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  • 2021-06-20 发布

高中数学人教a版选修4-1学业分层测评7圆内接四边形的性质与判定定理word版含解析

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学业分层测评(七) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.如图 2213,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长 BC 到 E,已知∠BCD∶ ∠ECD=3∶2,那么∠BOD 等于( ) 图 2213 A.120° B.136° C.144° D.150° 【解析】 设∠BCD=3x,∠ECD=2x, ∴5x=180°,∴x=36°, 即∠BCD=108°,∠ECD=72°, ∴∠BAD=72°,∴∠BOD=2∠BAD=144°. 【答案】 C 2.如图 2214,在⊙O 中,弦 AB 的长等于半径,∠DAE=80°,则∠ACD 的度数为( ) 图 2214 A.30° B.45° C.50° D.60° 【解析】 连接 OA,OB, ∵∠BCD=∠DAE=80°,∠AOB=60°, ∴∠BCA=1 2 ∠AOB=30°, ∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=80°-30°=50°. 【答案】 C 3.圆内接四边形 ABCD 中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D 可以是( ) A.4∶2∶3∶1 B.4∶3∶1∶2 C.4∶1∶3∶2 D.以上都不对 【解析】 由四边形 ABCD 内接于圆,得∠A+∠C=∠B+∠D,从而只有 B 符合题意. 【答案】 B 4.如图 2215,四边形 ABCD 为圆内接四边形,AC 为 BD 的垂直平分线, ∠ACB=60°,AB=a,则 CD 等于( ) 图 2215 A. 3 3 a B. 6 2 a C.1 2a D.1 3a 【解析】 ∵AC 为 BD 的垂直平分线, ∴AB=AD=a,AC⊥BD. ∵∠ACB=60°,∴∠ADB=60°, ∴AB=AD=BD,∴∠ACD=∠ABD=60°, ∴∠CDB=30°, ∴∠ADC=90°,∴CD=tan 30°·AD= 3 3 a. 【答案】 A 5.如图 2216 所示,圆内接四边形 ABCD 的一组对边 AD,BC 的延长线相 交于点 P,对角线 AC 和 BD 相交于点 Q,则图中共有相似三角形的对数为( ) 【导学号:07370035】 图 2216 A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 利用圆周角和圆内接四边形的性质定理,可得△PCD∽△PAB, △QCD∽△QBA,△AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD.因此共 4 对. 【答案】 A 二、填空题 6.如图 2217,以 AB=4 为直径的圆与△ABC 的两边分别交于 E,F 两点, ∠ACB=60°,则 EF=________. 图 2217 【解析】 如图,连接 AE. ∵AB 为圆的直径, ∴∠AEB=∠AEC=90°. ∵∠ACB=60°, ∴∠CAE=30°, ∴CE=1 2AC. ∵∠C=∠C,∠CFE=∠B, ∴△CFE∽△CBA, ∴EF AB =CE AC , ∵AB=4,CE=1 2AC,∴EF=2. 【答案】 2 7.四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径, =40°,则∠D=__________. 【解析】 如图,连接 AC.∵ =40°.BC 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=20°,∠BAC=90°, ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=70°, ∴∠D=180°-∠B=110°. 【答案】 110° 8.如图 2218,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交 于点 P,若PB PA =1 2 ,PC PD =1 3 ,则BC AD 的值为________. 图 2218 【解析】 由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P, 则△PAD∽△PCB ,∴PC PA =PB PD =BC AD. 又PB PA =1 2 ,PC PD =1 3 ,∴PB PA ×PC PD =1 2 ×1 3 , ∴PC PA ×PB PD =1 6 ,∴BC AD ×BC AD =1 6 , ∴BC AD = 6 6 . 【答案】 6 6 三、解答题 9.如图 2219,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长 线交于 E 点,且 EC=ED. 图 2219 (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点 共圆. 【证明】 (1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA, 故∠ECD=∠EBA,所以 CD∥A B. (2)由(1)知,AE=BE,∠EDF=∠ECG,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA,所以∠AFG+∠GBA=180°. 故 A,B,G,F 四点共圆. 10.如图 2220,已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,通过 P 作正 方形的边的垂线,垂足分别为 E,F,G,H.你能判断出 E,F,G,H 是否在同 一个圆上吗?试说明你的猜想. 【导学号:07370036】 图 2220 【解】 猜想:E,F,G,H 四个点在以 O 为圆心的圆上.证明如下: 如图,连接 OE,OF,OG,OH. 在△OBE,△OBF,△OCG,△OAH 中, OB=OC=OA. ∵PEBF 为正方形, ∴BE=BF=CG=AH, ∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°. ∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH. ∴OE=OF=OG=OH. 由圆的定义可知:E,F,G,H 在以 O 为圆心的圆上. [能力提升] 1.已知四边形 ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有( ) ①如果∠A=∠C,则∠A=90°; ②如果∠A=∠B,则四边形 ABCD 是等腰梯形; ③∠A 的外角与∠C 的外角互补; ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D 可以是 1∶2∶3∶4. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】 由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为 直角;②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A=∠B=∠C=∠D 的特例);③ 互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额必须相等(这里 1+3≠2+4).因 此得出①③正确,②④错误. 【答案】 B 2.如图 2221,以△ABC 的一边 AB 为直径的圆交 AC 边于 D,交 BC 边于 E,连接 DE,BD 与 AE 交于点 F.则 sin∠CAE 的值为( ) 图 2221 A.DF AD B.CD AC C.EF AF D.DE AB 【解析】 根据圆周角定理,易得∠AEB=90°,进而可得∠AEC=90°. 在 Rt△AEC 中,由锐角三角函数的定义,可得 sin∠CAE=CE AC ,由圆内接四 边形的性质,可得∠CED=∠CAB,∠CDE=∠CBA,可得△CDE∽△CBA,则 有CE AC =DE AB ,故有 sin∠CAE=DE AB. 【答案】 D 3.如图 2222,AB=10 cm,BC=8 cm,CD 平分∠ACB,则 AC=__________, BD=__________. 图 2222 【解析】 ∠ACB=90°,∠ADB=90°. 在 Rt△ABC 中,AB=10,BC=8, ∴AC= AB2-BC2=6. 又∵CD 平分∠ACB, 即∠ACD=∠BCD, ∴AD=BD, ∴BD= AB2 2 =5 2. 【答案】 6 5 2 4.如图 2223,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H, 点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. 图 2223 (1)求证:四点 A,I,H,E 共圆; (2)若∠C=50°,求∠IEH 的度数. 【解】 (1)证明:由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE, 结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°. 所以四点 A,I,H,E 共圆. (2)由(1)知四点 A,I,H,E 共圆,得∠IEH=∠HAI. 在△HIA 中,∠HIA=∠ABI+∠BAI=1 2 ∠B+1 2 ∠A=1 2(∠B+∠A) =1 2(180°-∠C)=90°-1 2 ∠C. 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=1 2 ∠C, 所以∠IEH=1 2 ∠C. 由∠C=50°,得∠IEH=25°.