2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程习题课椭圆的综合问题及应用课件新人教A版选择性必修第一册 32页

习题课　椭圆的综合问题及应用 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 椭圆的中点弦 问题 解 : ( 方法 1) 易知直线 AB 的斜率 k 存在 . 设所求直线的方程为 y- 1 =k ( x- 2), (4 k 2 + 1) x 2 - 8(2 k 2 -k ) x+ 4(2 k- 1) 2 - 16 = 0 . Δ= [ - 8(2 k 2 -k )] 2 - 4(4 k 2 + 1) [4(2 k- 1) 2 - 16] = 16(12 k 2 + 4 k+ 3) > 0, 解得 k ∈ R . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 , x 2 是上述方程的两根 , 故所求直线的方程为 x+ 2 y- 4 = 0 . ( 方法 2) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) . ∵ M (2,1) 为 AB 的中点 , ∴ x 1 +x 2 = 4, y 1 +y 2 = 2 . 又 A , B 两点在椭圆上 , 故所求直线的方程为 x+ 2 y- 4 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ( 方法 3) 设所求直线与椭圆的一个交点为 A ( x , y ), 由于 AB 的中点为 M (2,1), 则另一个交点为 B (4 -x ,2 -y ) . ∵ A , B 两点都在椭圆上 , ① - ② , 得 x+ 2 y- 4 = 0 . 显然点 A 的坐标满足这个方程 . 代入验证可知点 B 的坐标也满足这个方程 , 而过 A , B 的直线只有一条 , 故所求直线的方程为 x+ 2 y- 4 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 处理椭圆的中点弦问题的三种途径 1 . 根与系数的关系法 : 联立直线方程与椭圆方程构成方程组 , 消掉其中的一个未知数 , 得到一个一元二次方程 , 利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解 . 2 . 点差法 : 设出弦的两个端点坐标 , 代入椭圆方程 , 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 . 即 “ 设而不求 ” 思想 , 这也是此类问题最常用的方法 . 3 . 中点转移法 : 先设出弦的一个端点的坐标 , 结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标 , 分别代入椭圆方程作差即得 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线与椭圆的位置 关系 (1) 求椭圆 L 的标准方程 ; (2) 过点 Q (0,2) 的直线 l 与椭圆 L 交于 A 、 B 两点 , 若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点 , 求直线 l 的方程及 |AB| 的大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 易知直线 l 的斜率存在且不为零 , 设直线 l 的斜率为 k ( k ≠0), 设直线 l 的方程为 y=kx+ 2, (4 k 2 + 1) x 2 + 16 kx+ 12 = 0, Δ= (16 k ) 2 - 48(4 k 2 + 1) = 16(4 k 2 - 3) > 0, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 方程思想解决直线与椭圆的位置关系 解决直线与椭圆的位置关系问题 , 一般采用代数法 , 即将直线方程与椭圆方程联立 , 通过判别式 Δ 的符号决定位置关系 . 同时涉及弦长问题时 , 往往采用 “ 设而不求 ” 的办法 , 即设出弦端点的坐标 , 利用一元二次方程根与系数的关系 , 结合弦长公式进行求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1) 求线段 AB 的中点坐标 ; (2) 求 △ OAB 的面积 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 椭圆中的最值与范围 问题 (1) 求点 P 的坐标 ; (2) 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点 , M 到直线 AP 的距离等于 |MB| , 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值 . 思路分析 : (1) 设出点 P 坐标 , 然后根据点 P 在椭圆上以及 PA ⊥ PF , 建立方程组求解 ;(2) 根据两点间的距离公式 , 将椭圆上的点到点 M 的距离 d 表示为点的坐标的函数 , 借助函数方法求得最值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决与椭圆有关的最值或范围问题的方法 (1) 定义法 : 利用椭圆定义转化为几何问题处理 . (2) 数形结合法 : 利用数与形的结合 , 挖掘几何特征 , 寻找最值点 ( 或临界点 ), 进而求解 . (3) 函数法 : 选择恰当的自变量 , 构建目标函数 , 转化为求函数的最值或范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A , B , 若坐标原点 O 在以线段 AB 为直径的圆外 , 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 椭圆中的定点、定值 问题 (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 设 P 是椭圆 C 上异于点 A , B 的一点 , 直线 PA 与 y 轴交于点 M , 直线 PB 与 x 轴交于点 N , 求证 : |AN| · |BM| 为定值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 定点、定值问题的求法 定点、定值是在变化过程中不变的量 , 解决这类问题的基本思想是函数思想 . 具体处理方法有以下两种 : (1) 从特殊关系入手 , 求出定点 ( 定值 ), 再证明这个定点 ( 定值 ) 与变量无关 . (2) 直接推理、计算 , 并在计算过程中消去变量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 数学建模素养 —— 椭圆的实际应用问题 典例 某火星探测器的运行轨道是以火星 ( 其半径 R= 34 百千米 ) 的中心 F 为右焦点的椭圆 . 已知探测器的近火星点 ( 轨道上离火星表面最近的点 ) A 到火星表面的距离为 8 百千米 , 远火星点 ( 轨道上离火星表面最远的点 ) B 到火星表面的距离为 800 百千米 . 假定探测器由近火星点 A 第一次逆时针运行到与轨道中心 O 的距离 为 百 千米时进行变轨 , 其中 a , b 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长 , 求此时探测器与火星表面的距离 ( 精确到 1 百千米 ) . 思路分析 : 先利用待定系数法求出轨道方程 , 再利用探测器变轨时到轨道中心 O 的距离求探测器所在位置的坐标 , 最后求探测器在变轨时与火星表面的距离 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 点评 椭圆上一点到一个焦点的距离 d 的取值范围为 a-c ≤ d ≤ a+c . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤 1 . 结合所给的图形及题意建立适当的直角坐标系 ; 2 . 利用相关的几何知识分析问题 ; 3 . 利用椭圆的有关知识求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 上的任意一点 , 则 |OP| 2 +|PF| 2 的最小值为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 : 依题意可得 F ( - 1,0), 设 P ( x , y ), 则 |OP| 2 +|PF| 2 =x 2 +y 2 + ( x+ 1) 2 +y 2 = 2 x 2 + 2 x+ 1 + 2 y 2 . 所以 |OP| 2 +|PF| 2 =x 2 + 2 x+ 3 = ( x+ 1) 2 + 2, 故当 x=- 1 时 , |OP| 2 +|PF| 2 的最小值等于 2 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 144 内有一点 P (3,2), 过点 P 的弦恰好以 P 为中点 , 则这条弦所在的直线方程为 　　　　　 .   解析 : 设弦的两个端点分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 弦所在直线的斜率为 k. ∵ P (3,2) 为 AB 的中点 , ∴ x 1 +x 2 = 6, y 1 +y 2 = 4 . ∵ 点 A , B 都在椭圆上 , 答案 : 2 x+ 3 y- 12 = 0