2020高中数学 第一章生活中的优化问题举例 9页

‎1.4　生活中的优化问题举例 学习目标：1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．‎ ‎2．用导数解决优化问题的基本思路 思考：解决生活中优化问题应注意什么？‎ ‎[提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．‎ ‎(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：大度、宽度应大于0，销售价为正数等．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ‎(　　)‎ A．7万件　　　 B．9万件 C．11万件 D．13万件 B　[设y＝f(x)，‎ 即f(x)＝－x3＋81x－234.‎ 故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，‎ 解得x＝9或x＝－9(舍去)．‎ 当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；‎ 当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．‎ 因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．‎ 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]‎ ‎2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 9‎ 小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)‎ ‎ 【导学号：31062069】‎ A．8 B． C．－1 D．－8‎ C　[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，‎ ‎∵0≤x≤5，‎ ‎∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，‎ 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]‎ ‎3．做一个容积为‎256 m3‎的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 ‎(　　)‎ A．‎6 m B．‎‎8 m C．‎4 m D．‎‎2 m C　[设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]‎ ‎4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大. ‎ ‎【导学号：31062070】‎ ‎[解析]　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)‎ ‎＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，‎ 由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．‎ ‎[答案]　115‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 面积、体积的最值问题 ‎　请你设计一个包装盒，如图141，ABCD是边长为‎60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．‎ 9‎ 图141‎ ‎(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？‎ ‎(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎[解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.‎ 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.‎ ‎(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，‎ 所以当x＝15时，S取得最大值．‎ ‎(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．‎ 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.‎ 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.‎ 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．‎ 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.‎ ‎[规律方法]　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．周长为‎20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3. ‎ ‎【导学号：31062071】‎ ‎[解析]　设矩形的长为x cm，‎ 则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．‎ 由题意可知圆柱体积为 V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.‎ ‎∴V′＝20πx－3πx2，‎ 令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，‎ 且当x∈时，V′(x)＞0，‎ 9‎ 当x∈时，V′(x)＜0，‎ ‎∴当x＝时，V(x)max＝π cm3.‎ ‎[答案]　π 用料最省、成本(费用)最低问题 ‎　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎(1)求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．‎ ‎[思路探究]　(1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．‎ ‎(2)求导数式f(x)的最小值．‎ ‎[解]　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.‎ 而建造费用为C1(x)＝6x.‎ 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝‎20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．‎ ‎(2)f′(x)＝6－，‎ 令f′(x)＝0，即＝6，‎ 解得x＝5或x＝－(舍去)．‎ 当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.‎ 当隔热层修建‎5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．‎ ‎[规律方法]‎ 9‎ ‎　1.用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. ‎2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，‎ ‎(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；‎ ‎(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值. ‎ ‎【导学号：31062072】‎ ‎[解]　(1)Q＝P· ‎＝· ‎＝·400‎ ‎＝－v2＋6 000(00，‎ ‎∴v＝‎80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．‎ 利润最大、效率最高问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？‎ 提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．‎ ‎2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？‎ 提示：(1)利润＝收入－成本．‎ ‎(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．‎ ‎　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y 9‎ ‎(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎[思路探究]　(1)根据x＝5时，y＝11求a的值．‎ ‎(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．‎ ‎[解]　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.‎ ‎(2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝＋10(x－6)2，‎ 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，‎ 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]‎ ‎＝30(x－4)·(x－6)，‎ 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎(4,6)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极大值42‎  由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，‎ 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.‎ 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ 母题探究：(变条件)本例条件换为：‎ 该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋，(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产‎800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出‎150千克．‎ ‎(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大，(≈2.65)‎ ‎[解]　(1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，‎ 又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.‎ 9‎ ‎∴y＝，‎ ‎(2)由题意：‎ f(x)＝y(x－1)＝‎ ，‎ 当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，‎ f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，‎ ‎∴由f′(x)＞0，得＜x＜3，‎ ‎∴f(x)在，(3,4)上递增，在上递减，‎ ‎∵f＝＋450＜f(4)＝1 800，‎ ‎∴当x＝4时有最大值，f(4)＝1 800‎ 当4＜x≤12时，‎ f(x)＝(x－1)＝2 900－100x＋≤2 900－400≈1 840，‎ 当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，‎ ‎∴x＝5.3时有最大值1 840，‎ ‎∵1 800＜1 840，‎ ‎∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大．‎ ‎[规律方法]　利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值. 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(00，‎ 此时V(x)单调递增；‎ 当40