2020版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式测评 新人教A版选修4-5 11页

第三讲 柯西不等式与排序不等式 测评 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.下列不等式中一定成立的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)‎ B.|ax+by|≥‎ C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2‎ D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2‎ 解析由柯西不等式可知,只有C项正确.‎ 答案C ‎2.设xy>0,则的最小值为(　　)‎ A.-9 B‎.9 ‎C.10 D.0‎ 11‎ 解析=9.‎ 答案B ‎3.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+…+anb1,T=a‎1c1+a‎2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是(　　)‎ A.S≤T≤K B.K≤T≤S C.T≤K≤S D.K≤S≤T 解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则S≤T≤K.‎ 答案A ‎4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.‎ 答案A ‎5.用柯西不等式求函数y=的最大值为(　　)‎ A. B‎.3 ‎C.4 D.5‎ 解析由柯西不等式,得函数y==4,‎ 11‎ 当且仅当时,等号成立,‎ 故函数y的最大值为4.故选C.‎ 答案C ‎6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为(　　)‎ A.AB C.A≤B D.A≥B 解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.‎ 答案D ‎7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是(　　)‎ A.M≥N B.M>N C.M≤N D.MN.‎ 答案B ‎8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是(　　)‎ A.5 B‎.6 ‎C.8 D.9‎ 解析由柯西不等式可得 x+‎ 11‎ ‎≥=9,‎ 当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.‎ 答案D ‎9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为(　　)‎ A‎.2a2+b2 B.2ab C.(‎2a+b)2 D.4ab 解析=(sin2α+cos2α)‎ ‎≥=(‎2a+b)2,‎ 当且仅当sin α=cos α时,等号成立.‎ 故的最小值为(‎2a+b)2.‎ 答案C ‎10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为(　　)‎ A.1 B‎.9 ‎C.36 D.18‎ 解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2,‎ 11‎ ‎∵x+2y+3z=1,‎ ‎∴2≥36,‎ ‎∴≥18,‎ ‎∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.‎ 答案D ‎11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小关系是(　　)‎ A.p≥q B.p=q C.p≤q D.无法确定 解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.‎ 则由排序不等式可得q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A, ①‎ acos C+bcos B+ccos A≥acos C+bcos A+ccos B, ②‎ 由①+②得2(acos C+bcos B+ccos A)≥acos B+bcos A+bcos C+ccos B+ccos A+acos C,‎ 即2(acos C+bcos B+ccos A)≥2R(sin Acos B+cos Asin B)+2R(sin Bcos C+cos Bsin C)+2R(sin Ccos A+cos Csin A),‎ 整理,得acos C+bcos B+ccos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]‎ ‎=R(sin A+sin B+sin C)‎ ‎==p.‎ 11‎ 答案C ‎12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.‎ ‎∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.‎ 答案A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为　　　　　. ‎ 解析由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.‎ 答案 ‎14.若a,b,c>0,则　　　　　a+b+c. ‎ 11‎ 解析不妨设a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ 答案≥‎ ‎15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为　　　　　. ‎ 解析不妨设00,所以s≤t.‎ 11‎ 答案s≤t 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.‎ 证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),‎ 因此()2≤2(‎2a+2b+2)=8,‎ 故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.‎ 证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)‎ ‎=(b2+c2+a2)‎ ‎≥=(a2+b2+c2)2,‎ 又因为a2+b2+c2>0,‎ 所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ ‎19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.‎ 11‎ 解u=2x+y=2·x+·2y.‎ 由柯西不等式可得[x2+(2y)2]‎ ‎≥,‎ 即(2x+y)2≤×1,‎ 所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.‎ 所以u的最大值是,此时x=,y=;‎ u的最小值是-,此时x=-,y=-.‎ ‎20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2ab2bc‎2c≥ab+cbc+aca+b.‎ 证明不妨设a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,‎ 由排序不等式可得alg a+blg b+clg c≥blg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg c≥clg a+alg b+blg c,‎ 以上两式相加可得2alg a+2blg b+2clg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,‎ 即lg a‎2a+lg b2b+lg c‎2c≥lg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a‎2a·b2b·c‎2c)≥lg(ab+c·ba+c·ca+b),‎ 故a2ab2bc‎2c≥ab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ 11‎ ‎21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.‎ 解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c ‎≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,‎ 当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.‎ 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,‎ 所以f(x)的最小值为a+b+c.‎ 又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.‎ ‎(2)由(1)知a+b+c=4,‎ 由柯西不等式,得(4+9+1)‎ ‎≥=(a+b+c)2=16,‎ 即a2+b2+c2≥.‎ 当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.‎ ‎22.导学号26394062(本小题满分12分)‎ 11‎ 如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.‎ 解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(xP,yP),‎ 则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,‎ 所以2S=+(1-xP-yP)2.‎ 由柯西不等式,得[+(1-xP-yP)2](12+12+12)≥(xP+yP+1-xP-yP)2,‎ 即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即xP=yP=时,等号成立.‎ 故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为,‎ 此时点P坐标为.‎ 11‎