴，解得，∴a＋b＝.]‎ ‎3．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为__________．‎ y＝－　[由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.]‎ ‎4．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．‎ 　[由题意可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函数f(x)的单调增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调减区间为.由于函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<0)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点A(2，f(2))处的切线斜率为2，求实数a的值；‎ ‎(2)当x>0时，求证：f(x)≥a；‎ ‎(3)若在区间(1，e)上，>1恒成立，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：97792178】‎ ‎[解]　(1)∵f′(x)＝，∴f′(2)＝＝2，∴a＝4.‎ ‎(2)证明：令g(x)＝f(x)－a，则g(x)＝aln x－1＋，‎ g′(x)＝a.‎ 令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，‎ 令g′(x)<0，即a<0，解得x<1，又x>0，∴00，解得xa.‎ 当a≥e时，h(x)在(1，e)上是增函数，∴h(x)>h(1)＝0；‎ 当1