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  • 2021-06-19 发布

2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式达标检测新人教A版选修4-5

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第一讲 不等式和绝对值不等式 达标检测 ‎ 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若a>b>c,则-(  )‎ A.大于0       B.小于0‎ C.小于等于0 D.大于等于0‎ 解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0,‎ ‎∴<,∴->0.故选A.‎ 答案:A ‎2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(  )‎ A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 解析:∵a+b>0,b<0,‎ ‎∴a>-b>0,0>b>-a,‎ ‎∴a>-b>b>-a.‎ 答案:C ‎3.若logxy=-2,则x+y的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:由logxy=-2得y=,而x+y=x+=++≥3=3=.‎ 答案:A ‎4.已知|x-a|0,b>0,a+b=1,则的最小值是(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析: ‎= ‎==+1,‎ ‎∵a+b=1,∴2≤1.‎ ‎∴ab≤,∴≥9.‎ 答案:D ‎11.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-‎3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(-∞,-1]∪[4,+∞)‎ B.(-∞,-2]∪[5,+∞)‎ C.[1,2]‎ D.(-∞,1]∪[2,+∞)‎ 解析:因为-4≤|x+3|-|x-1|≤4,且|x+3|-|x-1|≤a2-‎3a对任意x恒成立,‎ 所以a2-‎3a≥4,即a2-‎3a-4≥0,‎ 解得a≥4,或a≤-1.‎ 答案:A ‎12.设0时,原不等式转化为4x≤6⇒x≤;‎ 当-≤x≤时,原不等式转化为2≤6,恒成立;‎ 当x<-时,原不等式转化为-4x≤6⇒x≥-.‎ 由上综合知,原不等式的解集为.‎ 法二:原不等式可化为|x-|+|x+|≤3,其几何意义为数轴上到,-两点的距离之和不超过3的点的集合.数形结合知,当x=或x=-时,到,-两点的距离之和恰好为3,故当-≤x≤时,满足题意,则原不等式的解集为.‎ 答案: ‎14.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是________.‎ 解析:因为x,a,b,y成等差数列,所以x+y=a+b,‎ 又x,c,d,y成等比数列,所以xy=cd,===++2≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号.‎ 答案:4‎ ‎15.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.‎ 解析:(x+y)=1+a++≥1+a+2,‎ ‎∴1+a+2≥9,即a+2-8≥0,故a≥4.‎ 答案:4‎ ‎16. 下面四个命题:①若a>b,c>1,则alg c>blg c;‎ 7‎ ‎②若a>b,c>0,则alg c>blg c;‎ ‎③若a>b,则a·‎2c>b·‎2c;‎ ‎④若a0,则>.‎ 其中正确命题有________.(填序号)‎ 解析:②不正确,因为00,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.‎ 解析:∵6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6,‎ ‎∴x2y3z≤1(当=y=4z时,取“=”).‎ ‎∴x=2,y=1,z=时,x2y3z取得最大值1.‎ ‎18.(12分)已知ab≠0,且a>b,试比较与的大小.‎ 解析:-=,‎ ‎∵ab≠0,a>b,∴b-a<0,‎ 如果ab<0,>0,∴>,‎ 如果ab>0,<0,∴<.‎ ‎19.(12分)解不等式|2x-4|-|3x+9|<1.‎ 解析:①当x>2时,原不等式等价于 ⇒x>2.‎ ‎②当-3≤x≤2时,原不等式等价于 ⇒-0,b>0,求证:≥9.‎ 证明:因为a>0,b>0,所以 7‎ a+b+≥3=3>0. ①‎ 同理可证a2++≥3>0. ②‎ 由①,②结合不等式的性质得 ‎≥3×3=9,‎ 当a=b=1时,取等号.‎ ‎21.(13分)已知函数f(x)=|x-a|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解析:(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,‎ 解得a-3≤x≤a+3.‎ 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},‎ 所以解得a=2.‎ ‎(2)法一:当a=2时,f(x)=|x-2|.‎ 设g(x)=f(x)+f(x+5),‎ 于是g(x)=|x-2|+|x+3|= 所以当x<-3时,g(x)>5;‎ 当-3≤x≤2时,g(x)=5;‎ 当x>2时,g(x)>5.‎ 综上所述,g(x)的最小值为5.‎ 从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立.‎ 则m的取值范围为(-∞,5].‎ 法二:当a=2时,f(x)=|x-2|.‎ 设g(x)=f(x)+f(x+5).‎ 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.‎ 从而,若f(x)+f(x+5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为 ‎(-∞,5].‎ ‎22.(13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM‎1M‎2‎M3‎N与路径MN1N都是M到N的“L 7‎ 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);‎ ‎(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ 解析:设点P的坐标为(x,y).‎ ‎(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,‎ x∈R,y∈[0,+∞).‎ ‎(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.‎ ‎①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.‎ 因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)‎ 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.‎ 又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)‎ 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立,‎ 所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.‎ d2(x)=2|y|+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.‎ 故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.‎ ‎②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,‎ d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.‎ 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.‎ 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ 7‎