2021高考数学一轮复习第10章算法初步统计与统计案例第2节抽样方法教学案文北师大版 6页

- 1 - 第二节 抽样方法 [最新考纲] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽 取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法． (对应学生用书第 177 页) 1．抽样调查 (1)抽样调查 通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据， 并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查． (2)总体和样本 调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本． (3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点： ①迅速、及时； ②节约人力、物力和财力． 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同． (2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 3．分层抽样 (1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占 比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第 一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法也叫等距抽样或机 械抽样． [常用结论] 1．无论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． 2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔 k 的整数倍． 3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比． - 2 - 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． ( ) (2)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体． ( ) (3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关． ( ) (4)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取 60 名代表，则可用分层 抽样方法抽取． ( ) [答案](1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是( ) A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 A [从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取 200 名居民的阅读时间，样本容量是 200， 抽取的 200 名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000 名居民 的阅读时间的全体是总体．] 2．某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本， 已知 3 号，29 号，42 号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( ) A．10 B．11 C．12 D．16 D [分段间隔为 k＝52 4 ＝13，则还有一个学生的学号为 16.] 3．从编号为 1～50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验， 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ) A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32 B [分段间隔为 k＝50 5 ＝10，故选 B.] 4．某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35～49 岁的有 280 人，50 岁以上 的有 95 人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取 100 名员工，则应在这三个年龄段分别 抽取人数为( ) A．33,34,33 B．25,56,19 C．20,40,30 D．30,50,20 B [因为 125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为 25,56,19.] - 3 - (对应学生用书第 178 页) ⊙考点 1 简单随机抽样 抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可 用抽签法． 1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是( ) A．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 B [因为 A，D 中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的产品质量 可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B 中总体容量和样本容量都 较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．] 2．总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个 体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B．07 C．02 D．01 D [从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01， 所以第 5 个个体编号为 01.] 随机数表中每一列数是由每一行的一个数字组成的，而不是 4 个数字组成的． ⊙考点 2 系统抽样 系统抽样中所抽取编号的特点 系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是 第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所 要抽取的样本号码． (1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号 - 4 - 学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是( ) A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 (2)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 009，抽到的 32 人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间[451,750]的人做问卷 B，其余的人 做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15 (1)C (2)C [(1)根据题意，系统抽样是等距抽样， 所以抽样间隔为1 000 100 ＝10. 因为 46 除以 10 余 6，所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的数，结合选项知应为 616. 故选 C. (2)从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则将整体分成 32 组，每组 30 人，因为第一 组抽到的号码为 009，则第二组抽到的号码为 039，第 n 组抽到的号码为 an＝9＋30·(n－1) ＝30n－21，由 451≤30n－21≤750，得236 15 ≤n≤257 10 ，所以 n＝016,017，…，025，共有 25 －16＋1＝10(人)．] [母题探究] 若本例(2)中条件变为“若第 5 组抽到的号码为 129”，求第 1 组抽到的号码． [解] 设第 1 组抽到的号码为 x，则第 5 组抽到的号码为 x＋(5－1)×30，由 x＋(5－ 1)×30＝129，解得 x＝9，因此第 1 组抽到的号码为 009. 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽 样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行． 1.利用系统抽样法从编号分别为 1,2,3，…，80 的 80 件不同产品中抽取一个容 量为 16 的样本，如果抽出的产品中有一个产品的编号为 13，则抽到产品的最大编号为( ) A．73 B．78 C．77 D．76 B [分段间隔为 k＝80 16 ＝5，则抽出的产品最小编号为 3，从而抽到产品的最大编号为 3 ＋15×5＝78，故选 B.] 2．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 001,002，…，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) - 5 - A．11 B．12 C．13 D．14 B [由系统抽样定义可知，所分组距为840 42 ＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所 以抽取个体在区间[481,720]的数目为720－480 20 ＝12，故选 B.] ⊙考点 3 分层抽样 分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进 行计算．其中抽样比＝样本容量 总体容量 ＝各层样本数量 各层个体数量 . (3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况． (1)(2019·洛阳模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所 示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查， 则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) 甲 乙 A．100,10 B．100,20 C．200,10 D．200,20 (2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件．为 了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调 查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于( ) A．9 B．10 C．12 D．13 (1)D (2)D [(1)由题得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200， 抽取的高中生人数为 2 000×2%＝40，则近视人数为 40×0.5＝20，故选 D. (2)抽样比为 3 60 ＝ 1 20 ，则 n＝ 1 20 (120＋80＋60)＝13，故选 D.] 分层抽样中每一层的抽样比相同． [教师备选例题] - 6 - 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 20 000 人， 其中各种态度对应的人数如下表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4 800 7 200 6 400 1 600 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取 100 人进行详细的调查，为此要 进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( ) A．25,25,25,25 B．48,72,64,16 C．20,40,30,10 D．24,36,32,8 D [法一：因为抽样比为 100 20 000 ＝ 1 200 ，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800× 1 200 ＝ 24,7 200× 1 200 ＝36,6 400× 1 200 ＝32,1 600× 1 200 ＝8. 法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为 4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2， 所 以 每 类 人 中 应 抽 取 的 人 数 分 别 为 6 6＋9＋8＋2 ×100 ＝ 24 ， 9 6＋9＋8＋2 ×100 ＝ 36 ， 8 6＋9＋8＋2 ×100＝32， 2 6＋9＋8＋2 ×100＝8.] 1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 3∶5∶7，现用分 层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n 等于( ) A．54 B．90 C．45 D．126 B [依题意得 3 3＋5＋7 ×n＝18，解得 n＝90，即样本容量为 90.] 2．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 18 [∵样本容量 总体个数 ＝ 60 200＋400＋300＋100 ＝ 3 50 ， ∴应从丙种型号的产品中抽取 3 50 ×300＝18(件)．]