2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试 5页

同步精选测试　等比数列性质 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)‎ A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 ‎【解析】　因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…所以数列{an}是摆动数列.‎ ‎【答案】　D ‎2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 ‎【解析】　设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a‎3a9，所以a3，a6，a9成等比数列.故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(a∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)‎ A.－5　　　B.－　　　C.5　　　D. ‎【解析】　∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an，‎ ‎∴数列{an}是以3为公比的等比数列，‎ ‎∴a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9，‎ ‎∴a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝35，‎ ‎∴log35＝－5.‎ ‎【答案】　A ‎4.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是(　　)‎ A.3 B.27‎ 5‎ C.3或27 D.15或27‎ ‎【解析】　设此三数为3，a，b，则 解得或 所以这个未知数为3或27.‎ ‎【答案】　C ‎5.已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2,3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝(　　) ‎ ‎【导学号：18082097】‎ A.n(2n－1) B.(n＋1)2‎ C.n2 D.(n－1)2‎ ‎【解析】　因为{an}为等比数列，所以a5·a2n－5＝a.‎ 由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a＝22n.‎ 又因为an＞0，所以an＝2n，所以log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎6.在等比数列{an}中，a3＝16，a‎1a2a3…a10＝265，则a7等于________.‎ ‎【解析】　∵a‎1a2a3…a10＝(a‎3a8)5＝265，‎ ‎∴a‎3a8＝213.‎ ‎∵a3＝16＝24，∴a8＝29＝512.‎ 又∵a8＝a3q5，∴q＝2，‎ ‎∴a7＝＝＝256.‎ ‎【答案】　256‎ ‎7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________.‎ ‎【解析】　∵＝，∴x＝1.‎ ‎∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.‎ 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.‎ 5‎ ‎∴y＝5·，z＝6·.‎ ‎∴x＋y＋z＝1＋5·＋6·＝＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________.‎ ‎【解析】　由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用＝m，所以月平均增长率为－1.‎ ‎【答案】　－1‎ 三、解答题 ‎9.若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值.‎ ‎【解】　不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，又a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列.‎ ‎∴①或②‎ 解①得解②得 ‎∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.‎ ‎10.在等比数列{an}中，a4＝，a3＋a5＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}的公比大于1，且bn＝log3，求证：数列{bn}为等差数列，并求其前n项和Sn. ‎ ‎【导学号：18082098】‎ ‎【解】　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，＋a4q＝.‎ 因为a4＝，所以＋q＝，解得q＝或q＝3.‎ 当q＝时，a1＝18，所以an＝18×－1＝2×33－n；‎ 当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－5.‎ ‎(2)证明：由(1)及数列{an}的公比大于1，‎ 得q＝3，an＝2×3n－5，‎ 所以bn＝log3＝log33n－5＝n－5，‎ 5‎ 所以bn－bn－1＝1(常数).‎ 又因为b1＝log3＝－4，‎ 所以数列{bn}是首项为－4，公差为1的等差数列.‎ 所以Sn＝＝n2－n.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a‎8a15＝(　　)‎ A.±2 B.±‎4 C.2 D.4‎ ‎【解析】　∵T13＝4T9.‎ ‎∴a‎1a2…a‎9a10a11a12a13＝‎4a1a2…a9.‎ ‎∴a‎10a11a12a13＝4.‎ 又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，‎ ‎∴(a8·a15)2＝4.∴a‎8a15＝±2.‎ 又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a‎8a15＝2.‎ ‎【答案】　C ‎2.公差不为零的等差数列{an}中，‎2a3－a＋‎2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)‎ A.16 B.14‎ C.4 D.49‎ ‎【解析】　∵‎2a3－a＋‎2a11＝2(a3＋a11)－a＝‎4a7－a＝0，‎ ‎∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.‎ ‎∴b6b8＝b＝16.‎ ‎【答案】　A ‎3.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.‎ ‎【解析】　由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.‎ 又∵|q|>1，‎ ‎∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.‎ ‎∴q＝＝－，∴6q＝－9.‎ ‎【答案】　－9‎ ‎4.在等差数列{an}中，公差 d≠0，a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1，a3，ak1，‎ 5‎ ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.‎ ‎【解】　依题设得an＝a1＋(n－1)d，a＝a‎1a4，‎ ‎∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，‎ ‎∵d≠0，‎ ‎∴d＝a1，得an＝nd.‎ ‎∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列.‎ 又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝＝3，由此得k1＝9.‎ 等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，‎ ‎∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.‎ 5‎