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- 2021-06-20 发布
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3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( )
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,
即m+n=2p,即p=m+n,
又m与n不共线,所以m,n,p共面.
答案:D
2.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则( )
A.x=1,y= B.x=,y=1
C.x=1,y= D.x=1,y=
解析:=+=+
=+(+),所以x=1,y=.
答案:D
3.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
解析:∵=+=2a+4b=2,∴A,B,D三点共线.
答案:A
4.已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( )
①+与+是一对相反向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相反向量.
6
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.
答案:C
5.若A,B,C不共线,对于空间任意一点O都有=++,则P,A,B,C四点( )
A.不共面 B.共面
C.共线 D.不共线
解析:∵++=1,
∴P,A,B,C四点共面.
答案:B
6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,
则λ=________.
解析:=-=-=-(-)=+,
又=+λ,所以λ=.
答案:
7.如图,已知空间四边形ABCD中,=a-2c, =5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E、F,则=________(用向量a,b,c表示).
解析:设G为BC的中点,连接EG,FG,则=+
=+
=(a-2c)+(5a+6b-8c)
=3a+3b-5c.
答案:3a+3b-5c
8.设e1,e2是空间两个不共线的向量,若=e1+ke2,=5e1+4e2,
6
=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k=________.
解析:∵=5e1+4e2,=-e1-2e2,
∴=+=5e1+4e2+e1+2e2=6e1+6e2.
又=e1+ke2,∵A,B,D三点共线,
∴存在实数u,使=u,即e1+ke2=6ue1+6ue2,
∵e1,e2不共线,∴∴k=1.
答案:1
9.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3).
解析:(1)∵P是C1D1的中点,
∴=++=a++
=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中点,
∴=++=-a+b+
=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,
∴=+=+
=-a+=a+b+c.
10.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)证明:A,E,C1,F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
解析:(1)证明:∵ABCDA1B1C1D1是平行六面体,
∴===,
6
∴=,=,
∴=++=+++
=+=+++=+,由向量共面的充分必要条件知A,E,C1,F四点共面.
(2)∵=-=+-(+)=+--=-++,又=x+y+z,∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=.
[B组 能力提升]
1.若a,b是平面α内的两个向量,则( )
A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0
C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
D.若a,b不共线,则α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
解析:当a与b共线时,A项不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,故B项不正确;若a与b不共线,则平面α内任意向量可以用a,b表示,对空间向量则不一定,故C项不正确,D项正确.
答案:D
2.已知向量c,d不共线,设向量a=kc+d,b=c-k2d.若a与b共线,
则实数k的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
解析:∵c,d不共线,∴c≠0,且d≠0.
∵a与b共线,∴存在实数λ,使得a=λb成立,即kc+d=λ(c-k2d),
整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0.
∴,解得k=λ=-1.故选C.
答案:C
3.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=________.
解析:如图,=-=-=--(-)
=-c-(a-b)=-c-a+b.
答案:-c-a+b
4.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB, AC,M,N
6
分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________.
解析:由题意知=,=
(+),=-
=(+)-,又=2,
∴==-++,
故=+=-++
=++,
∴x=,y=,z=.
答案:,,
5.如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC、BF的中点,判断与是否共线.
解析:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
∴=++=++.
又∵=+++
=-+--,
∴2=++-+--=,即=2.
∴与共线.
6.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BB1和A1D1的中点.证明:向量,,是共面向量.
证明:法一 =++=-+
=(+)-=-.
6
由向量共面的充分必要条件知,,,是共面向量.
法二
连接A1D、BD,
取A1D中点G,
连接FG、BG,
则有FG綊DD1,
BE綊DD1,
∴FG綊BE.
∴四边形BEFG为平行四边形.
∴EF∥BG.
∴EF∥平面A1BD.
同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面A1BD,
∴,,都与平面A1BD平行,
∴,,共面.
6
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