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  • 2021-06-19 发布

2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-2函数的单调性与最值课件理北师大版

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第二节  函数的单调性与最值 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 增函数、减函数 增函数 减函数 定 义 在函数 y=f(x) 的定义域内某个区间 A 上的任意两个自变量 x 1 ,x 2 当 x 1 f(x 2 ) 上升 下降 2. 单调性 若函数 y=f(x) 在定义域的某个子集上是 _______ 或是 _______, 则称函数 y=f(x) 在 这个子集上具有单调性 . 增加的 减少的 3. 函数最大值与最小值的定义 前提条件 :y=f(x) 的定义域为 D 、存在实数 M. 相同点 :∃x 0 ∈D, 使得 _______; 不同点 : 最大值中 ∀x∈D, 有 ________, 最小值中 ∀x∈D, 有 ________. 结论 :__ 为最大值 ,__ 为最小值 . f(x 0 )=M f(x)≤M f(x)≥M M M 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 若定义在 R 上的函数 y=f(x), 有 f(-1)f(x 2 ), 而不是区间上的两个 特殊值 . (2)×. 函数在 [1,+∞) 上是增加的 , 说明其增区间 D⊇[1,+∞), 而增区间不一定是 [1,+∞), 所以该说法错误 . (3)×. 多个单调区间一般不能用“ ∪” 符号连接 , 而应用“ ,” 或“和”连接 , 而 本题用“ ∪” 就不正确 , 如 . (4)√. 由单调性的定义可知是正确的 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 忽略函数的定义域 考点一、 T2 、 3 2 分式中分子、分母均含变量 , 不经变换直接求值域 考点二、 T1 3 忽略分段函数在不同自变量区间上的解析式 考点三、角度 3 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 1P39 练习 T3 改编 ) 函数 y= 在 [2,3] 上的最小值为 (    ) A.2 B. C. D. 【解析】 选 B. 因为 y= 在 [2,3] 上是减少的 , 所以 y min = = . 2.( 必修 1P58T1 改编 ) 若函数 y=x 2 -2ax+1 在 (-∞,2] 上是减少的 , 则实数 a 的取值范围是 (    ) A.(-∞,-2] B.[-2,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,2] 【解析】 选 C. 函数 y=x 2 -2ax+1 图像的对称轴为 x=a, 要使该函数在 (-∞,2] 上是减少的 , 需 a≥2. 3.( 必修 1P56T8 改编 ) 设定义在 [-1,7] 上的函数 y=f(x) 的图像如图所示 , 则函数 y=f(x) 的增区间为      .  【解析】 由图可得 ,x∈[-1,1] 时从左向右图像上升 ,x∈[1,5] 时从左向右图像下降 .x∈[5,7] 时 , 从左向右图像上升 . 所以函数 f(x) 的增区间为 [-1,1],[5,7]. 答案 : [-1,1],[5,7] 解题新思维 最值和单调性的几个结论的应用    【结论】 1. 设 ∀x 1 ,x 2 ∈D(x 1 ≠x 2 ), 则 ①x 1 -x 2 >0(<0),f(x 1 )-f(x 2 )>0(<0)⇔f(x) 在 D 上是增加的 ;x 1 -x 2 >0(<0), f(x 1 )-f(x 2 )<0(>0)⇔f(x) 在 D 上是减少的 ; ② >0( 或 (x 1 -x 2 )[f(x 1 )-f(x 2 )]>0)⇔f(x) 在 D 上是增加的 ; ③ <0( 或 (x 1 -x 2 )[f(x 1 )-f(x 2 )]<0)⇔f(x) 在 D 上是减少的 . 2.(1) 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 , 当函数在闭区间上单调时 最值一定在端点处取到 . (2) 开区间上的“单峰”函数一定存在最大值 ( 或最小值 ). 3. 函数 y=f(x)(f(x)>0) 在公共定义域内与 y=-f(x),y= 的单调性相反 . 4.“ 对勾函数” y=x+ (a>0) 的增区间为 (-∞,- ] 和 [ ,+∞); 减区间为 [- ,0) 和 (0, ], 且对勾函数为奇函数 . 【典例】 1. 函数 f(x)=-x+ 在 上的最大值是 (    ) A.      B.-      C.-2      D.2 【解析】 选 A. 易知 f(x) 在 上是减少的 , 所以 f(x) max =f(-2)=2- = . 2. 已知 f(x)= 满足对任意 x 1 ≠x 2 , 都有 >0 成立 , 那 么 a 的取值范围是      . 【解析】 因为对任意 x 1 ≠x 2 都有 >0, 所以 y=f(x) 在 (-∞,+∞) 上是增函数 . 所以 解得 ≤a<2. 故实数 a 的取值范围是 . 答案 : 【迁移应用】 1.(2020· 广州模拟 ) 下列函数 f(x) 中 , 满足“ ∀x 1 ,x 2 ∈(0,+∞) 且 x 1 ≠x 2 , (x 1 -x 2 )·[f(x 1 )-f(x 2 )]<0” 的是 (    ) A.f(x)=2 x B.f(x)=|x-1| C.f(x)= -x   D.f(x)=ln(x+1) 【解析】 选 C. 由 (x 1 -x 2 )·[f(x 1 )-f(x 2 )]<0 可知 ,f(x) 在 (0,+∞) 上是减少 的 ,A,D 选项中 ,f(x) 是增加的 ;B 中 ,f(x)=|x-1| 在 (0,+∞) 上不单调 , 对于 f(x)= -x, 因为 y= 与 y=-x 在 (0,+∞) 上单调递减 , 因此 f(x) 在 (0,+∞) 上是减少的 . 2. 已知函数 f(x)= 则 f(f(-3))=      ,f(x) 的最小值 是      .  【解析】 因为 f(-3)=lg[(-3) 2 +1]=lg 10=1, 所以 f(f(-3))=f(1)=0, 当 x≥1 时 ,f(x)=x+ -3≥2 -3, 当且仅当 x= 时 , 取等号 , 此时 f(x) min =2 -3<0; 当 x<1 时 ,f(x)=lg(x 2 +1)≥lg 1=0, 当且仅当 x=0 时 , 取等号 , 此时 f(x) min =0. 所以 f(x) 的最小值为 2 -3. 答案 : 0   2 -3