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  • 2021-06-19 发布

2020年高中数学 第一讲三个正数的算术—几何平均不等式

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‎1.1.3‎‎ 三个正数的算术—几何平均不等式 ‎[A级 基础巩固]‎ 一、选择题 ‎1.正实数x,y,z满足xyz=2,则(  )‎ A.x+y+z的最大值是3 B.x+y+z的最大值是3 C.x+y+z的最小值是3 D.x+y+z的最小值是3 解析:由三个正数的算术—几何平均不等式,得x+y+z≥3=3,当且仅当x=y=z=时,x+y+z取得最小值3.‎ 答案:D ‎2.已知x∈R+,有不等式:x+≥2=2,x+=++≥3=3,….启发我们可能推广结论为:x+≥n+1(n∈N*),则a的值为(  )‎ A.nn    B.2n C.n2 D.2n+1‎ 解析:x+=++…+,sup6(,n个))+,要使和式的积为定值,则必须nn=a.‎ 答案:A ‎3.若a>b>0,则a+的最小值为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:因为a+=(a-b)+b+≥‎ ‎3=3,当且仅当a=2,b=1时取等号,所以a+的最小值为3.‎ 答案:D ‎4.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是(  )‎ 5‎ A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]‎ C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)‎ 解析:因为lg x+lg y+lg z=lg(xyz),‎ 而xyz≤=23,‎ 所以lg x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,取等号.‎ 答案:B ‎5.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(  )‎ A.3 B.2 C.12 D.12 解析:2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=12.‎ 当且仅当x=2y=3z=2时等号成立.‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.将实数1分为三个正数之和,则这三个正数之积的最大值是________.‎ 解析:设这三个正数分别是a,b,c,则a+b+c=1,所以abc≤=,当且仅当a=b=c=时,abc取得最大值.‎ 答案: ‎7.函数f(x)=x(5-2x)2的最大值是________.‎ 解析:f(x)=×4x(5-2x)(5-2x)≤‎ =,‎ 当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.‎ 故函数f(x)=x(5-2x)2的最大值为.‎ 答案: ‎8.若实数x,y满足x,y>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是________.‎ 解析:由x2y=2,得y=,代入xy+x2,得 xy+x2=x·+x2=+x2=++x2≥3,‎ 5‎ 当且仅当=x2,即x=1,y=2时取等号.‎ 答案:3‎ 三、解答题 ‎9.θ为锐角,求y=sin θ·cos2θ的最大值.‎ 解:y2=sin2θcos2θcos2θ=·2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ)≤=.‎ 当且仅当2sin2θ=1-sin2θ,即sin θ=时取等号.‎ 所以ymax=.‎ ‎10.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.‎ 证明:因为a,b,c均为正数,由算术—几何平均不等式,得a2+b2+c2≥3(abc),①‎ ++≥3(abc)-.‎ 所以≥9(abc)-.②‎ 故a2+b2+c2+≥3(abc)+9(abc)-.‎ 又3(abc)+9(abc)-≥2=6,③‎ 所以原不等式成立.‎ 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.‎ 当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立.‎ 即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.‎ B级 能力提升 ‎1.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列总成立的是(  )‎ A.V≥π      B.V≤π C.V≥π D.V≤π 解析:设圆柱半径为r,则圆柱的高h=,所以圆柱的体积为V=πr2·h=πr 5‎ ‎2·=πr2(3-2r)≤‎ π=π.‎ 当且仅当r=3-2r,即r=1时取等号.‎ 答案:B ‎2.若a>2,b>3,则a+b+的最小值为______.‎ 解析:因为a>2,b>3,所以a-2>0,b-3>0,‎ 则a+b+=(a-2)+(b-3)++5≥3+5=8.‎ 当且仅当a-2=b-3=,即a=3,b=4时等号成立.‎ 答案:8‎ ‎3.如图,在一张半径是‎2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E=,这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?‎ 解:因为r=,‎ 所以E=k·,‎ 所以E2=·sin2θ·cos4θ=·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·=,‎ 当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,‎ 即tan2θ=,tan θ=,‎ 所以h=2tan θ=,即h=时,E最大.‎ 5‎ 所以当灯的高度h为 m时,才能使桌子边缘处最亮.‎ 5‎