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- 2021-06-19 发布
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德阳市高中 2017 级“二诊”考试
数
学
试
卷(文史类)
说明:
1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷 1—2 页,第Ⅱ卷 3—4 页. 考生作答时,须将答案答在答题
卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后,将答题卡交回.
2. 本试卷满分 150 分,120 分钟完卷.
第
Ⅰ
卷(选择题
共
60
分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知复数 z = 2
1 + i,其中 i 为虚数单位,则 z =
A. 5 B. 3 C. 2 D. 2
2. 函数 y = 4 - x2 的定义域为 A,集合 B = x log2(x + 1) > 1{ } ,
则 A ∩ B =
A. x 1 < x ≤ 2{ }
B. x - 2 ≤ x ≤ 2{ }
C. x - 2 < x < 3{ }
D. x 1 < x < 3{ }
3. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x
值的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 函数 f(x) = xcosx
ln(ex + e -x
)
在[ - π,π] 的图象大致为
5. 为了得到函数 y = sin 2x + π
3
( ) 的图象,可将函数 y = sin2x 的图象
A. 向右平移 π
3 B. 向左平移 π
3 C. 向左平移 π
6 D. 向右平移 π
6
)页4共(页1第 )类史文(诊二学数
6. 已知 a = 2
- 1
2
,b = 1
3
( ) 1
3
,c = log 1
2
1
5 ,则
A. b < a < c B. a < b < c C. c < b < a D. b < c < a
7. 已知 l 为抛物线 x2 = 4y 的准线,抛物线上的点 M 到 l 的距离为 d,点 P 的坐标为(4,1),
则 MP + d 的最小值是
A. 17 B. 4 C. 2 D. 1 + 17
8. 不等式组
2x - y ≥ 0
y ≥ 1
2
x
x + y - 3 ≤ 0
ì
î
í
ï
ï
ïï
表示的平面区域为 Ω,则
A. ∀(x,y) ∈ Ω,x + 2y > 3 B. ∃(x,y) ∈ Ω,x + 2y > 5
C. ∀(x,y) ∈ Ω,
y + 2x - 1
> 3 D. ∃(x,y) ∈ Ω,
y + 2x - 1
> 5
9. 平行四边形 ABCD 中,已知 AB = 4,AD = 3,点 E、F 分别满足AE→ = 2ED→,DF→ =FC→,且
AF→·BE→ = - 6,则向量AD→ 在AB→ 上的投影为
A. 2 B. - 2 C. 3
2 D. - 3
2
10. 已知 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A = 60°,b = 3,AD 为 BC 边上的中线,若
AD = 7
2 ,则 △ABC 的面积为
A. 25 3
4 B. 15 3
4 C. 15
4 D. 35 3
4
11. 已知实数 a > 0,a ≠ 1,函数 f(x) =
ax
,x < 1
x2 + 4x + alnx,x ≥ 1
{ 在 R 上单调递增,则实数 a 的取
值范围是
A. 1 < a ≤ 2 B. a < 5 C. 3 < a < 5 D. 2 ≤ a ≤ 5
12. △ABC 是边长为 2 3 的等边三角形,E、F 分别在线段 AB、AC 上滑动,EF ∥ BC,沿 EF 把
△AEF 折起,使点 A 翻折到点 P 的位置,连接 PB、PC,则四棱锥 P - BCFE 的体积的最大值
为
A. 2 2 B. 3 C. 3 D. 2
第
Ⅱ
卷(非选择题
共
90
分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 ~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第
22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 将答案填在答题卡上.
13. 已知函数 f(x) = x2 + ax 的图象在点 A(1,f(1)) 处的切线与直线 l:x - 3y + 2 = 0 垂直,
)页4共(页2第 )类史文(诊二学数
则实数 a 的值为 .
14. 在一个袋子中装有分别标注 1、2、3、4、5 的 5 个小球,这些小球除标注的数字外完全相
同,现从中随机取出 2 个小球, 则取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的概率是
.
15. 已知 a、b 为正实数,直线 x + y + 1 = 0 截圆(x - a)
2 + (y - b)
2 = 4 所得的弦长为
2 2 ,则 ab 的最大值为 .
16. 在 △ABC 中,B、C 的坐标分别为( - 2 2 ,0),(2 2 ,0),且满足 sinB - sinC = 2
2 sinA,O
为坐标原点,若点 P 的坐标为(4,0),则AO→·AP→ 的取值范围为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 12 分)
已知数列{an } 满足:2
1
·a
1
+ 2
2
·a
2
+ 2
3
·a
3
+ … + 2
n
·an = (n - 1)·2
n+1 + 2 对一切
n ∈ N∗ 成立.
(1) 求数列{an } 的通项公式;
(2) 求数列 1an ·an+2
{ } 的前 n 项和 Sn .
18. (本题满分 12 分)
如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 中,△ABD 为等边三
角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角 ∠BCD = 120°,PC ⊥ BD,
平面 PBD ⊥ 平面 ABCD,M 为 PA 中点.
(1) 求证:DM ∥ 平面 PBC;
(2) 若 AB = 2 3 ,PD ⊥ PB,求三棱锥 P - BDM 的体积.
19. (本题满分 12 分)
贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指
标. 党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战,建
立解决相对贫困的长效机制” 对当前和下一个阶段的扶
贫工作进行了前瞻性的部署,即 2020 年要通过精准扶贫
全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.
为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.
对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个
销售季度内,每售出一吨该产品获利 5 万元,未售出的商品,每吨亏损 2 万元. 根据往年的销售
经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示. 设该厂在下个销售周期内
生产 210 吨该产品,以 x(单位:吨,180 ≤ x ≤ 230) 表示下一个销售周期市场的需求量,Y(单
位:万元) 表示下一个销售周期市场的销售总利润,视 x 分布在各区间内的频率为相应的概率.
)页4共(页3第 )类史文(诊二学数
(1) 求实数 a 的值;
(2) 将 Y 表示成 x 的函数,并求出解析式;
(3) 估计销售利润不少于 910 万元的概率.
20. (本题满分 12 分)
已知椭圆 C:
x2
a2
+ y2
b2
= 1(a > b > 0) 的离心率为 5
5 ,右焦点为抛物线 y2 = 4x 的焦点 F.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2)O 为坐标原点,过 O 作两条射线,分别交椭圆于 M、N 两点,若 OM、ON 斜率之积为 - 4
5 ,
求证:△MON 的面积为定值.
21. (本题满分 12 分)
已知函数 f(x) = eax - x(a ∈ R,e 为自然对数的底数).
(1) 若 f(x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围;
(2) 若 f(x) 有两个零点 x
1 、x
2 ,且 x
1
< x
2 ,求证:x
1 ·x
2
> e2 .
请考生在
22、23
二题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多做,则按所做第
一个题目计分,做答时,请用
2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. [选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本题满分 10 分)
已知点 A 为圆 C:(x - 1)
2 + y2 = 1 上的动点,O 为坐标原点,过 P(0,4) 作直线 OA 的垂线
(当 A、O 重合时,直线 OA 约定为 y 轴),垂足为 M,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系.
(1) 求点 M 的轨迹的极坐标方程;
(2) 直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ + π
3
( ) = 4,连接 OA 并延长交 l 于 B,求
OA
OB
的最大值.
23. [选修 4 - 5:不等式选讲](本题满分 10 分)
已知函数 f(x) = x + 1 .
(1) 求不等式 f(x) ≤ 4 - 2x - 3 的解集;
(2) 若正数 m、n
满足 m + 2n = mn,求证:f(m) + f( - 2n) ≥ 8.
)页4共(页4第 )类史文(诊二学数
德阳市高中 2017 级“二诊”试题
数学参考答案与评分标准
(文史类)
一、选择题
(每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C A C A B D C B D D
二、填空题
(每小题 5 分,共 20 分)
13.
- 5 14.
2
5 15.
1
4 16.
(12, +
∞ ).
三、解答题
17. 解:(1) ∵ 2
1
·a
1
+ 2
2
·a
2
+ 2
3
·a
3
+ … + 2
n
·an = (n - 1)·2
n+1 + 2 ①
∴ 当 n = 1 时,2
1
·a
1
= 2
∴ a
1
= 1 2 分……………………………………………………………………
当 n ≥ 2 时,2
1
·a
1
+ 2
2
·a
2
+ 2
3
·a
3
+ … + 2
n-1
·an-1
= (n - 2)·2
n + 2 ②
① - ② 得:2
n
·an = n·2
n
∴ an = n
适合 a
1
= 1,故 an = n. 6 分………………………………………………………
(2) 1an ·an+2
= 1n(n + 2)
= 1
2
1n - 1n + 2
( ) 8 分……………………………………
∴ Sn = 1
2
1
1
- 1
3
( ) + 1
2
- 1
4
( ) + 1
3
- 1
5
( ) + … + 1n - 1n + 2
( )é
ë
êê
ù
û
úú
= 1
2 1 + 1
2
- 1n + 1
- 1n + 2
( )
= n(3n + 5)
4(n + 1)(n + 2)
. 12 分………………
18. (1) 证明:设 AB 中点为 N,连接 MN、DN
∵ △ABD 为等边三角形
∴ DN ⊥ AB
∵ DC = CB,∠DCB = 120°
)页7共( 页1第案答)类史文(学数级7102高
∴ ∠CBD = 30°
∴ ∠ABC = 60° + 30° = 90° 即 CB ⊥ AB
∵ DN ⊥ AB ∴ DN ∥ BC
∵ BC ⊂ 平面 PBC,DN ⊄ 平面 PBC
∴ DN ∥ 平面 PBC 2 分………………………………………………………
∵ MN 为 △PAB 的中位线
∴ MN ∥ PB
∵ PB ⊂ 平面 PBC,MN ⊄ 平面 PBC
∴ MN ∥ 平面 PBC 4 分………………………………………………………
∵ MN、DN 为平面 DMN 内二相交直线
∴ 平面 DMN ∥ 平面 PBC
∵ DM ⊂ 平面 DMN
∴ DM ∥ 平面 PBC. 6 分………………………………………………………
(2) 解:设 BD 中点为 O,连接 AO、CO
∵ △ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角 ∠BCD = 120°
∴ AO ⊥ BD,CO ⊥ BD ∴ A、C、O 共线
∵ PC ⊥ BD,BD ⊥ CO,PC ∩ CO = C,PC,CO ⊂ 平面 PCO
∴ BD ⊥ 平面 PCO. 7 分…………………………………………………………
∵ PO ⊂ 平面 PCO ∴ BD ⊥ PO
∵ 平面 PBD ⊥ 平面 ABCD,交线为 BD,PO ⊂ 平面 PBD
∴ PO ⊥ 平面 ABCD. 8 分………………………………………………………
∵ AB = 2 3 ∴ AO = 3
∵ PD ⊥ PB,O 为 BD 中点
∴ PO = 1
2
BD = 3 10 分………………………………………………………
∴ VP-BDM = 1
2
VP-ABD = 1
2 · 1
3 ·S
△ABD ·PO = 1
6
× 1
2
× AO × BD × PO = 3
2
.
12 分…………………………………………………………………………
19. 解:(1) 由(0. 01 + 0. 015 + a + 0. 03 + 0. 01) × 10 = 1 得:
a = 0. 035. 4 分……………………………………………………………………
(2) 当 x ≥ 210 时,Y = 210 × 5 = 1050 5 分………………………………………
)页7共( 页2第案答)类史文(学数级7102高
当 x < 210 时,Y = 5x - (210 - x) × 2 = 7x - 420 7 分………………………
∴ Y = 7x - 420 180 ≤ x < 210
1050 210 ≤ x ≤ 230
{ 8 分…………………………………………
(3) 当 210 ≤ x ≤ 230 时,Y = 1050 > 910 9 分……………………………………
由 7x - 420 ≥ 910 得:x ≥ 190 10 分…………………………………………
P(x ≥ 190) = 1 - 0. 01 × 10 = 0. 9 11 分………………………………………
∴ 估计销售利润不少于 910 万元的概率为 0. 9. 12 分………………………
20. 解:(1) 抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F(1,0)
∴ c = 1
∵ e = 5
5 ∴
c
a = 5
5
∴ a = 5 ,b = 2
∴ 椭圆方程为x2
5
+ y2
4
= 1. 3 分…………………………………………………
(2) à 当 MN 与 x 轴垂直时,设直线 MN 的方程为:x = t( - 5 < t < 5 ,t ≠ 0)
代入x2
5
+ y2
4
= 1 得:M t,2 5 - t2
5
( ) ,N t, - 2 5 - t2
5
( )
∴ k
1 ·k
2
= 2 5 - t2
5t ·
- 2 5 - t2
5t = - 4
5 ·5 - t2
t2
∴ - 4
5 ·5 - t2
t2
= - 4
5 解得:t2 = 5
2
∴ S
△MON = 1
2
t ·4 5 - t2
5
= 5 . 4 分……………………………………
á 当 MN 与 x 轴不垂直时,设 M(x
1 ,y
1 ),N(x
2 ,y
2 ),MN 的方程为 y = kx + m
由
y = kx + m
x2
5
+ y2
4
= 1
ì
î
í
ïï
ïï ⇒(4 + 5k2
)x2 + 10kmx + 5m2 - 20 = 0 5 分……………
由 △ > 0⇒5k2 + 4 > m2
…………①
x
1
+ x
2
= - 10km
4 + 5k2 ,x
1 ·x
2
= 5m2 - 20
4 + 5k2 6 分…………………………………
)页7共( 页3第案答)类史文(学数级7102高
∵ kOM ·kON = - 4
5 ∴
y
1
x
1
·
y
2
x
2
= - 4
5 ∴ 5y
1
y
2
+ 4x
1
x
2
= 0 7 分……
即(5k2 + 4)x
1 ·x
2
+ 5mk(x
1
+ x
2 ) + 5m2 = 0
∴ (5k2 + 4)·5m2 - 20
4 + 5k2
+ 5mk·
- 10km
4 + 5k2( ) + 5m2 = 0
整理得:2m2 = 5k2 + 4 9 分…………………………………………………
代入 ① 得:m ≠ 0
MN = 1 + k2
(x
1
+ x
2 )
2 - 4x
1 ·x
2
= 1 + k2
·
- 10km
4 + 5k2( ) 2
- 4 5m2 - 20
4 + 5k2( )
= 4 5 1 + k2 5k2 + 4 - m2
4 + 5k2 10 分………………………………
O 到 MN 的距离 d =
m
1 + k2 11 分…………………………………………
∴ S
△MON = 1
2
MN d
= 2 5 m 5k2 + 4 - m2
4 + 5k2
= 2 5 m 2m2 - m2
2m2
= 5
综上:S
△MON = 5 为定值. 12 分………………………………………………
21. 解:(1) f(x) 有两个零点 ⇔ 关于 x 的方程 eax = x 有两个相异实根
由 eax > 0,知 x > 0
∴ f(x) 有两个零点 ⇔
a = lnx
x 有两个相异实根. 2 分…………………………
令 G(x) = lnx
x ,则 G′(x) = 1 - lnx
x2
由 G′(x) > 0 得:0 < x < e
,由 G′(x) < 0 得:x > e
∴ G(x) 在(0,e) 单调递增,在(e, +
∞ ) 单调递减
)页7共( 页4第案答)类史文(学数级7102高
∴ G(x) max
= G(e) = 1e 3 分……………………………………………………
又 ∵ G(1) = 0 ∴ 当 0 < x < 1 时,G(x) < 0,当 x > 1 时,G(x) > 0
当 x →
+
∞
时,G(x) → 0 4 分…………………………………………………
∴ f(x) 有两个零点时,实数 a 的取值范围为 0, 1e( ) . 5 分……………………
(2) 由题意得
eax
1 = x
1
eax
2 = x
2
{ ∴ x
1
> 0,x
2
> 0 ∴
ax
1
= lnx
1
ax
2
= lnx
2
{
∴ a(x
1
+ x
2 ) = lnx
1
+ lnx
2 …………
①
a(x
2
- x
1 ) = lnx
2
- lnx
1
∵ x
1
< x
2
∴ a = lnx
2
- lnx
1
x
2
- x
1
6 分……………………………………………………………
要证:x
1 ·x
2
> e2
,只需证 lnx
1
+ lnx
2
> 2
由 ① 知:lnx
1
+ lnx
2
= a(x
1
+ x
2 ) = lnx
2
- lnx
1
x
2
- x
1
·(x
1
+ x
2 ) =
x
2
x
1
+ 1
x
2
x
1
- 1
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷·ln
x
2
x
1
∵ 0 < x
1
< x
2 ∴
x
2
x
1
> 1
令 t = x
2
x
1
,t > 1
∴ 只需证 t + 1t - 1
( )·lnt > 2 7 分…………………………………………………
∵ t > 1 ∴
t + 1t - 1
> 0
∴ 只需证:lnt > 2(t - 1)t + 1 8 分…………………………………………………
令 F(t) = lnt - 2(t - 1)t + 1 (t > 1) 9 分…………………………………………
∴ F′(t) = 1t - 4
(t + 1)
2
= (t - 1)
2
t(t + 1)
2
> 0 10 分………………………………
∴ F(t) 在(1, +
∞ ) 递增
)页7共( 页5第案答)类史文(学数级7102高
∴ F(t) > F(1) = 0 ∴ lnt > 2(t - 1)t + 1 11 分………………………………
即 lnx
1
+ lnx
2
> 2,即 x
1 ·x
2
> e2 . 12 分………………………………………
22. 解:(1) 设 M 的极坐标为(ρ,θ),在 △OPM 中,有 ρ = 4sinθ
∴ 点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ = 4sinθ. 4 分………………………………
(2) 设射线 OA:θ = α,α ∈ - π
2 ,
π
2
( ) ,圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2cosθ
由
ρ = 2cosθ
θ = α{ 得: OA = ρ
1
= 2cosα 5 分………………………………………
由
ρsin θ + π
3
( ) = 4
θ = α
ì
î
í
ïï
ïï
得: OB = ρ
2
= 4
sin α + π
3
( ) 6 分………………………
∴
OA
OB
= 2cosα
4
sin α + π
3
( )
= 1
2 cosα·sin α + π
3
( )
= 1
2 cosα sinαcos
π
3
+ cosαsin
π
3
( )
= 1
4 sinαcosα + 3
4 cos
2 α
= 1
8 sin2α + 3
8 (cos2α + 1)
= 1
4 sin 2α + π
3
( ) + 3
8 8 分…………………………………………
∵ α ∈ - π
2 ,
π
2
( ) ∴ - 2π
3
< 2α + π
3
< 4π
3
∴ 当 2α + π
3
= π
2 ,即 α = π
12
时,
OA
OB( )
max
= 2 + 3
8 9 分…………………
∴
OA
OB
的最大值为2 + 3
8
. . 10 分…………………………………………
)页7共( 页6第案答)类史文(学数级7102高
23. 解:(1) f(x) ≤ 4 - 2x - 3 等价于 ì
x < - 1
- (x + 1) - (2x - 3) ≤ 4
{ 或
í
- 1 ≤ x ≤ 3
2
(x + 1) - (2x - 3) ≤ 4
ì
î
í
ïï
ïï
或 î
x > 3
2
(x + 1) + (2x - 3) ≤ 4
ì
î
í
ïï
ïï
由 ì 得:
x < - 1
x ≥- 2
3
ì
î
í
ïï
ïï ⇒x ∈ Ø
由 í 得:
- 1 ≤ x ≤ 3
2
x ≥ 0
ì
î
í
ïï
ïï ⇒0 ≤ x ≤ 3
2
由 î 得:
x > 3
2
x ≤ 2
ì
î
í
ïï
ïï ⇒ 3
2
< x ≤ 2
∴ 原不等式的解集为 x 0 ≤ x ≤ 2{ } . 5 分……………………………………
(2) ∵ m > 0,n > 0,m + 2n = mn
∴ m + 2n = 1
2 (m·2n) ≤ 1
2
× (m + 2n)
2
4
∴ m + 2n ≥ 8 7 分………………………………………………………………
当且仅当
m = 2n
m + 2n = mn{ ,即
m = 4
n = 2
{ 时取等号
∴ f(m) + f( - 2n) = m + 1 + - 2n + 1 ≥ m + 2n ≥ 8 9 分………
当且仅当 - 2n + 1 ≤ 0 即 n ≥ 1
2
时取等号
∴ f(m) + f( - 2n) ≥ 8. 10 分…………………………………………………
)页7共( 页7第案答)类史文(学数级7102高
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