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  • 2021-06-20 发布

2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

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‎3.1.1‎‎-3.1.2 空间向量的数乘运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(  )‎ A.m,n,p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m,n,p共面 解析:由于(a+b)+(a-b)=‎2a,‎ 即m+n=2p,即p=m+n,‎ 又m与n不共线,所以m,n,p共面.‎ 答案:D ‎2.已知正方体ABCDA1B‎1C1D1中,=,若=x+y(+),则(  )‎ A.x=1,y= B.x=,y=1‎ C.x=1,y= D.x=1,y= 解析:=+=+ ‎=+(+),所以x=1,y=.‎ 答案:D ‎3.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-‎5a+6b,=‎7a-2b,则一定共线的三点是(  )‎ A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析:∵=+=‎2a+4b=2,∴A,B,D三点共线.‎ 答案:A ‎4.已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有(  )‎ ‎①+与+是一对相反向量;‎ ‎②-与-是一对相反向量;‎ ‎③+++与+++是一对相反向量;‎ ‎④-与-是一对相反向量.‎ 6‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.‎ 答案:C ‎5.若A,B,C不共线,对于空间任意一点O都有=++,则P,A,B,C四点(  )‎ A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 解析:∵++=1,‎ ‎∴P,A,B,C四点共面.‎ 答案:B ‎6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,‎ 则λ=________.‎ 解析:=-=-=-(-)=+,‎ 又=+λ,所以λ=.‎ 答案: ‎7.如图,已知空间四边形ABCD中,=a-‎2c, =‎5a+6b-‎8c,对角线AC,BD的中点分别为E、F,则=________(用向量a,b,c表示).‎ 解析:设G为BC的中点,连接EG,FG,则=+ ‎=+ ‎=(a-‎2c)+(‎5a+6b-‎8c)‎ ‎=‎3a+3b-‎5c.‎ 答案:‎3a+3b-‎‎5c ‎8.设e1,e2是空间两个不共线的向量,若=e1+ke2,=5e1+4e2,‎ 6‎ =-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k=________.‎ 解析:∵=5e1+4e2,=-e1-2e2,‎ ‎∴=+=5e1+4e2+e1+2e2=6e1+6e2.‎ 又=e1+ke2,∵A,B,D三点共线,‎ ‎∴存在实数u,使=u,即e1+ke2=6ue1+6ue2,‎ ‎∵e1,e2不共线,∴∴k=1.‎ 答案:1‎ ‎9.如图所示,在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:‎ ‎(1);(2);(3).‎ 解析:(1)∵P是C1D1的中点,‎ ‎∴=++=a++ ‎=a+c+=a+c+b.‎ ‎(2)∵N是BC的中点,‎ ‎∴=++=-a+b+ ‎=-a+b+=-a+b+c.‎ ‎(3)∵M是AA1的中点,‎ ‎∴=+=+ ‎=-a+=a+b+c.‎ ‎10.如图,平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.‎ ‎(1)证明:A,E,C1,F四点共面;‎ ‎(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.‎ 解析:(1)证明:∵ABCDA1B‎1C1D1是平行六面体,‎ ‎∴===,‎ 6‎ ‎∴=,=,‎ ‎∴=++=+++ ‎=+=+++=+,由向量共面的充分必要条件知A,E,C1,F四点共面.‎ ‎(2)∵=-=+-(+)=+--=-++,又=x+y+z,∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.若a,b是平面α内的两个向量,则(  )‎ A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)‎ B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0‎ C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)‎ D.若a,b不共线,则α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)‎ 解析:当a与b共线时,A项不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,故B项不正确;若a与b不共线,则平面α内任意向量可以用a,b表示,对空间向量则不一定,故C项不正确,D项正确.‎ 答案:D ‎2.已知向量c,d不共线,设向量a=kc+d,b=c-k2d.若a与b共线,‎ 则实数k的值为(  )‎ A.0 B.‎1 C.-1 D.2‎ 解析:∵c,d不共线,∴c≠0,且d≠0.‎ ‎∵a与b共线,∴存在实数λ,使得a=λb成立,即kc+d=λ(c-k2d),‎ 整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0.‎ ‎∴,解得k=λ=-1.故选C.‎ 答案:C ‎3.在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,若=a,=b,=c,则=________.‎ 解析:如图,=-=-=--(-)‎ ‎=-c-(a-b)=-c-a+b.‎ 答案:-c-a+b ‎4.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB, AC,M,N 6‎ 分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________.‎ 解析:由题意知=,=‎ (+),=- ‎=(+)-,又=2,‎ ‎∴==-++,‎ 故=+=-++ ‎=++,‎ ‎∴x=,y=,z=.‎ 答案:,, ‎5.如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC、BF的中点,判断与是否共线.‎ 解析:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,‎ ‎∴=++=++.‎ 又∵=+++ ‎=-+--,‎ ‎∴2=++-+--=,即=2.‎ ‎∴与共线.‎ ‎6.如图,正方体ABCDA1B‎1C1D1中,E,F分别为BB1和A1D1的中点.证明:向量,,是共面向量.‎ 证明:法一 =++=-+ ‎=(+)-=-.‎ 6‎ 由向量共面的充分必要条件知,,,是共面向量.‎ 法二 ‎ 连接A1D、BD,‎ 取A1D中点G,‎ 连接FG、BG,‎ 则有FG綊DD1,‎ BE綊DD1,‎ ‎∴FG綊BE.‎ ‎∴四边形BEFG为平行四边形.‎ ‎∴EF∥BG.‎ ‎∴EF∥平面A1BD.‎ 同理,B‎1C∥A1D,∴B‎1C∥平面A1BD,‎ ‎∴,,都与平面A1BD平行,‎ ‎∴,,共面.‎ 6‎