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- 2021-06-19 发布
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1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1.正实数x,y,z满足xyz=2,则( )
A.x+y+z的最大值是3
B.x+y+z的最大值是3
C.x+y+z的最小值是3
D.x+y+z的最小值是3
解析:由三个正数的算术—几何平均不等式,得x+y+z≥3=3,当且仅当x=y=z=时,x+y+z取得最小值3.
答案:D
2.已知x∈R+,有不等式:x+≥2=2,x+=++≥3=3,….启发我们可能推广结论为:x+≥n+1(n∈N*),则a的值为( )
A.nn B.2n
C.n2 D.2n+1
解析:x+=++…+,sup6(,n个))+,要使和式的积为定值,则必须nn=a.
答案:A
3.若a>b>0,则a+的最小值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:因为a+=(a-b)+b+≥
3=3,当且仅当a=2,b=1时取等号,所以a+的最小值为3.
答案:D
4.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是( )
5
A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]
C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)
解析:因为lg x+lg y+lg z=lg(xyz),
而xyz≤=23,
所以lg x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,取等号.
答案:B
5.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为( )
A.3 B.2
C.12 D.12
解析:2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=12.
当且仅当x=2y=3z=2时等号成立.
答案:C
二、填空题
6.将实数1分为三个正数之和,则这三个正数之积的最大值是________.
解析:设这三个正数分别是a,b,c,则a+b+c=1,所以abc≤=,当且仅当a=b=c=时,abc取得最大值.
答案:
7.函数f(x)=x(5-2x)2的最大值是________.
解析:f(x)=×4x(5-2x)(5-2x)≤
=,
当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.
故函数f(x)=x(5-2x)2的最大值为.
答案:
8.若实数x,y满足x,y>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是________.
解析:由x2y=2,得y=,代入xy+x2,得
xy+x2=x·+x2=+x2=++x2≥3,
5
当且仅当=x2,即x=1,y=2时取等号.
答案:3
三、解答题
9.θ为锐角,求y=sin θ·cos2θ的最大值.
解:y2=sin2θcos2θcos2θ=·2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ)≤=.
当且仅当2sin2θ=1-sin2θ,即sin θ=时取等号.
所以ymax=.
10.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
证明:因为a,b,c均为正数,由算术—几何平均不等式,得a2+b2+c2≥3(abc),①
++≥3(abc)-.
所以≥9(abc)-.②
故a2+b2+c2+≥3(abc)+9(abc)-.
又3(abc)+9(abc)-≥2=6,③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.
当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.
B级 能力提升
1.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列总成立的是( )
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
解析:设圆柱半径为r,则圆柱的高h=,所以圆柱的体积为V=πr2·h=πr
5
2·=πr2(3-2r)≤
π=π.
当且仅当r=3-2r,即r=1时取等号.
答案:B
2.若a>2,b>3,则a+b+的最小值为______.
解析:因为a>2,b>3,所以a-2>0,b-3>0,
则a+b+=(a-2)+(b-3)++5≥3+5=8.
当且仅当a-2=b-3=,即a=3,b=4时等号成立.
答案:8
3.如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E=,这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?
解:因为r=,
所以E=k·,
所以E2=·sin2θ·cos4θ=·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·=,
当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,
即tan2θ=,tan θ=,
所以h=2tan θ=,即h=时,E最大.
5
所以当灯的高度h为 m时,才能使桌子边缘处最亮.
5
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