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- 2021-06-20 发布
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学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如图 2213,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长 BC 到 E,已知∠BCD∶
∠ECD=3∶2,那么∠BOD 等于( )
图 2213
A.120° B.136°
C.144° D.150°
【解析】 设∠BCD=3x,∠ECD=2x,
∴5x=180°,∴x=36°,
即∠BCD=108°,∠ECD=72°,
∴∠BAD=72°,∴∠BOD=2∠BAD=144°.
【答案】 C
2.如图 2214,在⊙O 中,弦 AB 的长等于半径,∠DAE=80°,则∠ACD
的度数为( )
图 2214
A.30° B.45°
C.50° D.60°
【解析】 连接 OA,OB,
∵∠BCD=∠DAE=80°,∠AOB=60°,
∴∠BCA=1
2
∠AOB=30°,
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=80°-30°=50°.
【答案】 C
3.圆内接四边形 ABCD 中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D 可以是( )
A.4∶2∶3∶1 B.4∶3∶1∶2
C.4∶1∶3∶2 D.以上都不对
【解析】 由四边形 ABCD 内接于圆,得∠A+∠C=∠B+∠D,从而只有
B 符合题意.
【答案】 B
4.如图 2215,四边形 ABCD 为圆内接四边形,AC 为 BD 的垂直平分线,
∠ACB=60°,AB=a,则 CD 等于( )
图 2215
A. 3
3 a B. 6
2 a
C.1
2a D.1
3a
【解析】 ∵AC 为 BD 的垂直平分线,
∴AB=AD=a,AC⊥BD.
∵∠ACB=60°,∴∠ADB=60°,
∴AB=AD=BD,∴∠ACD=∠ABD=60°,
∴∠CDB=30°,
∴∠ADC=90°,∴CD=tan 30°·AD= 3
3 a.
【答案】 A
5.如图 2216 所示,圆内接四边形 ABCD 的一组对边 AD,BC 的延长线相
交于点 P,对角线 AC 和 BD 相交于点 Q,则图中共有相似三角形的对数为( )
【导学号:07370035】
图 2216
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】 利用圆周角和圆内接四边形的性质定理,可得△PCD∽△PAB,
△QCD∽△QBA,△AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD.因此共 4 对.
【答案】 A
二、填空题
6.如图 2217,以 AB=4 为直径的圆与△ABC 的两边分别交于 E,F 两点,
∠ACB=60°,则 EF=________.
图 2217
【解析】 如图,连接 AE.
∵AB 为圆的直径,
∴∠AEB=∠AEC=90°.
∵∠ACB=60°,
∴∠CAE=30°,
∴CE=1
2AC.
∵∠C=∠C,∠CFE=∠B,
∴△CFE∽△CBA,
∴EF
AB
=CE
AC
,
∵AB=4,CE=1
2AC,∴EF=2.
【答案】 2
7.四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径, =40°,则∠D=__________.
【解析】 如图,连接 AC.∵ =40°.BC 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=20°,∠BAC=90°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=70°,
∴∠D=180°-∠B=110°.
【答案】 110°
8.如图 2218,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交
于点 P,若PB
PA
=1
2
,PC
PD
=1
3
,则BC
AD
的值为________.
图 2218
【解析】 由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,
则△PAD∽△PCB ,∴PC
PA
=PB
PD
=BC
AD.
又PB
PA
=1
2
,PC
PD
=1
3
,∴PB
PA
×PC
PD
=1
2
×1
3
,
∴PC
PA
×PB
PD
=1
6
,∴BC
AD
×BC
AD
=1
6
,
∴BC
AD
= 6
6 .
【答案】 6
6
三、解答题
9.如图 2219,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长
线交于 E 点,且 EC=ED.
图 2219
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点
共圆.
【证明】 (1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.
因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,
所以∠EDC=∠EBA,
故∠ECD=∠EBA,所以 CD∥A B.
(2)由(1)知,AE=BE,∠EDF=∠ECG,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC,
从而∠FED=∠GEC.
连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.
又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,
所以∠FAB=∠GBA,所以∠AFG+∠GBA=180°.
故 A,B,G,F 四点共圆.
10.如图 2220,已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,通过 P 作正
方形的边的垂线,垂足分别为 E,F,G,H.你能判断出 E,F,G,H 是否在同
一个圆上吗?试说明你的猜想.
【导学号:07370036】
图 2220
【解】 猜想:E,F,G,H 四个点在以 O 为圆心的圆上.证明如下:
如图,连接 OE,OF,OG,OH.
在△OBE,△OBF,△OCG,△OAH 中,
OB=OC=OA.
∵PEBF 为正方形,
∴BE=BF=CG=AH,
∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°.
∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.
∴OE=OF=OG=OH.
由圆的定义可知:E,F,G,H 在以 O 为圆心的圆上.
[能力提升]
1.已知四边形 ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有( )
①如果∠A=∠C,则∠A=90°;
②如果∠A=∠B,则四边形 ABCD 是等腰梯形;
③∠A 的外角与∠C 的外角互补;
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D 可以是 1∶2∶3∶4.
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
【解析】 由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为
直角;②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A=∠B=∠C=∠D 的特例);③
互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额必须相等(这里 1+3≠2+4).因
此得出①③正确,②④错误.
【答案】 B
2.如图 2221,以△ABC 的一边 AB 为直径的圆交 AC 边于 D,交 BC 边于
E,连接 DE,BD 与 AE 交于点 F.则 sin∠CAE 的值为( )
图 2221
A.DF
AD B.CD
AC
C.EF
AF D.DE
AB
【解析】 根据圆周角定理,易得∠AEB=90°,进而可得∠AEC=90°.
在 Rt△AEC 中,由锐角三角函数的定义,可得 sin∠CAE=CE
AC
,由圆内接四
边形的性质,可得∠CED=∠CAB,∠CDE=∠CBA,可得△CDE∽△CBA,则
有CE
AC
=DE
AB
,故有 sin∠CAE=DE
AB.
【答案】 D
3.如图 2222,AB=10 cm,BC=8 cm,CD 平分∠ACB,则 AC=__________,
BD=__________.
图 2222
【解析】 ∠ACB=90°,∠ADB=90°.
在 Rt△ABC 中,AB=10,BC=8,
∴AC= AB2-BC2=6.
又∵CD 平分∠ACB,
即∠ACD=∠BCD,
∴AD=BD,
∴BD= AB2
2
=5 2.
【答案】 6 5 2
4.如图 2223,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,
点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点.
图 2223
(1)求证:四点 A,I,H,E 共圆;
(2)若∠C=50°,求∠IEH 的度数.
【解】 (1)证明:由圆 I 与边 AC 相切于点 E,
得 IE⊥AE,
结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°.
所以四点 A,I,H,E 共圆.
(2)由(1)知四点 A,I,H,E 共圆,得∠IEH=∠HAI.
在△HIA 中,∠HIA=∠ABI+∠BAI=1
2
∠B+1
2
∠A=1
2(∠B+∠A)
=1
2(180°-∠C)=90°-1
2
∠C.
结合 IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=1
2
∠C,
所以∠IEH=1
2
∠C.
由∠C=50°,得∠IEH=25°.
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