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- 2021-06-19 发布
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第二节
函数的单调性与最值
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
增函数、减函数
增函数
减函数
定
义
在函数
y=f(x)
的定义域内某个区间
A
上的任意两个自变量
x
1
,x
2
当
x
1
f(x
2
)
上升
下降
2.
单调性
若函数
y=f(x)
在定义域的某个子集上是
_______
或是
_______,
则称函数
y=f(x)
在
这个子集上具有单调性
.
增加的
减少的
3.
函数最大值与最小值的定义
前提条件
:y=f(x)
的定义域为
D
、存在实数
M.
相同点
:∃x
0
∈D,
使得
_______;
不同点
:
最大值中
∀x∈D,
有
________,
最小值中
∀x∈D,
有
________.
结论
:__
为最大值
,__
为最小值
.
f(x
0
)=M
f(x)≤M
f(x)≥M
M
M
【知识点辨析】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
若定义在
R
上的函数
y=f(x),
有
f(-1)f(x
2
),
而不是区间上的两个
特殊值
.
(2)×.
函数在
[1,+∞)
上是增加的
,
说明其增区间
D⊇[1,+∞),
而增区间不一定是
[1,+∞),
所以该说法错误
.
(3)×.
多个单调区间一般不能用“
∪”
符号连接
,
而应用“
,”
或“和”连接
,
而
本题用“
∪”
就不正确
,
如
.
(4)√.
由单调性的定义可知是正确的
.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
忽略函数的定义域
考点一、
T2
、
3
2
分式中分子、分母均含变量
,
不经变换直接求值域
考点二、
T1
3
忽略分段函数在不同自变量区间上的解析式
考点三、角度
3
【教材
·
基础自测】
1.(
必修
1P39
练习
T3
改编
)
函数
y=
在
[2,3]
上的最小值为
(
)
A.2 B. C. D.
【解析】
选
B.
因为
y=
在
[2,3]
上是减少的
,
所以
y
min
= = .
2.(
必修
1P58T1
改编
)
若函数
y=x
2
-2ax+1
在
(-∞,2]
上是减少的
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
A.(-∞,-2] B.[-2,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,2]
【解析】
选
C.
函数
y=x
2
-2ax+1
图像的对称轴为
x=a,
要使该函数在
(-∞,2]
上是减少的
,
需
a≥2.
3.(
必修
1P56T8
改编
)
设定义在
[-1,7]
上的函数
y=f(x)
的图像如图所示
,
则函数
y=f(x)
的增区间为
.
【解析】
由图可得
,x∈[-1,1]
时从左向右图像上升
,x∈[1,5]
时从左向右图像下降
.x∈[5,7]
时
,
从左向右图像上升
.
所以函数
f(x)
的增区间为
[-1,1],[5,7].
答案
:
[-1,1],[5,7]
解题新思维 最值和单调性的几个结论的应用
【结论】
1.
设
∀x
1
,x
2
∈D(x
1
≠x
2
),
则
①x
1
-x
2
>0(<0),f(x
1
)-f(x
2
)>0(<0)⇔f(x)
在
D
上是增加的
;x
1
-x
2
>0(<0),
f(x
1
)-f(x
2
)<0(>0)⇔f(x)
在
D
上是减少的
;
② >0(
或
(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]>0)⇔f(x)
在
D
上是增加的
;
③ <0(
或
(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0)⇔f(x)
在
D
上是减少的
.
2.(1)
闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值
,
当函数在闭区间上单调时
最值一定在端点处取到
.
(2)
开区间上的“单峰”函数一定存在最大值
(
或最小值
).
3.
函数
y=f(x)(f(x)>0)
在公共定义域内与
y=-f(x),y=
的单调性相反
.
4.“
对勾函数”
y=x+ (a>0)
的增区间为
(-∞,- ]
和
[ ,+∞);
减区间为
[- ,0)
和
(0, ],
且对勾函数为奇函数
.
【典例】
1.
函数
f(x)=-x+
在 上的最大值是
(
)
A.
B.-
C.-2
D.2
【解析】
选
A.
易知
f(x)
在 上是减少的
,
所以
f(x)
max
=f(-2)=2- = .
2.
已知
f(x)=
满足对任意
x
1
≠x
2
,
都有
>0
成立
,
那
么
a
的取值范围是
.
【解析】
因为对任意
x
1
≠x
2
都有
>0,
所以
y=f(x)
在
(-∞,+∞)
上是增函数
.
所以 解得
≤a<2.
故实数
a
的取值范围是
.
答案
:
【迁移应用】
1.(2020·
广州模拟
)
下列函数
f(x)
中
,
满足“
∀x
1
,x
2
∈(0,+∞)
且
x
1
≠x
2
,
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0”
的是
(
)
A.f(x)=2
x
B.f(x)=|x-1|
C.f(x)= -x
D.f(x)=ln(x+1)
【解析】
选
C.
由
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0
可知
,f(x)
在
(0,+∞)
上是减少
的
,A,D
选项中
,f(x)
是增加的
;B
中
,f(x)=|x-1|
在
(0,+∞)
上不单调
,
对于
f(x)=
-x,
因为
y=
与
y=-x
在
(0,+∞)
上单调递减
,
因此
f(x)
在
(0,+∞)
上是减少的
.
2.
已知函数
f(x)=
则
f(f(-3))=
,f(x)
的最小值
是
.
【解析】
因为
f(-3)=lg[(-3)
2
+1]=lg 10=1,
所以
f(f(-3))=f(1)=0,
当
x≥1
时
,f(x)=x+ -3≥2 -3,
当且仅当
x=
时
,
取等号
,
此时
f(x)
min
=2 -3<0;
当
x<1
时
,f(x)=lg(x
2
+1)≥lg 1=0,
当且仅当
x=0
时
,
取等号
,
此时
f(x)
min
=0.
所以
f(x)
的最小值为
2 -3.
答案
:
0
2 -3
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