2015届高考数学二轮专题训练：专题四 第3讲 推理与证明 16页

第3讲　推理与证明 考情解读　1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．‎ ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．‎ ‎②归纳推理的思维过程如下：‎ →→ ‎(2)类比推理 ‎①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．‎ ‎②类比推理的思维过程如下：‎ →→ ‎2．演绎推理 ‎(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．‎ ‎3．直接证明 ‎(1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：‎ →→→…→ ‎(2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：‎ →→→…→ ‎4．间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛 盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．‎ →→→ ‎5．数学归纳法 数学归纳法证明的步骤：‎ ‎(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．‎ 由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．‎ 热点一　归纳推理 例1　(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)‎ A．26 B．31‎ C．32 D．36‎ ‎(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是(　　)‎ A．48,49 B．62,63‎ C．75,76 D．84,85‎ 思维启迪　‎ ‎(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：‎ 图案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 个数 ‎6‎ ‎11‎ ‎16‎ ‎…‎ 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.‎ 故选B.‎ ‎(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．‎ 思维升华　归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．‎ ‎　(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．‎ ‎1鼠 ‎2猴 ‎3兔 ‎4猫 ‎　 开始 ‎1兔 ‎2猫 ‎3鼠 ‎4猴 第一次 ‎1猫 ‎2兔 ‎3猴 ‎4鼠 第二次 ‎1猴 ‎2鼠 ‎3猫 ‎4兔 第三次 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)> ‎，则有________________．‎ 答案　(1)B　(2)f(2n)>(n≥2，n∈N*)‎ 解析　(1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B.‎ ‎(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，‎ f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.‎ 故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．‎ 热点二　类比推理 例2　(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.‎ ‎(2)已知双曲正弦函数shx＝和双曲余弦函数chx＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论________．‎ 思维启迪　(1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．‎ 答案　(1)　(2)ch(x－y)＝chx chy－shx shy 解析　(1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以＝.‎ ‎(2)chx chy－shx shy＝·－· ‎＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)‎ ‎＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chx chy＋shx shy，‎ 或sh(x－y)＝shx chy－chx shy，‎ 或sh(x＋y)＝shx chy＋chx shy.‎ 思维升华　‎ 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．‎ ‎　(1)若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ ‎ D．dn＝ ‎(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.‎ 答案　(1)D　(2) 解析　(1)由{an}为等差数列，设公差为d，‎ 则bn＝＝a1＋d，‎ 又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，‎ 则dn＝＝＝c1，故选D.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，‎ 则有 将A，B代入双曲线－＝1中得 －＝1，－＝1，‎ 两式相减，得＝，‎ 即＝，‎ 即＝，‎ 即kOM·kAB＝.‎ 热点三　直接证明和间接证明 例3　已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：‎ bn＝a－a (n≥1)．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．‎ 思维启迪　(1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a}；(2)否定性结论的证明可用反证法．‎ ‎(1)解　已知＝化为＝，‎ 而1－a＝，‎ 所以数列{1－a}是首项为，公比为的等比数列，‎ 则1－a＝×n－1，则a＝1－×n－1，‎ 由anan＋1<0，知数列{an}的项正负相间出现，‎ 因此an＝(－1)n＋1 ，‎ bn＝a－a＝－×n＋×n－1‎ ‎＝×n－1.‎ ‎(2)证明　假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m0，‎ 当n＝3时，(4n－4n－1)＝>0，…‎ 猜想当n≥2时，T2n>2n2＋，‎ 即n≥2时，4n>4n＋1.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥2)时成立，即4k>4k＋1.‎ 则当n＝k＋1时，4k＋1＝4·4k>4·(4k＋1)‎ ‎＝16k＋4>4k＋5＝4(k＋1)＋1，‎ 所以n＝k＋1时成立．‎ 由①②得，当n≥2时，4n>4n＋1成立．‎ 综上，当n＝1时，T2n<2n2＋，‎ 当n≥2时，T2n>2n2＋.‎ 思维升华　在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n＝k＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．‎ ‎　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ 解　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，‎ 所以f(1)＝g(1)，‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．以上均不正确 答案　B 解析　从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．‎ ‎2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)‎ A．28 B．76‎ C．123 D．199‎ 答案　C 解析　观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．‎ 继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.‎ ‎3．已知x>0，观察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　)‎ A．nn B．n2‎ C．3n D．2n 答案　A 解析　根据已知，续写一个不等式：‎ x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.故选A.‎ ‎4．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　)‎ A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 答案　A 解析　由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0，‎ 所以a1>－a5.‎ 由于f(x)单调递增且为奇函数，‎ 所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0，‎ 又f(a3)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.‎ 故选A.‎ ‎5．在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　)‎ A．0 B．－1‎ C．1 D．±1‎ 答案　B 解析　在平面内，由三角形法则，‎ 得＝－，＝－.‎ 因为A，B，C三点共线，‎ 所以存在实数t，使＝t，即－＝t(－)，‎ 所以＝－＋(＋1).‎ 因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝＋1，‎ 所以λ＋μ＝1.‎ 类似地，在空间内可得＝λ＋μ＋η，λ＋μ＋η＝1.‎ 因为＝－，所以x＋y＋z＝－1.故选B.‎ ‎6．已知f(n)＝32n＋2－8n－9，存在正整数m，使n∈N*时，能使m整除f(n)，则m的最大值为(　　)‎ A．24 B．32‎ C．48 D．64‎ 答案　D 解析　由f(1)＝64，f(2)＝704＝11×64，f(3)＝6 528＝102×64，‎ 所以f(1)，f(2)，f(3)均能被64整除，猜想f(n)能被64整除．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由上得证；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9＝9k＋1－8k－9能被64整除，‎ 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝9(k＋1)＋1－8(k＋1)－9＝9×9k＋1－8k－17＝9f(k)＋64(k＋1)．‎ 由归纳假设，f(k)是64的倍数，又64(k＋1)是64的倍数，所以f(k＋1)能被64整除，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．‎ 因为f(1)不能被大于64的数整除，‎ 所以所求m的最大值等于64.故选D.‎ 二、填空题 ‎7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成，‎ 通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．‎ 答案　13,3n＋1‎ 解析　易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n个图形中的火柴棒为4＋3(n－1)＝3n＋1.‎ ‎8．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________．‎ 答案　 解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．‎ ‎9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此判断乙去过的城市为________．‎ 答案　A 解析　由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.‎ ‎10．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m＝________.‎ 答案　8‎ 解析　由已知可观察出m3可分裂为m个连续奇数，最小的一个为(m－1)m＋1.当m＝8时，最小的数为57，第二个便是59.所以m＝8.‎ 三、解答题 ‎11．已知a，b，m为非零实数，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0.‎ ‎(1)求证：＋≥；‎ ‎(2)求证：m≥.‎ 证明　(1)(分析法)要证＋≥成立，‎ 只需证(＋)(a2＋b2)≥9，‎ 即证1＋4＋＋≥9，‎ 即证＋≥4.‎ 根据基本不等式，有＋≥2＝4成立，‎ 所以原不等式成立．‎ ‎(2)(综合法)因为a2＋b2＝m－2，＋＝2m－1，‎ 由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9，‎ 即2m2－5m－7≥0，‎ 解得m≤－1或m≥.‎ 又∵a2＋b2＝m－2>0‎ ‎∴m>2,故m≤－1舍去，‎ ‎∴m≥.‎ ‎12．若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．‎ 解　方法一　当n＝1时，＋＋>，‎ 即>，所以a<26.‎ 而a是正整数，所以取a＝25，‎ 下面用数学归纳法证明 ＋＋…＋>.‎ ‎①当n＝1时，已证得不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，‎ 即＋＋…＋>.‎ 则当n＝k＋1时，‎ 有＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－]．‎ 因为＋－ ‎＝－ ‎＝ ‎＝>0，‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由①②知，对一切正整数n，都有＋＋…＋>，‎ 所以正整数a的最大值为25.‎ 方法二　设f(n)＝＋＋…＋ 则f(n＋1)－f(n)＝＋＋－ ‎＝＋－＝>0，‎ ‎∴数列{f(n)}为递增数列，‎ ‎∴f(n)min＝f(1)＝＋＋＝，‎ ‎∴＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立可转化为