2020版高中数学第二章证明不等式的基本方法 2 5页

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2021-06-19 发布

2020版高中数学第二章证明不等式的基本方法 2

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三　反证法与放缩法课后篇巩固探究 ‎1.设实数a,b,c满足a+b+c=,则a,b,c中(　　)‎ A.至多有一个不大于 B.至少有一个不小于 C.至多有两个不小于 D.至少有两个不小于解析假设a,b,c都小于,即a<,b<,c<,则a+b+c<,这与a+b+c=矛盾,因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于.‎ 答案B ‎2.已知三角形的三边长分别为a,b,c,设M=,N=,Q=,则M,N与Q的大小关系是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 5‎ A.Mc>0,‎ 则.‎ ‎∴+1<+1,‎ 即.‎ ‎∴,‎ 故NQ,故M>Q>N.‎ 答案D ‎3.导学号26394038设M=+…+,则(　　)‎ A.M=1‎ B.M<1‎ C.M>1‎ D.M与1大小关系不确定解析分母全换成210,共有210个单项.‎ 答案B 5‎ ‎4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证|f(x1)-f(x2)|<.那么它的假设应该是　　　　　. ‎ 答案|f(x1)-f(x2)|≥‎ ‎5.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>‎0”‎是“P,Q,R同时大于零”的　　　　　条件. ‎ 解析必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=‎2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.‎ 答案充要 ‎6.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于‎1”‎的条件是　　　　　.(填序号) ‎ 解析①可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;④a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.‎ 答案③‎ ‎7.设f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证|f(a)-f(b)|≤|a-b|.‎ 证明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|‎ ‎=|(a-b)(a+b-1)|‎ ‎=|a-b||a+b-1|,‎ 因为0≤a≤1,0≤b≤1,‎ 所以0≤a+b≤2.‎ 所以-1≤a+b-1≤1,‎ 所以|a+b-1|≤1.‎ 故|f(a)-f(b)|≤|a-b|.‎ ‎8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:中至少有一个小于2.‎ 5‎ 证明假设都不小于2,即 ‎≥2,且≥2.‎ 因为x>0,y>0,‎ 所以1+x≥2y,且1+y≥2x.‎ 把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),‎ 从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.‎ 因此,都不小于2是不可能的,即原命题成立.‎ ‎9.导学号26394039已知Sn=+…+,求证:对于正整数m,n,当m>n时,|Sm-Sn|<.‎ 证明记ak=(k∈N+),则|ak|≤.‎ 于是,当m>n时,|Sm-Sn|‎ ‎=|+…+am|‎ ‎≤||+||+…+|am|‎ ‎≤+…+‎ ‎=‎ 5‎ ‎=.‎ ‎10.导学号26394040若数列{xn}的通项公式为xn=,求证x1·x3·x5·…·x2n-1<.‎ 证明因为,‎ 又 ‎==1,‎ 所以,‎ 所以x1·x3·x5·…·x2n-1‎ ‎=×…×‎ ‎<,‎ 故x1·x3·x5·…·x2n-1<.‎ 5‎

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