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- 2021-06-20 发布
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西安中学高2020届仿真考试
理科数学
1、已知复数满足,则复数( )
2、已知集合 ,则( )
3、已知都是实数,那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4、已知等比数列中有,数列是等差数列,且,则( )
A.2 B.4 C.8 D.16
5、已知 , , ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事:“今有良马与驽马发长安,至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里,日增一十二里;驽马初日行九十七里,日减二里.” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和,设计框图如下图. 若输出的的值为350,则判断框中可填( )
A. B.
C. D.
7、如图,若在矩形中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
8、在中,已知D是BC延长线上一点,点E为线段AD的中点,
- 11 -
若,且,则=( )
A. B. C. D.
9、已知函数与互为反函数,函数的图象与的图象关于轴对称,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
10、已知数列的通项公式,则( )
A.150 B.162 C.180 D.210
11、关于函数 有下述四个结论:
函数 的图象把圆的面积两等分;
是周期为的函数
函数在区间上有3个零点;
函数在区间上单调递减;则正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论错误的是( )
曲线的方程为;
左焦点到一条渐近线距离为;
直线与曲线有两个公共点;
过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条;
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、已知一组数据分别是 则这组数据的中位数与众数的等比中项为 ;
14、若二项式的展开式中的常数项为,则______.
- 11 -
15、已知抛物线的焦点为,准线为,过点斜率为的直线与抛物线交于点(在轴的上方),过作于点,连接交抛物线于点,则_______.
16.半径为2的球面上有,,,四点,且,,两两垂直,则,与
面积之和的最大值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分
17、(本题满分12分)
如图,在四棱锥中,
(1)证明:平面 ;
若 ,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
18、(本题满分12分)
的内角的对边分别为,已知.
(1)求;(2)若,的面积为,求.
19.(本小题满分12分)
现在是夏季多雨,是防汛时节,某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.18,(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该地施工,为了保护设备,施工方提出以下三种方案:
方案一:运走设备需要花4000元;
方案二:建一保护围墙,需要花费1000元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备将受损,损失56000元;
方案三:不采取措施,此时,当两个河流都发生洪水时损失60000元,只有一条河流发生洪水时,损失10000元。
(1)试求方案三中损失费 (随机变量)的分布列;
(2)试比较哪一种方案好,说明理由。
- 11 -
20、(本题满分12分)
已知函数 ,
(1)若 ,求 在区间 上的单调区间;
(2)若 ,证明: 时恒有
21、(本题满分12分)已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线的斜率为,且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点,且与圆 相切.试探究的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.
(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做按所做的第一题计分
22、[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系 中, .以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 ,点 为 上的动点, 为 的中点。
(1)求点 的轨迹 的直角坐标方程;
(2)设点 的极坐标为 ,若直线 经过点 与曲线 交于 ,弦 的中点为
求 的取值范围。
23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】
已知,,不等式恒成立.
(1)求证:;
- 11 -
(2)求证:.
西安中学高2020届仿真考试
理科数学答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
D
B
A
D
A
B
C
C
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、 14、 124 15、 16、 8
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17、(本题满分12分)
如图,在四棱锥中,
(1)证明:平面 ;
若 ,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
17、(满分12分)
- 11 -
(1)证明:在四棱锥中,,
,.
,,
,,
,平面ABCD.
解:,平面ABCD,
以A为原点,AD为x轴,AM为y轴,AB为z轴,
建立空间直角坐标系,,,E为线段BM上一点,
且,,.
,0,,0,,0,,2,,
, 0,,2,,
设平面BDM的法向量y,,则 ,,取,得,
设直线EC与平面BDM所成角为,则直线EC与平面BDM所成角的正弦值为:
.
18、(本题满分12分)
的内角的对边分别为,已知.
(1)求;(2)若,的面积为,求.
解:(1)在中,
即: ,又
所以: , 或 (舍去),
分
(2)由的面积为得: ,又由得
所以 ,由余弦定理得:
即分
- 11 -
19、(满分12分)
解:(1)在方案三中,记:甲河流发生洪水的事件为,乙河流发生洪水的事件为 ,则 ,有且只有一条发生洪水的概率为
两河流都发生洪水的概率为 ,两河流都不发生洪水的概率为
由题意知: 的取值为:10000,60000,0,则 的分布列为
0
10000
60000
0.615
0.34
0.045
(2)对于方案一来说,花费4000元
对于方案二来说:建围墙花费1000元,他只能抵御一条河流的洪水,但当两条河流都发生洪水时,损失56000元,而两条河流都发生洪水的概率为 ,所以该方案中可能的花费为 元
对于方案三来说:损失费用为:(元)
比较可知:方案二最好,方案一次之,方案三最差。
20、(本题满分12分)
已知函数 ,
(1)若 ,求 在区间 上的单调区间;
(2)若 ,证明: 时恒有
解:(1) ;
,令 及 ,得
单调递减
极小
单调递增
极大
单调递减
- 11 -
由上述表格可知: 在递减,在递增,在递减分
(2)证明:,, ,设
而 在 为增函数,又 ,
所以存在唯一 ,使得 ,在 上, , 递减, ,在 上,递增,
因此在 总有 即 在递减,所以有: 分
21、(本题满分12分)已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线的斜率为,且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点,且与圆 相切.试探究的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.
(1)解:由题可知,,则,又直线的方程为,即,所以,解得,所以椭圆的标准方程为.分
(2)因为直线与圆相切,
所以,即 分
- 11 -
设,联立,消去整理得,
所以,分;
分
所以
又,所以.分
因为,同理
所以,分
所以的周长是;
则的周长为定值.分
22、[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系 中, .以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 ,点 为 上的动点, 为 的中点。
(1)求点 的轨迹 的直角坐标方程;
(2)设点 的极坐标为 ,若直线 经过点 与曲线 交于 ,弦 的中点为
求 的取值范围。
- 11 -
22、解:(1)设 ,因为的极坐标方程为 ,所以的直角坐标坐标方程为 , ,即 ,点 在半圆 上,所以 ,整理得: 分
(2)因为直线 过点 ,所以直线的参数方程为 ( 为参数, 为直线倾斜角, ),代入 方程得: ,则 ,
,所以分
23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】
已知,,不等式恒成立.
(1)求证:;
(2)求证:.
23、解(1)∵,∴.
∵,,,
∴,
∴,
∴.分
(2)∵,,
即两边开平方得.
同理可得,.
- 11 -
三式相加,得.分
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