2020高中数学 第2章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法习题 苏教版必修4 4页

1 向量的加减法 （答题时间：45 分钟） 向量的加法 1. 在四边形 ABCD 中，CB ＋ AD ＋ BA 等于________。 *2. 在矩形 ABCD 中，若 AB ＝4， BC ＝3，则 ADAB  ＝________。 *3. 下列说法： （1）如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a＋b 的方向必与 a，b 之一的方向 相同； （2）在△ABC 中，必有 AB ＋ BC ＋CA ＝0； （3） AB ＋ BC ＋CA ＝0，则 A，B，C 为一个三角形的三个顶点； （4）若 a，b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等。 其中正确说法的个数为________。 4. 如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________。 ① ACAB  ＝ BC ； ② BCAB  ＝ CA ； ③ CAAB  ＝ BC ； ④ 2 AB ＋ 2 AC ＝ 2 BC 。 5. （肇庆高一检测）如图，已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点， 则下列等式中不正确的是________。 ① FD ＋ DA ＝ FA ； ② FD ＋ DE ＋ EF ＝ 0  ； ③ DE ＋ DA ＝ EC ； ④ DA ＋ DE ＝ FD 。 6. 若 P 为△ABC 的外心，且 PA ＋ PB ＝ PC ，求∠ACB 的度数。 7. 轮船从 A 港沿北偏东 60°方向行驶了 40 km 到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 km 到达 C 处，求此时轮船到 A 港的相对位置。 2 向量的减法 1. 下列命题中，正确的个数是________。 ①在平行四边形 ABCD 中， BA  ＋ AD  － BD  ＝ AB  ＋CD  ； ②a＋b＝a⇔b＝0； ③a－b＝b－a； ④ AB  －CB  ＋CD  － AD  的模为 0。 2. 已知六边形 ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中 a＝OF  ，b＝OA  ，c＝OB  ， 则 EF  等于________。 *3。已知 O 是四边形 ABCD 所在平面内的一点，且满足 OA  ＋ OC  ＝ OB  ＋ OD  ，则四边 形 ABCD 的形状是________。 4. 化简（ AB  ＋CD  － EB  ）＋（ BC  － BD  ＋ EF  ）－ AF  ＝________。 *5. 给出以下五个说法： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②任一非零向量的方向都是唯一的； ③|a|－|b|＜|a＋b|； ④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则 b＝0； ⑤已知 A，B，C 是平面上任意三点，则 AB  ＋ BC  ＋CA  ＝0。 其中正确的说法有________。 **6. 已知 OA  ＝a， OB  ＝b，若 OA  ＝5， OB  ＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝ ________，|a－b|＝________。 7. 已知菱形 ABCD 边长都是 2，求向量 AB  －CB  ＋CD  的模。 *8. 如图，在五边形 ABCDE 中，若 AB  ＝a， BC  ＝b，CD  ＝c， DE  ＝d， EA  ＝e，求作 向量 a－c＋b－d－e。 3 向量的加法 1. CD 解析：CB ＋ AD ＋ BA ＝CA ＋ AD ＝CD 。 2. 5 解析：如图，根据平行四边形法则得 AB ＋ AD ＝ AC ，而矩形 ABCD 中， AB ＝ 4， BC ＝3，则 AC ＝5，故 ADAB  ＝5。 3. 1 解析：（1）当 a＋b＝0 时，命题不成立，（1）错；（2）正确；（3）当 A，B，C 三点 共线时，也可以有 AB ＋ BC ＋CA ＝0，（3）错；（4）当 a，b 共线时，若 a，b 同向，则 |a＋b|＝|a|＋|b|；若 a，b 反向，则|a＋b|＝||a|－|b||；当 a，b 不共线时|a＋b|＜|a| ＋|b|，（4）错。 4. ①②③④ 解析：①正确，以 AB，AC 为邻边作▱ ABDC，又∠A＝90°， ∴平行四边形 ABDC 为矩形， ∴AD＝BC， ∴ ACAB  ＝ AD ＝ BC ； ②正确， BCAB  ＝ AC ＝ CA ； ③正确， CAAB  ＝ CB ＝ BC . ④正确，由勾股定理知 2 AB ＋ 2 AC ＝ 2 BC 。 5. ④ 解析：根据三角形法则可知①②正确； ∵D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点， ∴四边形 ADEF 和四边形 DECF 都是平行四边形， ∴ DA  ＋ DE  ＝ DF  ， EC  ＝ DF  ， ∴ DE  ＋ DA  ＝ EC  ，故③正确，④不正确。 6. 解：如图， ∵ PA  ＋ PB  ＝ PC  ，∴四边形 APBC 组成平行四边形，又 P 为△ABC 的外心， ∴ PA  ＝ PB  ＝ PC  ，因此∠ACB＝120°。 7. 解：如图，设 AB  ，BC  分别是轮船的两次位移，则 AC  表示两次位移的合位移，即 AC  ＝ AB  ＋ BC  ， 4 （9 题图） 在 Rt△ABD 中， DB  ＝20 km， AD  ＝20 3 km，则 DC  ＝ DB  ＋ BC  ＝60 km, 在 Rt△ACD 中， AC  ＝ 2 2 AD DC  ＝40 3 （km），所以∠CAD＝60°, 即此时轮船位于 A 港北偏东 30°，且距离 A 港 40 3 km 处。 向量的减法 1. 3 解析：由向量的加法与减法法则知①④正确，由 a＋b＝a⇔a＋b－a＝0⇔（a－a） ＋b＝0⇔b＝0 知，②正确， 由 a－b＝a＋（－b）＝－（b－a）知，③是不正确的。 2. a＋c 解析：由正六边形性质知： EF  ＝CB  ＝OA  ＝b＝a＋c. 3. 平行四边形 解析：∵OA  ＋OC  ＝OB  ＋OD  ， ∴OA  －OB  ＝OD  －OC  ， ∴ BA  ＝CD  ，∴BA∥CD，且 BA=CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形。 4. 0  解析：原式＝（ AB  ＋ BE  ）＋（CD  ＋ DB  ）＋ BC  ＋（ EF  ＋ FA  ）＝ AE  ＋CB  ＋ BC  ＋ EA  ＝ 0  。 5. ②④⑤ 解析：由|a|＝|b|，得不到 a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同， 故①不正确；当 b＝0 时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确。 6. 13 13 解析：如图，在矩形 OACB 中， OA  ＋OB  ＝OC  ，即|a＋b|＝ OC  ＝ 2 2 2 25 12 13a b    ,同理|a－b|＝13。 7. 解：∵ AB  －CB  ＋CD  ＝ AB  ＋ BC  ＋CD  ＝ AD  ， ∴ 2AB CB CD AD       8. 解：a－c＋b－d－e＝（a＋b）－（c＋d＋e）＝（ AB  ＋ BC  ）－（CD  ＋ DE  ＋ EA  ） ＝ AC  －CA  ＝ AC  ＋ AC  。 连接 AC，并延长至点 F，使 CF  ＝ AC  ，则CF  ＝ AC  ， ∴ AF  ＝ AC  ＋ AC  即为所求作的向量 a－c＋b－d－e。如图，